Xét Dấu Đạo Hàm: Bí Quyết Giải Nhanh Bài Tập Tính Đơn Điệu Hàm Số

Bạn đang gặp khó khăn với các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số và muốn “ăn điểm” dễ dàng trong kỳ thi THPT Quốc gia? CAUHOI2025.EDU.VN sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng Xét Dấu đạo Hàm, từ đó chinh phục mọi dạng bài tập liên quan đến tính đơn điệu của hàm số một cách hiệu quả nhất.

Meta Description: Khám phá bí quyết xét dấu đạo hàm để giải nhanh các bài tập về tính đơn điệu của hàm số. CAUHOI2025.EDU.VN cung cấp kiến thức chi tiết, phương pháp giải bài tập đa dạng, giúp bạn tự tin đạt điểm cao trong kỳ thi THPT Quốc gia. Tìm hiểu ngay về đạo hàm, bảng biến thiên, và ứng dụng của chúng trong giải toán.

1. Tổng Quan Về Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

1.1. Định Nghĩa Tính Đơn Điệu

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (K là một khoảng, đoạn, hoặc nửa khoảng):

• Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).
• Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

1.2. Điều Kiện Cần Và Đủ Để Hàm Số Đơn Điệu

a) Điều kiện cần:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K:

• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

b) Điều kiện đủ:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K:

• Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.
• Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
• Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

2. Quy Tắc Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Bằng Đạo Hàm

Để xét dấu đạo hàm và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

2.1. Tìm Tập Xác Định Của Hàm Số

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

• Phân thức có nghĩa khi P(x) ≠ 0.
• Căn thức có nghĩa khi P(x) > 0.
• Căn thức có nghĩa khi P(x) ≥ 0.

2.2. Tính Đạo Hàm Của Hàm Số

Sử dụng các công thức đạo hàm cơ bản để tính f'(x). Bảng công thức đạo hàm thường dùng:

2.3. Lập Bảng Biến Thiên Và Xét Dấu Đạo Hàm

• Tìm các nghiệm của phương trình f'(x) = 0 và các điểm mà f'(x) không xác định.
• Sắp xếp các nghiệm và điểm không xác định theo thứ tự tăng dần trên trục số.
• Xét dấu đạo hàm f'(x) trên từng khoảng bằng cách chọn một giá trị đại diện trong khoảng đó và thay vào f'(x).
• Dựa vào dấu của f'(x) để kết luận về tính đơn điệu của hàm số:
  • f'(x) > 0: Hàm số đồng biến.
  • f'(x) < 0: Hàm số nghịch biến.
  • f'(x) = 0: Hàm số không đổi (có thể là điểm cực trị).

2.4. Kết Luận Khoảng Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số

Dựa vào bảng biến thiên và dấu của đạo hàm, kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: y = (1/3)x³ – 3x² + 8x – 2

Giải:

• Tập xác định: D = R.
• Tính đạo hàm: y’ = x² – 6x + 8.
• Giải phương trình y’ = 0: x = 2 hoặc x = 4.
• Lập bảng biến thiên:

Kết luận:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 2) và (4; +∞).
• Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 4).

3. Các Dạng Bài Tập Về Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

3.1. Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Chứa Tham Số m

a) Hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định:

Phương pháp:

• Đối với hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d; (a ≠ 0)
  • Tính f'(x).
  • Hàm số đồng biến trên R ⇔ a > 0 và Δ ≤ 0.
  • Hàm số nghịch biến trên R ⇔ a < 0 và Δ ≤ 0.
• Đối với hàm phân thức bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d)
  • Tính y’.
  • Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y’ > 0 hay (ad – bc) > 0.
  • Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y’ < 0 hay (ad – bc) < 0.

Ví dụ: Cho hàm số: f(x) = x³ – 3mx² + 3(2m – 1)x + 1. Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

Lời giải:

• Tập xác định: D = R.
• Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² – 6mx + 3(2m – 1).

Đặt g(x) = 3x² – 6mx + 3(2m – 1) có a = 3; b = -6m; c = 3(2m – 1);

Để hàm số đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi:

a > 0 và Δ’ ≤ 0

⇔ a = 3 > 0 và Δ’ = (-3m)² – 3.3(2m – 1) ≤ 0

⇔ 9m² – 18m + 9 ≤ 0

⇔ m = 1

Kết luận: Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định D = R.

b) Hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng cho trước:

Phương pháp:

• Bước 1: Kiểm tra tập xác định. Tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định trên khoảng (a; b).
• Bước 2: Tính f'(x) và tìm điều kiện của tham số để f'(x) ≥ 0 hoặc f'(x) ≤ 0 trên khoảng (a; b) theo yêu cầu bài toán.

Ví dụ: Cho hàm số f(x) = x³ – 3x² – 3(m + 1)x – (m + 1) (*)

Tìm m để hàm số đồng biến trên [1; +∞).

Giải:

Để hàm số đồng biến trên [1; +∞) thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞).

⇒ 3x² – 6x – 3(m + 1) ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞]

$large Rightarrow 3x^{2} – 6x – 3 geq 3m$

⇒ x² – 2x – 1 ≥ m, ∀x ∈ [1; +∞]

Đặt y(x) = x² – 2x – 1 ⇒ y'(x) = 2x – 2

Cho y'(x) = 0 ⇔ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có y(x) ≥ m, x ∈ [1; +∞]

Min [y(x)] = -2 ≥ m ⇒ m ≤ -2

x ∈ [1; +∞)

3.2. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = |f(x)|

• f(x) cụ thể cho trước. VD: |x² – 4x|
• f(x) có tham số dạng tách rời. VD: |x³ – m|

Các bước thực hiện:

• Bước 1: Khảo sát và lập bảng biến thiên của f(x).
• Bước 2: Dùng phép suy bảng biến thiên của hàm số |f(x)|.
  • Giữ nguyên phần nằm trên y = 0.
  • Lấy đối xứng qua y = 0 phần bên dưới.
  • Nhìn vào bảng biến thiên của |f(x)| suy ra đồng biến, nghịch biến.

Ví dụ:

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (3; +∞) là:

Giải:

Xét hàm số: f(x)= x³ – 3x² + m – 4

Ta có f'(x) = 3x² – 6x, f'(x) = 0 ⇔ x= 0 hoặc x=2

Bảng biến thiên của hàm số f(x)

Vì đồ thị hàm số y=|f(x)| có được nhờ giữ nguyên phần đồ thị hàm số của y= f(x) ở phía trên trục hoành, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị ở dưới lên trên qua trục Ox

Nên hàm số y=f(x) đồng biến trên

3.3. Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Trên Một Khoảng Cho Trước

Ví dụ: Tìm m để hàm số đồng biến trên [-1; 3].

• Để hàm số nghịch biến trên [-1; 3] thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ [-1, 3].
• ⇒ 3x² – 6x – 3(m + 1) ≤ 0, ∀x ∈ [-1, 3].
• ⇒ x² – 2x – 1 ≤ m, ∀x ∈ [-1, 3].

Đặt y(x) = x² – 2x – 1 ⇒ y'(x) = 2x – 2

Cho y'(x) = 0 ⇔ x = 1. Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có: y(x) ≤ m, ∀x ∈ [-1, 3]

=> Max[y(x)] = 2 ≤ m ⇒ m ≥ 2

x∈ [-1, 3]

Kết luận: Vậy với m ≥ 2 thì hàm số sẽ đồng biến trên khoảng [-1; 3].

4. Bài Tập Luyện Tập Về Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

Câu 1: Hàm số y = -x³ + 3x² – 1 đồng biến trên khoảng nào?

A. (-∞; 1)
B. (0; 2)
C. (2; +∞)
D. R

Câu 2: Các khoảng đồng biến của hàm số y = 2x³ – 6x là

A. (-∞, -1); (1; +∞)
B. (-1; 1)
C. [-1; 1)
D. (0; 1)

Câu 3: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = x³ – 3x -1 là:

A. (-∞, -1)
B. (1; +∞)
C. (-1; 1)
D. (0; 1)

Câu 4: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = 2x³ – 6x + 20 là

A. (-∞; -1); (1; +∞)
B. (-1; 1)
C. [-1; 1]
D. (0; 1)

Câu 5: Các khoảng đồng biến của hàm số y = -x³ + 3x² + 1

A. (-∞; 0); (2; +∞)
B. (0; 2)
C. [0; 2]
D. R

Câu 6: Các khoảng đồng biến của hàm số có dạng y = x³ – 5x² + 7x – 3 là:

A. (-∞; 1); (7/3; +∞)
B. (1; 7/3)
C. [-5; 7]
D. (7; 3)

Câu 7: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = x³ – 6x² + 9x là:

A. (-∞; 1); (3; +∞)
B. (1; 3)
C. [(-infty ; 1)]
D. (3; +∞)

Câu 8: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = x³ – x² + 2 là:

A. (-∞; 0); (2/3; +∞)
B. (0; 2/3)
C. (-∞; 0)
D. (8; +∞)

Câu 9: Các khoảng đồng biến của hàm số y = 3x – 4x³

A. (-∞; -1/2); (1/2; +∞)
B. (-1/2; 1/2)
C. (-∞; -1/2)
D. (1/2; +∞)

Câu 10: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = 3x – 4x³

A. (-∞; -1/2); (1/2; +∞)
B. (-1/2; 1/2)
C. (-∞; -1/2)
D. (1/2; +∞)

Câu 11: Các khoảng đồng biến của hàm số y = x³ -12x + 12 là

A. (-∞; -2); (2; +∞)
B. (-2; 2)
C. (-∞; -2)
D. (2; +∞)

Câu 12: Hàm số y = -x³ + 3x² + 9x nghịch biến trên khoảng nào

A. R
B. (-∞; -1) ∪ (3; +∞)
C. (3; +∞)
D. (-1; 3)

Câu 13: Hàm số đồng biến trên

A. (-∞; -1) và
B. và
C. (-∞; -1) và (2; +∞)
D.

Câu 14: Khoảng nghịch biến của hàm số là

A. R
B.
C. và
D. và

Câu 15: Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây là đúng. Hàm số có dạng

A. Hàm số đồng biến trên (-2; 3)
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 3)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

5. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ) Về Xét Dấu Đạo Hàm

1. Tại sao cần xét dấu đạo hàm để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến?
   • Đạo hàm f'(x) cho biết tốc độ thay đổi của hàm số f(x). Dấu của f'(x) quyết định hàm số tăng (đồng biến) hay giảm (nghịch biến).
2. Bảng biến thiên có vai trò gì trong việc xét tính đơn điệu?
   • Bảng biến thiên giúp ta hệ thống hóa các giá trị của x, dấu của f'(x) và sự biến thiên của f(x), từ đó dễ dàng kết luận về tính đơn điệu.
3. Khi nào f'(x) = 0 nhưng hàm số không đổi trên khoảng đó?
   • Khi f'(x) = 0 tại một điểm cô lập hoặc một số hữu hạn điểm, hàm số có thể đạt cực trị tại đó. Nếu f'(x) = 0 trên cả một khoảng, hàm số không đổi trên khoảng đó.
4. Điều kiện cần và đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến khác nhau như thế nào?
   • Điều kiện cần cho biết nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) thì f'(x) phải thỏa mãn điều kiện gì. Điều kiện đủ cho biết nếu f'(x) thỏa mãn điều kiện gì thì hàm số chắc chắn đồng biến (nghịch biến).
5. Có những dạng bài tập nào về tính đơn điệu của hàm số?
   • Các dạng bài tập thường gặp bao gồm: xét tính đơn điệu của hàm số không chứa tham số, chứa tham số, chứa dấu giá trị tuyệt đối, và trên một khoảng cho trước.
6. Làm thế nào để xét dấu đạo hàm nhanh và chính xác?
   • Sử dụng quy tắc dấu đan xen, quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai, hoặc chọn giá trị đại diện trong từng khoảng để thay vào f'(x).
7. Nếu f'(x) không xác định tại một điểm, điểm đó có ảnh hưởng đến tính đơn điệu không?
   • Có. Điểm mà f'(x) không xác định có thể là điểm cực trị hoặc điểm làm thay đổi tính đơn điệu của hàm số.
8. Ứng dụng của tính đơn điệu trong giải toán là gì?
   • Tính đơn điệu được ứng dụng để tìm cực trị, giải phương trình và bất phương trình, biện luận số nghiệm, và giải các bài toán thực tế.
9. Làm thế nào để nhớ các công thức đạo hàm một cách hiệu quả?
   • Luyện tập thường xuyên, làm nhiều bài tập, và hiểu rõ bản chất của từng công thức.
10. Khi gặp bài toán chứa tham số, cần lưu ý điều gì khi xét tính đơn điệu?
    • Xác định rõ điều kiện của tham số để hàm số xác định trên khoảng đang xét, và biện luận các trường hợp có thể xảy ra.

CAUHOI2025.EDU.VN hy vọng rằng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc xét dấu đạo hàm và giải quyết các bài toán về tính đơn điệu của hàm số.

Bạn đang gặp khó khăn trong việc học Toán? Đừng lo lắng! CAUHOI2025.EDU.VN luôn sẵn sàng trợ giúp bạn.

• Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam
• Số điện thoại: +84 2435162967
• Trang web: CAUHOI2025.EDU.VN

Hãy truy cập CAUHOI2025.EDU.VN ngay hôm nay để khám phá thêm nhiều tài liệu học tập hữu ích và đặt câu hỏi để được giải đáp tận tình. CauHoi2025.EDU.VN – Nơi kiến thức trở nên dễ dàng hơn bao giờ hết!