Tìm Số Điểm Cực Trị Của Hàm Số Đã Cho Là Bao Nhiêu?

Bạn đang gặp khó khăn trong việc xác định số điểm cực trị của một hàm số từ đồ thị? Bài viết này của CAUHOI2025.EDU.VN sẽ cung cấp cho bạn phương pháp tiếp cận dễ hiểu, chi tiết, cùng các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.

Giới Thiệu

Việc xác định số điểm cực trị của hàm số là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt là trong các kỳ thi quan trọng. Bài viết này sẽ đi sâu vào phương pháp tìm cực trị dựa vào đồ thị hàm số, giúp bạn đọc hiểu rõ bản chất và áp dụng hiệu quả. CAUHOI2025.EDU.VN hy vọng mang đến nguồn tài liệu hữu ích, giúp bạn nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong học tập.

A. Phương Pháp Giải Quyết Bài Toán Tìm Cực Trị Dựa Vào Đồ Thị

Để tìm số điểm cực trị của hàm số dựa vào đồ thị, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x)

• Nếu đồ thị hàm số y = f'(x) nằm bên dưới trục hoành thì f'(x) mang dấu âm.
• Nếu đồ thị hàm số y = f'(x) nằm bên trên trục hoành thì f'(x) mang dấu dương.
• Điểm giao nhau của đồ thị hàm số y = f'(x) với trục hoành là điểm mà f'(x) = 0.

Bước 2: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận về điểm cực trị của hàm số

• Hàm số y = f(x) có đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương tại x = x₀ thì hàm số đạt cực tiểu tại x = x₀.
• Hàm số y = f(x) có đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại x = x₀ thì hàm số đạt cực đại tại x = x₀.

Lưu ý quan trọng:

• Nếu hàm số y = f'(x) cắt trục hoành tại x₀ thì f'(x) đổi dấu khi qua x₀.
• Nếu hàm số y = f'(x) tiếp xúc với trục hoành tại x₀ thì f'(x) không đổi dấu khi qua x₀.

B. Ví Dụ Minh Họa

Để hiểu rõ hơn về phương pháp này, chúng ta cùng xét một số ví dụ cụ thể:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm f'(x). Biết rằng hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số y = f'(x). Khẳng định nào sau đây là đúng về cực trị của hàm số y = f(x)?

Lời giải:

Từ đồ thị của hàm số y = f'(x), ta suy ra bảng biến thiên:

Vậy, hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = -2.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm f'(x). Đồ thị của hàm số g = f'(x) có đồ thị như hình vẽ.

Điểm cực đại của hàm số là:

A. x = 4.

B. x = 3.

C. x = 1.

D. x = 2.

Lời giải:

Từ đồ thị của hàm số g = f'(x), ta suy ra bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2. Chọn D.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên.

Hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 4.

Lời giải:

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số có 4 điểm cực trị. Chọn D.

C. Bài Tập Trắc Nghiệm

Để củng cố kiến thức, hãy cùng làm một số bài tập trắc nghiệm sau:

Bài 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

A. f(0).

B. f(1).

C. f(2).

D. f(-1).

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số, hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 và đạt cực tiểu tại x = 1.

Do đó giá trị cực đại của hàm số đã cho là f(-1). Chọn D.

Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ:

Đồ thị hàm số y = f(x) có mấy điểm cực trị?

A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 0.

Lời giải:

Ta thấy f'(x) chỉ đổi dấu khi đi qua x = -1 nên đồ thị hàm số có duy nhất 1 điểm cực trị. Chọn B.

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và có đồ thị hàm số y = f'(x) là đường cong trong hình dưới.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 2 và x = 0 .

B. Hàm số y = f(x) có 4 cực trị.

C. Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = -1.

D. Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = -1.

Lời giải:

Giá trị của hàm số y = f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = -1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = -1. Chọn C.

Bài 4: Hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) trên khoảng K như hình vẽ bên dưới.

Hỏi hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Lời giải:

Đồ thị hàm số f'(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất (không tính tiếp xúc) có nghĩa là đạo hàm chỉ đổi dấu một lần nên hàm số có 1 điểm cực trị. Chọn B.

Bài 5: Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng R, biết đồ thị của hàm số y = f'(x) trên R như hình vẽ bên.

Tìm số cực trị của hàm số y = f(x) trên R.

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:

Ta thấy đồ thị hàm số f'(x) cắt trục hoành tại 2 điểm nên đạo hàm đổi dấu tại đây và tiếp xúc với trục hoành tại x = 0 nên đạo hàm không đổi dấu. Do đó hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị. Chọn B.

Bài 6: Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = 1 .

B. Hàm số y = f(x) có một điểm cực tiểu.

C. Đồ thị hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị.

D. Hàm số không có cực trị.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị của y = f'(x) ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu hàm số đạt cực tiểu tại x = 3. Chọn B.

Bài 7: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y = f'(x) trên R như hình bên dưới. Khi đó trên R hàm số y = f(x)

A. Có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

B. Có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.

C. Có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.

D. Có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số f'(x) ta có bảng xét dấu:

Ta thấy f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x₁ và đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x₂. Vậy hàm số y = f(x) có 1 cực đại và một cực tiểu. Chọn A.

Bài 8: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và đồ thị hàm f'(x) như hình vẽ

Hàm số y = f(x) đã cho có bao nhiêu điểm cực tiểu

A. 3.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy f'(x) > 0, ∀ x ∈ R nên hàm số y = f(x) đồng biến trên R.

Vậy hàm số y = f(x) không có cực trị. Chọn B.

Bài 9: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên. Hàm số y = f(x²) có bao nhiêu điểm cực tiểu

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 4.

Lời giải:

Bảng biến thiên:

Hàm số có ba điểm cực tiểu. Chọn A.

Bài 10: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị đạo hàm y = f'(x) như hình bên.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y = f(x) – x² – x đạt cực đại tại x = 0.

B. Hàm số y = f(x) – x² – x đạt cực tiểu tại x = 0.

C. Hàm số y = f(x) – x² – x không đạt cực trị tại x = 0.

D. Hàm số y = f(x) – x² – x không có cực trị.

Lời giải:

Ta có: y’ = f'(x) – (2x + 1) => y’ = 0 ⇔ f'(x) = 2x + 1.

Từ đồ thị ta thấy x = 0 là nghiệm đơn của phương trình y’ = 0.

Ta có bảng biến thiên trên (-∞;2):

Từ bảng biến thiên => hàm số đạt cực đại tại x = 0. Chọn A.

D. Bài Tập Tự Luyện

Để nắm vững kiến thức hơn, bạn hãy tự giải các bài tập sau:

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị f'(x) như hình vẽ. Hỏi hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị f'(x) như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số v(x) = f(x² – 3).

Bài 3. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị f'(x) như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số f(x)

Bài 4. Hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) trên tập số thực ℝ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây (chỉ đạt cực trị tại 3 điểm và cũng chỉ có 3 điểm chung với trục hoành). Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = [f(x)]².

Bài 5. Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm f'(x). Biết rằng hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y = f'(x). Tính số điểm cực trị của hàm số f(x).

Bài 6. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tọa độ điểm cực đại, cực tiểu của hàm số?

Bài 7. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên ℝ, có đồ thị như hình dưới. Hỏi hàm số g(x) = f(x² – 2) có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Bài 8. Cho hàm số y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d với a khác 0, có đồ thị như hình dưới. Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y = f(4 – x) + 1?

Bài 9. Cho hàm số y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d với a khác 0 và có đồ thị như hình dưới. Tìm số điểm cực trị của g(x) = f(-2x² + 4x)?

Bài 10. Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

E. Ứng Dụng Thực Tế

Việc tìm cực trị của hàm số không chỉ là một bài toán lý thuyết, mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau. Ví dụ, trong kinh tế, nó giúp doanh nghiệp tìm ra mức sản lượng tối ưu để đạt lợi nhuận cao nhất. Trong kỹ thuật, nó được sử dụng để thiết kế các công trình sao cho đạt hiệu quả và an toàn cao nhất.

F. FAQ (Câu Hỏi Thường Gặp)

1. Làm thế nào để phân biệt cực đại và cực tiểu dựa vào đồ thị?

   • Cực đại là điểm cao nhất trên một khoảng của đồ thị, còn cực tiểu là điểm thấp nhất.

2. Đồ thị hàm số f'(x) tiếp xúc với trục hoành thì có phải là cực trị không?

   • Không, nếu f'(x) chỉ tiếp xúc mà không đổi dấu khi qua điểm đó thì không phải là cực trị.

3. Làm thế nào để tìm cực trị của hàm số khi chỉ có đồ thị của f(x)?

   • Bạn cần xác định các điểm mà tại đó đồ thị đổi hướng (từ tăng sang giảm hoặc ngược lại).

4. Số điểm cực trị có liên quan gì đến bậc của hàm số đa thức?

   • Hàm số đa thức bậc n có tối đa n-1 điểm cực trị.

5. Tại sao việc tìm cực trị lại quan trọng?

   • Vì nó giúp tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số, có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực.

6. Có những phương pháp nào khác để tìm cực trị ngoài việc dựa vào đồ thị?

   • Có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm cực trị.

7. Làm sao để biết một điểm có phải là cực trị địa phương hay cực trị toàn cục?

   • Cực trị địa phương chỉ xét trong một khoảng nhỏ, còn cực trị toàn cục là giá trị lớn nhất/nhỏ nhất trên toàn bộ tập xác định.

8. Nếu không có đồ thị, làm sao để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số?

   • Dựa vào dấu của đạo hàm f'(x).

9. Có những lỗi sai nào thường gặp khi tìm cực trị từ đồ thị?

   • Nhầm lẫn giữa điểm cực trị và giá trị cực trị, không xét đến các điểm đặc biệt (ví dụ: điểm không xác định).

10. Làm thế nào để ôn tập hiệu quả dạng bài tìm cực trị hàm số?

    • Luyện tập nhiều bài tập từ cơ bản đến nâng cao, kết hợp xem lại lý thuyết và các ví dụ đã giải.

G. Lời Khuyên Từ CAUHOI2025.EDU.VN

Để học tốt dạng bài tìm cực trị của hàm số, bạn cần nắm vững lý thuyết, luyện tập thường xuyên và làm quen với nhiều dạng bài khác nhau. CAUHOI2025.EDU.VN luôn sẵn sàng đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục kiến thức. Đừng ngần ngại truy cập website của chúng tôi để tìm kiếm thêm tài liệu và bài tập hữu ích.

Bạn gặp khó khăn khi giải bài tập toán? Bạn muốn tìm kiếm tài liệu ôn thi chất lượng? Hãy truy cập ngay CAUHOI2025.EDU.VN để được hỗ trợ và giải đáp mọi thắc mắc! Tại đây, bạn sẽ tìm thấy vô vàn tài liệu hữu ích, bài giảng chi tiết và các khóa học chất lượng, giúp bạn tự tin chinh phục mọi kỳ thi.

Liên hệ với chúng tôi:

Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam

Số điện thoại: +84 2435162967

Trang web: CAUHOI2025.EDU.VN

Hãy để CauHoi2025.EDU.VN trở thành người bạn đồng hành tin cậy trên con đường học tập của bạn!