**Tỉ Số Lượng Giác Lớp 10: Tổng Hợp Chi Tiết Nhất 2024**

Bạn đang gặp khó khăn với các công thức lượng giác lớp 10? Bài viết này của CAUHOI2025.EDU.VN sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết nhất về các tỉ số lượng giác, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết mọi bài tập. Hãy cùng khám phá thế giới lượng giác đầy thú vị!

Mục lục:

1. Các tỉ số lượng giác cơ bản
2. Công thức lượng giác cộng
3. Công thức các cung liên kết
4. Công thức nhân đôi, nhân ba
5. Công thức hạ bậc
6. Công thức biến đổi tổng thành tích
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
8. Nghiệm phương trình lượng giác cơ bản
9. Dấu của các giá trị lượng giác
10. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
11. Công thức lượng giác nâng cao
12. Mẹo ghi nhớ công thức lượng giác
13. Câu hỏi thường gặp (FAQ)

1. Các Tỉ Số Lượng Giác Cơ Bản

Tỉ số lượng giác của một góc α là tỉ số giữa các cạnh của một tam giác vuông chứa góc đó. Các tỉ số lượng giác cơ bản bao gồm sin, cos, tan và cot. Hiểu rõ định nghĩa và mối quan hệ giữa chúng là nền tảng để học tốt lượng giác.

• Sin (sin α): Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền.
• Cos (cos α): Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền.
• Tan (tan α): Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề (tan α = sin α / cos α).
• Cot (cot α): Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối (cot α = cos α / sin α = 1 / tan α).

Mối quan hệ cơ bản giữa các tỉ số lượng giác:

• sin²α + cos²α = 1
• tan α = sin α / cos α
• cot α = cos α / sin α
• tan α * cot α = 1
• 1 + tan²α = 1 / cos²α
• 1 + cot²α = 1 / sin²α

2. Công Thức Lượng Giác Cộng

Công thức lượng giác cộng cho phép bạn tính giá trị lượng giác của tổng hoặc hiệu hai góc thông qua giá trị lượng giác của từng góc.

• sin(a + b) = sin a . cos b + cos a . sin b
• sin(a – b) = sin a . cos b – cos a . sin b
• cos(a + b) = cos a . cos b – sin a . sin b
• cos(a – b) = cos a . cos b + sin a . sin b
• tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 – tan a . tan b)
• tan(a – b) = (tan a – tan b) / (1 + tan a . tan b)

Mẹo nhớ công thức cộng: “Sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ.”

3. Công Thức Các Cung Liên Kết

Các cung liên kết là các góc có mối quan hệ đặc biệt với nhau trên đường tròn lượng giác. Việc nắm vững công thức các cung liên kết giúp đơn giản hóa việc tính toán và biến đổi lượng giác.

• Hai góc đối nhau (α và -α):
  • cos(-α) = cos α
  • sin(-α) = -sin α
  • tan(-α) = -tan α
  • cot(-α) = -cot α
• Hai góc bù nhau (α và π – α):
  • sin(π – α) = sin α
  • cos(π – α) = -cos α
  • tan(π – α) = -tan α
  • cot(π – α) = -cot α
• Hai góc phụ nhau (α và π/2 – α):
  • sin(π/2 – α) = cos α
  • cos(π/2 – α) = sin α
  • tan(π/2 – α) = cot α
  • cot(π/2 – α) = tan α
• Hai góc hơn kém π (α và π + α):
  • sin(π + α) = -sin α
  • cos(π + α) = -cos α
  • tan(π + α) = tan α
  • cot(π + α) = cot α
• Hai góc hơn kém π/2 (α và π/2 + α):
  • sin(π/2 + α) = cos α
  • cos(π/2 + α) = -sin α
  • tan(π/2 + α) = -cot α
  • cot(π/2 + α) = -tan α

Mẹo nhớ: “Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém pi.”

4. Công Thức Nhân Đôi, Nhân Ba

Công thức nhân đôi và nhân ba giúp bạn tính giá trị lượng giác của góc 2α hoặc 3α thông qua giá trị lượng giác của góc α.

Công thức nhân đôi:

• sin 2α = 2 sin α cos α
• cos 2α = cos²α – sin²α = 2cos²α – 1 = 1 – 2sin²α
• tan 2α = (2 tan α) / (1 – tan²α)

Công thức nhân ba:

• sin 3α = 3sin α – 4sin³α
• cos 3α = 4cos³α – 3cos α
• tan 3α = (3tan α – tan³α) / (1 – 3tan²α)

5. Công Thức Hạ Bậc

Công thức hạ bậc dùng để biểu diễn các lũy thừa bậc cao của sin và cos thông qua các hàm lượng giác bậc nhất.

• sin²α = (1 – cos 2α) / 2
• cos²α = (1 + cos 2α) / 2
• tan²α = (1 – cos 2α) / (1 + cos 2α)

6. Công Thức Biến Đổi Tổng Thành Tích

Công thức biến đổi tổng thành tích cho phép bạn chuyển đổi tổng hoặc hiệu của hai hàm lượng giác thành tích của các hàm lượng giác.

• cos a + cos b = 2 cos((a + b) / 2) cos((a – b) / 2)
• cos a – cos b = -2 sin((a + b) / 2) sin((a – b) / 2)
• sin a + sin b = 2 sin((a + b) / 2) cos((a – b) / 2)
• sin a – sin b = 2 cos((a + b) / 2) sin((a – b) / 2)
• tan a + tan b = sin(a + b) / (cos a . cos b)
• tan a – tan b = sin(a – b) / (cos a . cos b)

Mẹo nhớ: “Cos cộng cos bằng hai cos cos, cos trừ cos bằng trừ hai sin sin; sin cộng sin bằng hai sin cos, sin trừ sin bằng hai cos sin.”

7. Công Thức Biến Đổi Tích Thành Tổng

Công thức biến đổi tích thành tổng cho phép bạn chuyển đổi tích của hai hàm lượng giác thành tổng hoặc hiệu của các hàm lượng giác.

• cos a . cos b = 1/2 [cos(a + b) + cos(a – b)]
• sin a . sin b = 1/2 [cos(a – b) – cos(a + b)]
• sin a . cos b = 1/2 [sin(a + b) + sin(a – b)]

8. Nghiệm Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

Nghiệm của phương trình lượng giác là giá trị của biến số làm cho phương trình đó đúng. Việc tìm nghiệm của phương trình lượng giác là một kỹ năng quan trọng trong giải toán.

• sin x = sin α ⇔ x = α + k2π hoặc x = π – α + k2π (k ∈ Z)
• cos x = cos α ⇔ x = α + k2π hoặc x = -α + k2π (k ∈ Z)
• tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)
• cot x = cot α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)

Các trường hợp đặc biệt:

• sin x = 0 ⇔ x = kπ
• sin x = 1 ⇔ x = π/2 + k2π
• sin x = -1 ⇔ x = -π/2 + k2π
• cos x = 0 ⇔ x = π/2 + kπ
• cos x = 1 ⇔ x = k2π
• cos x = -1 ⇔ x = π + k2π

9. Dấu Của Các Giá Trị Lượng Giác

Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào góc phần tư mà góc đó thuộc về trên đường tròn lượng giác.

10. Bảng Giá Trị Lượng Giác Của Các Góc Đặc Biệt

Việc ghi nhớ bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt giúp bạn giải nhanh các bài toán lượng giác.

11. Công Thức Lượng Giác Nâng Cao

Ngoài các công thức cơ bản, còn có một số công thức lượng giác nâng cao được sử dụng trong các bài toán phức tạp hơn.

• Công thức cộng tổng quát:
  • sin(a + b + c) = sin a cos b cos c + cos a sin b cos c + cos a cos b sin c – sin a sin b sin c
  • cos(a + b + c) = cos a cos b cos c – cos a sin b sin c – sin a cos b sin c – sin a sin b cos c
• Công thức chuyển đổi tổng thành tích cho nhiều góc:
  • sin a + sin b + sin c = 4 cos(a/2) cos(b/2) cos(c/2) nếu a + b + c = π
  • cos a + cos b + cos c = 1 + 4 sin(a/2) sin(b/2) sin(c/2) nếu a + b + c = π

12. Mẹo Ghi Nhớ Công Thức Lượng Giác

• Học thuộc các câu thơ, vè: Ví dụ: “Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém pi.”
• Sử dụng sơ đồ tư duy: Vẽ sơ đồ tư duy để hệ thống hóa các công thức và mối quan hệ giữa chúng.
• Làm bài tập thường xuyên: Thực hành giải nhiều bài tập giúp bạn ghi nhớ công thức một cách tự nhiên.
• Tự tạo ra các ví dụ: Tự tạo ra các ví dụ và áp dụng công thức để giải giúp bạn hiểu sâu hơn về công thức đó.
• Học nhóm: Học nhóm với bạn bè giúp bạn trao đổi kiến thức và học hỏi lẫn nhau.

12.1. Các bài thơ giúp ghi nhớ công thức lượng giác 10

Để có thể nhớ hết các công thức lượng giác 10 từ cơ bản đến nâng cao, thì đòi hỏi các bạn phải làm bài tập thật nhiều và còn có một cách rất hay đó là học thuộc các bài thơ để giúp nhớ nhanh các công thức lượng giác lớp 10 này như sau:

• Cách để ghi nhớ công thức cộng lượng giác lớp 10

  • Cos + cos = 2 cos cos
  • cos – cos = trừ 2 sin sin
  • Sin + sin = 2 sin cos
  • sin – sin = 2 cos sin.
  • Sin thì sin cos cos sin
  • Cos thì cos cos sin sin rồi trừ
  • Tang tổng thì lấy tổng tang
  • Chia 1 trừ với tích tang, dễ mà .
  • Tan(x+y)=?
  • Bài thơ ghi nhớ: Tan 2 tổng 2 tầng cao rộng
    • Trên thượng tầng tan cộng cùng tan
    • Hạ tầng số 1 rất ngang tàng
    • Dám trừ đi cả tan tan anh hùng

• Cách để ghi nhớ bảng Giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt

  • Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π (pi)

• Cách ghi nhớ nhanh Công thức biến đổi tích thành tổng

  • Cos cos nửa cos-+, + cos-trừ
  • Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-+
  • Sin cos nửa sin-+ + sin-trừ

• Cách ghi nhớ nhanh Công thức biến đổi tổng thành tích

  • tính sin tổng ta lập tổng sin cô
  • tính cô tổng lập ta hiệu đôi cô đôi chàng
  • còn tính tan tử + đôi tan (hay là : tan tổng lập tổng 2 tan)
  • 1 trừ tan tích mẫu mang thương rầu
  • nếu gặp hiệu ta chớ lo âu,
  • đổi trừ thành cộng ghi sâu trong lòng

• Một cách nhớ nhanh khác của câu Tang mình + với tang ta, bằng sin 2 đứa trên cos ta cos mình… là

  • tangx + tangy: tình mình cộng lại tình ta, sinh ra hai đứa con mình con ta
  • tangx – tang y: tình mình trừ với tình ta sinh ra hiệu chúng, con ta con mình

• Cách ghi nhớ nhanh Công thức nhân đôi

  • VD: sin(2x)= 2sin(x)cos(x) (Tương tự các loại công thức như vậy)
  • Cách ghi nhớ nhanh: Sin gấp đôi bằng 2 sin cos
  • Cos gấp đôi bằng bình phương cos trừ đi bình sin
  • Bằng trừ 1 cộng hai bình cos
  • Bằng cộng 1 trừ hai bình sin
  • (Chúng ta chỉ việc nhớ các công thức nhân đôi của cos bằng câu nhớ trên rồi bắt đầu từ đó có thể suy ra các công thức hạ bậc.) Tan gấp đôi bằng Tan đôi ta lấy đôi tan (2 tan )
  • Chia một trừ lại bình tan, ra liền.

13. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)

1. Tỉ số lượng giác là gì?
Tỉ số lượng giác là tỉ số giữa các cạnh của tam giác vuông liên quan đến một góc nhọn.

2. Có bao nhiêu tỉ số lượng giác cơ bản?
Có 4 tỉ số lượng giác cơ bản: sin, cos, tan, cot.

3. Công thức nào liên hệ sin và cos?
sin²α + cos²α = 1

4. Làm thế nào để tính tan khi biết sin và cos?
tan α = sin α / cos α

5. Giá trị của sin 30 độ là bao nhiêu?
sin 30° = 1/2

6. Công thức nhân đôi của sin là gì?
sin 2α = 2 sin α cos α

7. Công thức hạ bậc của cos²α là gì?
cos²α = (1 + cos 2α) / 2

8. Dấu của sin trong góc phần tư thứ II là gì?
Dương (+)

9. Làm sao để nhớ công thức lượng giác?
Sử dụng các mẹo, thơ vè, sơ đồ tư duy và làm bài tập thường xuyên.

10. Các tỉ số lượng giác được ứng dụng trong thực tế như thế nào?
Các tỉ số lượng giác được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như xây dựng, đo đạc, hàng hải, thiên văn học, và nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác. Theo báo Xây Dựng, các kiến trúc sư sử dụng lượng giác để tính toán góc và khoảng cách trong thiết kế công trình.

Bạn đang gặp khó khăn trong việc học và ghi nhớ các công thức lượng giác? Đừng lo lắng, CAUHOI2025.EDU.VN luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn! Với đội ngũ chuyên gia giàu kinh nghiệm và phương pháp giảng dạy dễ hiểu, chúng tôi sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục mọi bài toán lượng giác. Hãy truy cập CAUHOI2025.EDU.VN ngay hôm nay để khám phá thêm nhiều tài liệu học tập hữu ích và đặt câu hỏi để được giải đáp tận tình.

Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam
Số điện thoại: +84 2435162967
Trang web: CAUHOI2025.EDU.VN

Hãy để CauHoi2025.EDU.VN đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục kiến thức!