Cách Viết Phương Trình Elip: Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao Cực Hay

Bạn đang gặp khó khăn trong việc Viết Phương Trình Elip? Bài viết này của CAUHOI2025.EDU.VN sẽ cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ và chi tiết nhất, từ lý thuyết cơ bản đến các dạng bài tập nâng cao, giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài toán liên quan đến elip. Chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn từng bước, kèm theo ví dụ minh họa dễ hiểu, giúp bạn nắm vững phương pháp và đạt điểm cao trong các kỳ thi.

Bạn cần giải đáp thắc mắc nhanh chóng và hiệu quả? Hãy truy cập CAUHOI2025.EDU.VN ngay!

1. Phương Trình Chính Tắc Của Elip Là Gì?

Phương trình chính tắc của elip là phương trình có dạng:

(x² / a²) + (y² / b²) = 1

Trong đó:

• a là độ dài bán trục lớn (a > 0).
• b là độ dài bán trục nhỏ (b > 0).
• a > b
• c là tiêu cự, với c² = a² – b²
• F₁(-c; 0) và F₂(c; 0) là hai tiêu điểm của elip
• 2a là độ dài trục lớn
• 2b là độ dài trục bé
• e = c/a là tâm sai của elip (0 < e < 1)

2. Các Yếu Tố Quan Trọng Của Elip Cần Nắm Vững

Để viết phương trình elip một cách chính xác, bạn cần hiểu rõ các yếu tố sau:

2.1. Tiêu Điểm

Elip có hai tiêu điểm, ký hiệu là F₁ và F₂. Tọa độ của chúng là F₁(-c; 0) và F₂(c; 0), trong đó c là tiêu cự.

2.2. Trục Lớn và Trục Nhỏ

• Trục lớn: Đoạn thẳng nối hai đỉnh nằm trên trục Ox, có độ dài là 2a.
• Trục nhỏ: Đoạn thẳng nối hai đỉnh nằm trên trục Oy, có độ dài là 2b.

2.3. Tiêu Cự

Tiêu cự là khoảng cách giữa hai tiêu điểm, có độ dài là 2c. Theo định nghĩa, c² = a² – b².

2.4. Tâm Sai

Tâm sai của elip, ký hiệu là e, là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài bán trục lớn: e = c/a. Tâm sai luôn nhỏ hơn 1 (0 < e < 1). Tâm sai càng gần 0, elip càng giống đường tròn.

2.5. Hình Chữ Nhật Cơ Sở

Hình chữ nhật cơ sở của elip là hình chữ nhật có các cạnh song song với trục Ox và Oy, đi qua các đỉnh của elip. Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở có tọa độ là (a; b), (a; -b), (-a; -b) và (-a; b).

3. Phương Pháp Viết Phương Trình Chính Tắc Của Elip

3.1. Xác Định Các Yếu Tố Đã Biết

Đọc kỹ đề bài và xác định các yếu tố của elip đã cho, ví dụ:

• Độ dài trục lớn (2a)
• Độ dài trục nhỏ (2b)
• Tiêu cự (2c)
• Tọa độ tiêu điểm
• Tâm sai (e)
• Một điểm nằm trên elip

3.2. Tìm a và b

Dựa vào các yếu tố đã biết và các công thức liên hệ (c² = a² – b², e = c/a), tìm ra giá trị của a và b.

3.3. Viết Phương Trình Elip

Thay giá trị của a và b vào phương trình chính tắc (x² / a²) + (y² / b²) = 1 để được phương trình elip cần tìm.

4. Các Dạng Bài Tập Viết Phương Trình Elip Thường Gặp

4.1. Dạng 1: Biết Độ Dài Trục Lớn và Trục Nhỏ

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục nhỏ bằng 6.

Giải:

• Độ dài trục lớn 2a = 12 => a = 6
• Độ dài trục nhỏ 2b = 6 => b = 3
• Phương trình elip (E): (x² / 36) + (y² / 9) = 1

4.2. Dạng 2: Biết Độ Dài Trục Lớn và Tiêu Cự

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

Giải:

• Độ dài trục lớn 2a = 10 => a = 5
• Tiêu cự 2c = 6 => c = 3
• Ta có: b² = a² – c² = 5² – 3² = 16
• Phương trình elip (E): (x² / 25) + (y² / 16) = 1

4.3. Dạng 3: Biết Độ Dài Trục Nhỏ và Tiêu Cự

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết độ dài trục nhỏ bằng 8 và tiêu cự bằng 10.

Giải:

• Độ dài trục nhỏ 2b = 8 => b = 4
• Tiêu cự 2c = 10 => c = 5
• Ta có: a² = b² + c² = 4² + 5² = 41
• Phương trình elip (E): (x² / 41) + (y² / 16) = 1

4.4. Dạng 4: Biết Mối Quan Hệ Giữa Trục Lớn, Trục Nhỏ và Tiêu Cự

Ví dụ: Tìm phương trình chính tắc của elip biết trục lớn gấp đôi trục bé và tiêu cự bằng 4√3.

Giải:

• 2a = 2(2b) => a = 2b
• 2c = 4√3 => c = 2√3
• Ta có: a² = b² + c² => (2b)² = b² + (2√3)² => 4b² = b² + 12 => 3b² = 12 => b² = 4 => b = 2
• => a = 2b = 4
• Phương trình elip (E): (x² / 16) + (y² / 4) = 1

4.5. Dạng 5: Biết Tỉ Số Giữa Tiêu Cự và Trục Lớn

Ví dụ: Tìm phương trình chính tắc của elip có trục lớn bằng 6 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 1/3.

Giải:

• 2a = 6 => a = 3
• 2c / 2a = 1/3 => c/a = 1/3 => c = a/3 = 3/3 = 1
• Ta có: b² = a² – c² = 3² – 1² = 8
• Phương trình elip (E): (x² / 9) + (y² / 8) = 1

4.6. Dạng 6: Biết Một Đỉnh Của Hình Chữ Nhật Cơ Sở

Ví dụ: Tìm phương trình chính tắc của elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M(4; 3).

Giải:

• Đỉnh của hình chữ nhật cơ sở có tọa độ (a; b) hoặc (a; -b) hoặc (-a; -b) hoặc (-a; b).
• Vì M(4; 3) là một đỉnh => a = 4 và b = 3
• Phương trình elip (E): (x² / 16) + (y² / 9) = 1

4.7. Dạng 7: Biết Tâm Sai và Trục Lớn (hoặc Trục Nhỏ)

Ví dụ: Phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng 26, tâm sai e = 12/13 là gì?

Giải:

• Ta có độ dài trục lớn là 26 nên 2a = 26 ⇔ a = 13
• Tâm sai của elip (E): e = c/a = 12/13
  ⇔ c = 12
  ⇒ b² = a² – c² = 13²– 12² = 25
• Phương trình chính tắc của elip là : (E): (x²/169) + (y²/25) = 1.

4.8. Dạng 8: Elip Có Một Tiêu Điểm và Tích Độ Dài Trục Lớn Với Trục Bé

Ví dụ: Elip có một tiêu điểm F( -2; 0) và tích độ dài trục lớn với trục bé bằng 12√5. Phương trình chính tắc của elip là:

Giải:

• Elip ( E) có một tiêu điểm F(-2; 0) nên c = 2.
• Elip ( E) có tích độ dài trục lớn với trục bé bằng 12√5 nên :
  2a. 2b = 12√5 hay ab = 3√5 ⇒a = 3√5/b
• Lại có: a² – b² = c² nên (3√5/b)² – b² = 4
  ⇔ 45/b²– b² = 4 ⇔ 45- b⁴ = 4b² ⇔ (b²)² + 4b² – 45 = 0
  Với b² = 5 thì b = √5 ⇒ a = 3.
• Phương trình chính tắc của Elip là (x²/9) + (y²/5) = 1.

4.9. Dạng 9: Lập Phương Trình Chính Tắc Của Elip Biết Độ Dài Trục Nhỏ và Tỉ Số Tiêu Cự Với Trục Lớn

Ví dụ: Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ bằng 12 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 4/5.

Giải:

• Gọi phương trình chính tắc của Elip là : (x²/a²) + (y²/b²) = 1 (a,b > 0).
• Độ dài trục nhỏ của Elip là 12 suy ra 2b = 12 ⇒ b = 6. ( 1)
• Tiêu cự của Elip là 2c; độ dài trục lớn là 2a theo giả thiết ta có:
  2c/2a = 4/5 nên c = (4a)/5 (2)
• Mặt khác a² – b² = c² ( 3)
• Thay (1); ( 2) vào ( 3) ta được: a² – 6² = ((4a)/5)²
  ⇔ a² – 36= (16a²)/25 ⇔ (9a²)/25 = 36
  ⇔ a² = 100
• Vậy phương trình cần tìm là ( E) : (x²/100) + (y²/36) = 1.

5. Bài Tập Vận Dụng (Có Đáp Án)

Câu 1: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có tiêu cự bằng 2 và trục lớn bằng 10?

A. (x²/25) + (y²/24) = 1
B. (x²/100) + (y²/96) = 1
C. (x²/10) + (y²/8) = 1
D. (x²/5) + (y²/4) = 1

Lời giải:

Đáp án: A

Từ đề ta có: 2c = 2 và 2a = 10 ⇒ c = 1 và a = 5

Từ công thức b² = a² – c² ⇒ b² = 24

Phương trình chính tắc của elip: (x²/25) + (y²/24) = 1

Câu 2: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có tâm sai bằng √5/3 và độ dài trục lớn bằng 6?

A. (x²/9) + (y²/4) = 1
B. (x²/36) + (y²/16) = 1
C. (x²/9) + (y²/4) = 1
D. (x²/3) + (y²/2) = 1

Lời giải:

Đáp án: C

Giả sử elip có phương trình tổng quát là (x²/a²) + (y²/b²) = 1 (a,b > 0).

Do (E) có tâm sai bằng √5/3 và độ dài trục lớn bằng 6 nên ta có:

e = c/a = √5/3 và 2a = 6 ⇔ c = a√5/3 và a = 3 ⇒ b² = a² – c² = 4 => ( E ): (x²/9) + (y²/4) = 1

Câu 3: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4√3

A. (x²/4) + (y²/16) = 1
B. (x²/16) + (y²/4) = 1
C. (x²/16) + (y²/12) = 1
D. (x²/12) + (y²/16) = 1

Lời giải:

Đáp án: C

Giả sử elip có phương trình tổng quát là (x²/a²) + (y²/b²) = 1 (a,b > 0).

Do (E) có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4√3 nên :

a = 2b và 2c = 4√3 ⇔ a = 2b và c = 2√3 ⇔ a² = 4b² và c² = 12 ⇔ 4b² = b² + 12 ⇔ b² = 4 ⇒ ( E ): (x²/16) + (y²/12) = 1

Câu 4:: Elip (E) có tiêu điểm F( 2√3;0) và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 32 có phương trình chính tắc là :

A. (x²/16) + (y²/2) = 1
B. (x²/16) + (y²/4) = 1
C. (x²/8) + (y²/4) = 1
D. (x²/4) + (y²/16) = 1

Lời giải:

Đáp án: B

Giả sử elip có phương trình tổng quát là (x²/a²) + (y²/b²) = 1 (a,b > 0).

Elip ( E) có tiêu điểm: F(2√3;0) nên c=2√3 => c²= 12.

Hình chữ nhật cơ sở có diện tích: S= ( 2a).(2b)= 4ab= 32 ⇔ ab= 8

⇔a².b² = 64 ⇔ a² ( a² – c²)= 64

⇔ a² ( a² – 12) = 64

⇔ a⁴—12a²– 64= 0

⇔ a²= 16 ⇒ b² = 4

Vậy phương tìnhelip là : (x²/16) + (y²/4) = 1

Câu 5: Lập phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị, độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị.

A. (x²/10) + (y²/8) = 1
B. (x²/100) + (y²/64) = 1
C. (x²/100) + (y²/64) = 1
D. (x²/10) + (y²/6) = 1

Lời giải:

Đáp án: C

Elip ( E) có độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị nên:

2a – 2b = 4 hay a – b = 2 ⇔ a = b + 2 ( 1)

Elip ( E) có độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị nên

2b – 2c = 4 ⇔ b – c = 2 ⇔ c = b – 2. ( 2)

Lại có: a²= b² + c² ( 3)

Thay (1), ( 2) vào ( 3) ta được

(b+2)² = b² + (b-2)² ⇔ b² + 4b+4= b² + b² – 4b+ 4

⇔ b² – 8b=0 ⇔ b = 0 hoặc b = 8

Với b = 8 thì a = b + 2 = 10

=> Phương trình chính tắc của Elip là : (x²/100) + (y²/64) = 1

Câu 6: Lập phương trình chính tắc của elip biết tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng √2, tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64.

A. (x²/12) + (y²/6) = 1
B. (x²/12) + (y²/8) = 1
C. (x²/6) + (y²/12) = 1
D. (x²/8) + (y²/12) = 1

Lời giải:

Đáp án: A

• Elip ( E) có tỉ số độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng √2 nên :

2b/2c = √2 ⇒ c = b/√2 ⇒ c² = b²/2 (1) .

• Mặt khác, tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64 nên:

( 2a)² + ( 2c)² = 64 ⇔ 4a² + 4c² = 64

⇔ a² + c² = 16 (2)

Lại có: a²= b² + c² ( 3).

Giải hệ phương trình ( 1) ; ( 2) và (3) ta được :

c = √2

Phương trình chính tắc của Elip là : (x²/12) + (y²/6) = 1

Câu 7: Elip có tổng độ dài hai trục bằng 18 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng √5/3 . Phương trình chính tắc của elip là

A. (x²/25) + (y²/16) = 1
B. (x²/16) + (y²/25) = 1
C. (x²/81) + (y²/16) = 1
D. (x²/25) + (y²/81) = 1

Lời giải:

Đáp án: A

Giả sử elip có phương trình tổng quát là (x²/a²) + (y²/b²) = 1 (a,b > 0).

• Tổng độ dài hai trục của Elip là 18 nên :

2a + 2b = 18 ⇔ a + b = 9 ⇔ b = 9 – a (1)

Tiêu cự của Elip là 2c, độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng √5/3 nên : 2c/2a = c/a = √5/3 => c = a√5/3 (2)

Mà a² – b² = c² ( 3)

Thay (1); ( 2) vào ( 3) ta được :

a² – (9 – a)² = (a√5/3)² ⇔ a² – 81 + 18a – a² = (5a²)/9

⇔ (5a²)/9 -18a + 81 = 0 ⇔ 5a²-162a + 729 = 0

• Với a = 45 thì b = 9- 45 = – 36

• Với a = 5 thì b= 9 – 5 = 4

Vậy phương trình cần tìm là : (x²/25) + (y²/16) = 1

Câu 8: Elip có tổng độ dài hai trục bằng 10 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng √21/5 . Phương trình chính tắc của elip là :

A. (x²/9) + (y²/4) = 1
B. (x²/4) + (y²/9) = 1
C. (x²/25) + (y²/4) = 1
D. (x²/9) + (y²/4) = 1

Lời giải:

Đáp án: D

Giả sử elip có phương trình tổng quát là (x²/a²) + (y²/b²) = 1 (a,b > 0).

• Tổng độ dài hai trục của Elip là 2a + 2b = 10 ⇔ a + b = 5 ⇔ b = 5 – a ( 1)

• Tiêu cự của Elip là 2c; độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số:

2c/2a = √21/5 nên c = (a√21)/5 ( 2)

Mà a² – b² = c² ( 3)

Thay (1);( 2) vào (3) ta được :

a² – ( 5 – a )² = ((a√21)/5)² ⇔ a² – 25 + 10a – a²= (21a²)/25

⇔ (21a²)/25 – 10a+ 25 = 0 ⇔ 21a² – 250a+ 625 = 0

• Với a = 15 thì b = 5- 15 = – 10

• Với a = 3 thì b = 5 – 3 = 2

Vậy phương trình cần tìm là : (x²/9) + (y²/4) = 1

6. Lưu Ý Quan Trọng Khi Giải Bài Tập Elip

• Đọc kỹ đề bài: Xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán.
• Vẽ hình minh họa: Giúp bạn hình dung rõ hơn về elip và các yếu tố liên quan.
• Sử dụng đúng công thức: Áp dụng chính xác các công thức liên hệ giữa a, b, c và e.
• Kiểm tra lại kết quả: Đảm bảo giá trị của a và b thỏa mãn điều kiện a > b > 0.

7. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ) Về Phương Trình Elip

1. Phương trình elip có những dạng nào?

Ngoài dạng chính tắc, elip còn có dạng tổng quát. Tuy nhiên, dạng chính tắc được sử dụng phổ biến hơn trong các bài toán cơ bản.

2. Làm sao để nhận biết một phương trình là của elip?

Phương trình có dạng (x² / a²) + (y² / b²) = 1 với a ≠ b là phương trình của elip.

3. Tiêu điểm của elip có vai trò gì?

Tiêu điểm là yếu tố quan trọng để xác định hình dạng của elip. Tổng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên elip đến hai tiêu điểm là một hằng số.

4. Khi nào elip trở thành đường tròn?

Khi a = b, elip trở thành đường tròn.

5. Tâm sai của elip có ý nghĩa gì?

Tâm sai thể hiện độ “dẹt” của elip. Tâm sai càng gần 0, elip càng giống đường tròn; tâm sai càng gần 1, elip càng dẹt.

6. Làm thế nào để tìm tọa độ các đỉnh của elip?

Các đỉnh của elip nằm trên trục Ox có tọa độ là (±a; 0), các đỉnh nằm trên trục Oy có tọa độ là (0; ±b).

7. Phương trình elip có ứng dụng gì trong thực tế?

Elip được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như kiến trúc (thiết kế mái vòm), thiên văn học (quỹ đạo của các hành tinh), và quang học (thiết kế gương phản xạ).

8. Có những phần mềm nào hỗ trợ vẽ elip?

Các phần mềm như Geogebra, Desmos, hoặc các phần mềm CAD đều có thể vẽ elip một cách dễ dàng.

9. Làm sao để nhớ các công thức về elip một cách dễ dàng?

Bạn có thể tạo ra các sơ đồ tư duy, học theo nhóm, hoặc làm nhiều bài tập để ghi nhớ công thức một cách hiệu quả.

10. Nếu gặp bài toán elip khó, tôi nên làm gì?

Hãy chia nhỏ bài toán thành các bước nhỏ hơn, xác định các yếu tố đã biết, và áp dụng các công thức một cách tuần tự. Nếu vẫn gặp khó khăn, hãy tìm kiếm sự giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè, hoặc các nguồn tài liệu trực tuyến như CAUHOI2025.EDU.VN.

8. Tìm Hiểu Thêm Tại CAUHOI2025.EDU.VN

CAUHOI2025.EDU.VN là nơi bạn có thể tìm thấy vô vàn tài liệu, bài giảng, và bài tập về elip cũng như các chủ đề toán học khác. Chúng tôi cam kết cung cấp thông tin chính xác, dễ hiểu, và hữu ích nhất cho người học tại Việt Nam.

Ngoài ra, nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại đặt câu hỏi trên website của chúng tôi. Đội ngũ chuyên gia của CAUHOI2025.EDU.VN luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.

Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam

Số điện thoại: +84 2435162967

Trang web: CAUHOI2025.EDU.VN

Hãy truy cập CauHoi2025.EDU.VN ngay hôm nay để nâng cao kiến thức và chinh phục môn Toán!