Từ Một Hộp Chứa 3 Quả Cầu Trắng và 2 Quả Cầu Đen Lấy Ngẫu Nhiên 2 Quả: Giải Chi Tiết

Bạn đang gặp khó khăn với bài toán xác suất chọn ngẫu nhiên từ hộp có các quả cầu khác màu? CAUHOI2025.EDU.VN sẽ giúp bạn hiểu rõ cách giải quyết bài toán “Từ Một Hộp Chứa 3 Quả Cầu Trắng Và 2 Quả Cầu đen Lấy Ngẫu Nhiên 2 Quả” một cách chi tiết và dễ hiểu nhất, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập tương tự. Chúng tôi cung cấp kiến thức đáng tin cậy và giải pháp thiết thực, giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài toán xác suất.

1. Bài Toán Cơ Bản: Xác Suất Lấy Quả Cầu

1.1. Đề bài toán:

Một hộp chứa 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để:

• a) Lấy được 2 quả cầu trắng.
• b) Lấy được 2 quả cầu đen.
• c) Lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen.

1.2. Phân tích bài toán:

Đây là bài toán xác suất cơ bản, sử dụng kiến thức về tổ hợp và quy tắc tính xác suất. Để giải quyết, ta cần xác định:

• Không gian mẫu: Tổng số cách chọn 2 quả cầu từ 5 quả.
• Biến cố: Các trường hợp cụ thể cần tính xác suất (2 trắng, 2 đen, 1 trắng 1 đen).
• Xác suất: Tỉ lệ giữa số cách chọn thỏa mãn biến cố và tổng số cách chọn (không gian mẫu).

1.3. Giải chi tiết:

a) Xác suất lấy được 2 quả cầu trắng:

• Số cách chọn 2 quả cầu trắng từ 3 quả trắng: Tổ hợp chập 2 của 3, ký hiệu là C(3,2) = 3! / (2! * 1!) = 3.
• Tổng số cách chọn 2 quả cầu từ 5 quả: Tổ hợp chập 2 của 5, ký hiệu là C(5,2) = 5! / (2! * 3!) = 10.
• Xác suất lấy được 2 quả cầu trắng: P(2 trắng) = (Số cách chọn 2 trắng) / (Tổng số cách chọn) = 3 / 10 = 0.3 (30%).

b) Xác suất lấy được 2 quả cầu đen:

• Số cách chọn 2 quả cầu đen từ 2 quả đen: Tổ hợp chập 2 của 2, ký hiệu là C(2,2) = 2! / (2! * 0!) = 1. (Lưu ý: 0! = 1)
• Tổng số cách chọn 2 quả cầu từ 5 quả: C(5,2) = 10 (đã tính ở trên).
• Xác suất lấy được 2 quả cầu đen: P(2 đen) = (Số cách chọn 2 đen) / (Tổng số cách chọn) = 1 / 10 = 0.1 (10%).

c) Xác suất lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen:

• Số cách chọn 1 quả cầu trắng từ 3 quả trắng: Tổ hợp chập 1 của 3, ký hiệu là C(3,1) = 3! / (1! * 2!) = 3.
• Số cách chọn 1 quả cầu đen từ 2 quả đen: Tổ hợp chập 1 của 2, ký hiệu là C(2,1) = 2! / (1! * 1!) = 2.
• Số cách chọn 1 trắng và 1 đen: Theo quy tắc nhân, ta có 3 * 2 = 6 cách.
• Tổng số cách chọn 2 quả cầu từ 5 quả: C(5,2) = 10 (đã tính ở trên).
• Xác suất lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen: P(1 trắng, 1 đen) = (Số cách chọn 1 trắng 1 đen) / (Tổng số cách chọn) = 6 / 10 = 0.6 (60%).

1.4. Kết luận:

• Xác suất lấy được 2 quả cầu trắng là 30%.
• Xác suất lấy được 2 quả cầu đen là 10%.
• Xác suất lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen là 60%.

2. Các Dạng Bài Toán Nâng Cao Về Xác Suất Chọn Quả Cầu

2.1. Bài toán có điều kiện:

Một hộp chứa 4 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu. Biết rằng đã lấy được ít nhất một quả cầu trắng, tính xác suất để cả hai quả cầu đều là màu trắng.

Phân tích: Bài toán này yêu cầu tính xác suất có điều kiện. Chúng ta cần xác định không gian mẫu mới (chỉ xét các trường hợp có ít nhất 1 quả trắng) và tính xác suất biến cố trong không gian mẫu mới này.

Giải:

• Không gian mẫu ban đầu: Tổng số cách chọn 2 quả cầu từ 7 quả là C(7,2) = 21.
• Biến cố A: Lấy được ít nhất một quả cầu trắng.
• Biến cố B: Lấy được 2 quả cầu trắng.
• Tính P(A): Có 3 trường hợp không thỏa mãn A (lấy 2 quả đen). Vậy số trường hợp thỏa mãn A là 21 – C(3,2) = 21 – 3 = 18. P(A) = 18/21 = 6/7.
• Tính P(B): Số cách chọn 2 quả trắng là C(4,2) = 6. Vậy P(B) = 6/21 = 2/7.
• Tính P(B|A): Xác suất cần tìm là P(B|A) = P(A∩B) / P(A). Vì B là tập con của A (nếu lấy 2 quả trắng thì chắc chắn có ít nhất 1 quả trắng), nên P(A∩B) = P(B) = 2/7.
• Kết quả: P(B|A) = (2/7) / (6/7) = 1/3.

Vậy, xác suất để cả hai quả cầu đều là màu trắng, biết rằng đã lấy được ít nhất một quả cầu trắng là 1/3.

2.2. Bài toán với nhiều hộp:

Có hai hộp:

• Hộp 1: Chứa 5 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen.
• Hộp 2: Chứa 4 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen.

Lấy ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu. Tính xác suất để lấy được quả cầu trắng.

Phân tích: Đây là bài toán sử dụng công thức xác suất đầy đủ. Ta cần tính xác suất lấy được quả cầu trắng từ mỗi hộp, sau đó tính trung bình có trọng số (dựa trên xác suất chọn mỗi hộp).

Giải:

• Biến cố H1: Chọn hộp 1. P(H1) = 1/2.
• Biến cố H2: Chọn hộp 2. P(H2) = 1/2.
• Biến cố A: Lấy được quả cầu trắng.
• Tính P(A|H1): Xác suất lấy được quả cầu trắng từ hộp 1 là 5/8.
• Tính P(A|H2): Xác suất lấy được quả cầu trắng từ hộp 2 là 4/6 = 2/3.
• Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: P(A) = P(H1) P(A|H1) + P(H2) P(A|H2) = (1/2) (5/8) + (1/2) (2/3) = 5/16 + 1/3 = 31/48.

Vậy, xác suất để lấy được quả cầu trắng là 31/48.

2.3. Bài toán lấy có hoàn lại và không hoàn lại:

Một hộp chứa 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu liên tiếp. Tính xác suất để:

• a) Lấy có hoàn lại (sau khi lấy quả thứ nhất, bỏ lại vào hộp).
• b) Lấy không hoàn lại (sau khi lấy quả thứ nhất, không bỏ lại vào hộp).
  • Lấy được quả thứ hai là màu trắng, biết rằng quả thứ nhất là màu đen.

Phân tích:

• Lấy có hoàn lại: Các lần lấy là độc lập với nhau.
• Lấy không hoàn lại: Kết quả lần lấy thứ nhất ảnh hưởng đến xác suất của lần lấy thứ hai.

Giải:

a) Lấy có hoàn lại:

• Xác suất lấy được quả cầu đen đầu tiên: 2/5
• Xác suất lấy được quả cầu trắng thứ hai (do có hoàn lại, số lượng quả không đổi): 3/5
• Xác suất chung: (2/5) * (3/5) = 6/25

b) Lấy không hoàn lại:

• Xác suất lấy được quả cầu đen đầu tiên: 2/5
• Sau khi lấy 1 quả đen, trong hộp còn 3 quả trắng và 1 quả đen (tổng 4 quả).
• Xác suất lấy được quả cầu trắng thứ hai (biết quả đầu là đen): 3/4
• Xác suất chung: (2/5) * (3/4) = 3/10

Vậy:

• a) Xác suất lấy có hoàn lại để được quả thứ hai màu trắng, quả thứ nhất bất kỳ là 6/25.
• b) Xác suất lấy không hoàn lại để được quả thứ hai màu trắng, biết quả thứ nhất màu đen là 3/10.

3. Ứng Dụng Thực Tế Của Bài Toán Xác Suất

Các bài toán xác suất, đặc biệt là các bài toán liên quan đến việc lấy mẫu từ một tập hợp (như hộp chứa quả cầu), có rất nhiều ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực khác nhau:

• Kiểm soát chất lượng: Trong sản xuất, các nhà máy thường xuyên lấy mẫu sản phẩm để kiểm tra chất lượng. Xác suất giúp đánh giá khả năng một lô hàng đạt tiêu chuẩn dựa trên kết quả kiểm tra mẫu. Ví dụ, một công ty sản xuất bóng đèn có thể sử dụng xác suất để ước tính tỷ lệ bóng đèn bị lỗi trong một lô hàng lớn bằng cách kiểm tra một số lượng nhỏ bóng đèn ngẫu nhiên.

• Nghiên cứu thị trường: Các công ty sử dụng khảo sát để thu thập thông tin về sở thích và hành vi của khách hàng. Xác suất giúp đảm bảo rằng mẫu khảo sát đại diện cho toàn bộ thị trường mục tiêu, từ đó đưa ra các quyết định marketing chính xác hơn. Theo một nghiên cứu của Nielsen Việt Nam, việc sử dụng các phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên và phân tích xác suất giúp các công ty FMCG (hàng tiêu dùng nhanh) dự đoán chính xác hơn xu hướng tiêu dùng và điều chỉnh chiến lược sản phẩm phù hợp.

• Tài chính: Các nhà đầu tư sử dụng xác suất để đánh giá rủi ro và lợi nhuận tiềm năng của các khoản đầu tư khác nhau. Ví dụ, họ có thể sử dụng mô hình xác suất để dự đoán khả năng một cổ phiếu tăng giá hoặc giảm giá dựa trên dữ liệu lịch sử và các yếu tố thị trường. Một báo cáo của SSI Research cho thấy việc áp dụng các mô hình xác suất trong quản lý danh mục đầu tư giúp nhà đầu tư giảm thiểu rủi ro và tối ưu hóa lợi nhuận.

• Y học: Trong các thử nghiệm lâm sàng, các nhà khoa học sử dụng xác suất để đánh giá hiệu quả của một loại thuốc mới hoặc phương pháp điều trị. Xác suất giúp xác định xem kết quả thử nghiệm có phải là do tác dụng thực sự của thuốc hay chỉ là do ngẫu nhiên. Ví dụ, xác suất được sử dụng để so sánh tỷ lệ khỏi bệnh giữa nhóm dùng thuốc và nhóm dùng giả dược, từ đó kết luận về hiệu quả của thuốc.

• Khoa học dữ liệu và Machine Learning: Xác suất là nền tảng của nhiều thuật toán machine learning. Ví dụ, trong bài toán phân loại, các thuật toán sử dụng xác suất để dự đoán khả năng một mẫu dữ liệu thuộc về một lớp nào đó. Các mô hình như Naive Bayes và Logistic Regression dựa trên các nguyên tắc xác suất để đưa ra dự đoán. Theo một khóa học về Machine Learning trên Coursera, hiểu biết về xác suất là rất quan trọng để xây dựng và đánh giá các mô hình machine learning hiệu quả.

• Bảo hiểm: Các công ty bảo hiểm sử dụng xác suất để tính toán phí bảo hiểm dựa trên khả năng xảy ra các sự kiện rủi ro (ví dụ: tai nạn, bệnh tật, thiên tai). Xác suất giúp họ định giá các hợp đồng bảo hiểm một cách công bằng và đảm bảo khả năng chi trả cho các yêu cầu bồi thường.

Những ứng dụng này chỉ là một phần nhỏ trong số rất nhiều lĩnh vực mà xác suất đóng vai trò quan trọng. Việc hiểu rõ các nguyên tắc xác suất giúp chúng ta đưa ra các quyết định sáng suốt hơn trong cuộc sống và công việc.

4. Các Công Thức Quan Trọng Cần Ghi Nhớ

Để giải quyết các bài toán xác suất liên quan đến việc lấy ngẫu nhiên, bạn cần nắm vững các công thức sau:

• Tổ hợp (Combination):

  • Công thức: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
  • Ý nghĩa: Số cách chọn k phần tử từ n phần tử (không phân biệt thứ tự).

• Chỉnh hợp (Permutation):

  • Công thức: A(n, k) = n! / (n-k)!
  • Ý nghĩa: Số cách chọn k phần tử từ n phần tử (có phân biệt thứ tự).

• Quy tắc nhân:

  • Nếu một công việc gồm nhiều giai đoạn, số cách hoàn thành công việc là tích số cách hoàn thành từng giai đoạn.

• Quy tắc cộng:

  • Nếu có nhiều phương án thực hiện một công việc, số cách hoàn thành công việc là tổng số cách thực hiện từng phương án.

• Xác suất của biến cố:

  • P(A) = n(A) / n(Ω)
  • Trong đó:
    • P(A): Xác suất của biến cố A
    • n(A): Số kết quả thuận lợi cho biến cố A
    • n(Ω): Tổng số kết quả có thể xảy ra (không gian mẫu)

• Xác suất có điều kiện:

  • P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
  • Ý nghĩa: Xác suất của biến cố A xảy ra khi biết biến cố B đã xảy ra.

• Công thức xác suất đầy đủ:

  • P(A) = P(H1) P(A|H1) + P(H2) P(A|H2) + … + P(Hn) * P(A|Hn)
  • Trong đó: H1, H2, …, Hn là các biến cố xung khắc và đầy đủ.

• Công thức Bayes:

  • P(Hi|A) = [P(Hi) * P(A|Hi)] / P(A)
  • Ý nghĩa: Tính xác suất của giả thiết Hi khi biết biến cố A đã xảy ra.

Nắm vững các công thức này và áp dụng chúng một cách linh hoạt sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả.

5. Bài Tập Tự Luyện

Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:

1. Một hộp chứa 5 bi đỏ, 3 bi xanh và 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất để lấy được:
   • a) 3 bi đỏ.
   • b) 1 bi đỏ, 1 bi xanh và 1 bi vàng.
   • c) Ít nhất 2 bi đỏ.
2. Có hai hộp:
   • Hộp 1: Chứa 4 bi đỏ và 6 bi xanh.
   • Hộp 2: Chứa 7 bi đỏ và 3 bi xanh.
     Lấy ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất để lấy được 2 bi đỏ.
3. Một người bắn 3 phát súng vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi phát là 0.7. Tính xác suất để người đó bắn trúng mục tiêu ít nhất 1 lần.
4. Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 12 học sinh giỏi Toán. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để trong 3 học sinh được chọn có ít nhất 1 học sinh giỏi Toán.

Gợi ý:

• Bài 1: Sử dụng công thức tổ hợp để tính số cách chọn.
• Bài 2: Sử dụng công thức xác suất đầy đủ.
• Bài 3: Tính xác suất biến cố đối (không bắn trúng lần nào), rồi suy ra xác suất cần tìm.
• Bài 4: Tính xác suất biến cố đối (không có học sinh giỏi Toán nào), rồi suy ra xác suất cần tìm.

Chúc bạn thành công!

6. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)

1. Tổ hợp và Chỉnh hợp khác nhau như thế nào?

Tổ hợp (Combination) là số cách chọn một nhóm phần tử từ một tập hợp lớn hơn, trong đó thứ tự của các phần tử không quan trọng. Ví dụ, chọn 2 người từ 5 người để tham gia một đội, thứ tự chọn không quan trọng. Chỉnh hợp (Permutation) là số cách chọn một nhóm phần tử từ một tập hợp lớn hơn, trong đó thứ tự của các phần tử có vai trò quan trọng. Ví dụ, chọn 2 người từ 5 người để xếp vào vị trí thứ nhất và thứ hai, thứ tự chọn sẽ tạo ra các kết quả khác nhau.

2. Khi nào sử dụng quy tắc nhân, khi nào sử dụng quy tắc cộng?

Sử dụng quy tắc nhân khi một công việc bao gồm nhiều giai đoạn liên tiếp, và bạn cần thực hiện tất cả các giai đoạn đó. Số cách hoàn thành công việc là tích của số cách hoàn thành mỗi giai đoạn. Sử dụng quy tắc cộng khi có nhiều phương án khác nhau để thực hiện một công việc, và bạn chỉ cần chọn một trong số các phương án đó. Số cách hoàn thành công việc là tổng của số cách thực hiện từng phương án.

3. Làm thế nào để phân biệt bài toán xác suất có điều kiện?

Bài toán xác suất có điều kiện thường có cụm từ “biết rằng” hoặc “cho trước”. Điều này có nghĩa là bạn đã có một thông tin nhất định về kết quả của một sự kiện, và bạn cần tính xác suất của một sự kiện khác dựa trên thông tin đó.

4. Công thức Bayes được sử dụng khi nào?

Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất của một giả thiết (hoặc nguyên nhân) khi bạn đã biết một sự kiện đã xảy ra. Nó thường được sử dụng trong các bài toán về chẩn đoán (ví dụ: xác định khả năng một người mắc bệnh khi biết kết quả xét nghiệm dương tính) hoặc phân loại (ví dụ: xác định khả năng một email là spam dựa trên nội dung của email).

5. Làm thế nào để cải thiện kỹ năng giải bài tập xác suất?

• Nắm vững lý thuyết: Hiểu rõ các khái niệm cơ bản, công thức và quy tắc tính xác suất.
• Làm nhiều bài tập: Thực hành giải các bài tập từ dễ đến khó để làm quen với các dạng bài khác nhau.
• Phân tích kỹ đề bài: Xác định rõ không gian mẫu, biến cố cần tính xác suất và các điều kiện ràng buộc.
• Sử dụng sơ đồ hoặc bảng: Vẽ sơ đồ hoặc lập bảng để trực quan hóa các khả năng và tính toán dễ dàng hơn.
• Kiểm tra lại kết quả: Đảm bảo rằng kết quả của bạn hợp lý và phù hợp với ngữ cảnh của bài toán.
• Tham khảo lời giải: Nếu gặp khó khăn, hãy tham khảo lời giải của các bài tập tương tự để học hỏi kinh nghiệm.

7. Tìm Hiểu Thêm Tại CAUHOI2025.EDU.VN

Nếu bạn vẫn còn thắc mắc hoặc muốn tìm hiểu sâu hơn về các bài toán xác suất, hãy truy cập CAUHOI2025.EDU.VN. Chúng tôi cung cấp:

• Kho bài tập phong phú: Với nhiều dạng bài khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán.
• Lời giải chi tiết: Giải thích cặn kẽ từng bước giải, giúp bạn hiểu rõ bản chất của vấn đề.
• Tư liệu học tập: Tổng hợp các công thức, định lý và khái niệm quan trọng, giúp bạn nắm vững kiến thức lý thuyết.
• Diễn đàn trao đổi: Nơi bạn có thể đặt câu hỏi, thảo luận với các thành viên khác và nhận được sự hỗ trợ từ đội ngũ chuyên gia.

Đừng ngần ngại khám phá CAUHOI2025.EDU.VN ngay hôm nay để nâng cao trình độ toán học của bạn!

Bạn có câu hỏi khác cần giải đáp? Đừng ngần ngại liên hệ với CAUHOI2025.EDU.VN theo địa chỉ 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam hoặc số điện thoại +84 2435162967. Chúng tôi luôn sẵn lòng hỗ trợ bạn! Hoặc truy cập trang “Liên hệ” trên website CAUHOI2025.EDU.VN để được hỗ trợ nhanh nhất!

Hãy để CauHoi2025.EDU.VN trở thành người bạn đồng hành tin cậy trên con đường chinh phục tri thức!