Hệ Tọa Độ Trong Không Gian Oxyz Lớp 12: Lý Thuyết Và Bài Tập

Bạn đang tìm kiếm tài liệu ôn tập môn Toán lớp 12 về hệ tọa độ Trong Không Gian Oxyz? CAUHOI2025.EDU.VN cung cấp lý thuyết chi tiết, bài tập áp dụng đa dạng và phương pháp giải hay giúp bạn nắm vững kiến thức, tự tin chinh phục các bài toán liên quan đến không gian Oxyz. Cùng khám phá ngay!

1. Hệ Trục Tọa Độ Vuông Góc Trong Không Gian Oxyz

1.1. Định Nghĩa

Trong không gian Oxyz, ta xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung gốc tọa độ O. Gọi i→, j→, k→ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian Oxyz.

Alt: Hình ảnh minh họa hệ trục tọa độ Oxyz vuông góc, với các trục Ox, Oy, Oz và các vector đơn vị i, j, k.

Lưu ý:

• Ox: Trục hoành
• Oy: Trục tung
• Oz: Trục cao

1.2. Tọa Độ Của Vectơ Trong Không Gian Oxyz

1.2.1. Định Nghĩa

Cho vectơ u→. Tọa độ của vectơ u→ là bộ ba số (x; y; z) sao cho:

u→ = xi→ + yj→ + zk→

Kí hiệu: u→ = (x; y; z)

1.2.2. Các Phép Toán Vectơ

Cho a→ = (a1; a2; a3), b→ = (b1; b2; b3), k ∈ R

• Tổng và hiệu hai vectơ: a→ ± b→ = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3)
• Tích của một số với vectơ: ka→ = (ka1; ka2; ka3)
• Vectơ không: 0→ = (0; 0; 0)
• Các vectơ đơn vị: i→ = (1; 0; 0), j→ = (0; 1; 0), k→ = (0; 0; 1)
• Điều kiện cùng phương: a→ cùng phương b→ (b→ ≠ 0→) ⇔ a→ = kb→ (k ∈ R)

Alt: Hình ảnh các công thức tính toán vectơ trong không gian Oxyz, bao gồm vectơ 0, vectơ đơn vị, và điều kiện cùng phương.

1.2.3. Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ

• Công thức: a→.b→ = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3
• Điều kiện vuông góc: a→ ⊥ b→ ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

1.3. Tọa Độ Của Điểm Trong Không Gian Oxyz

1.3.1. Định Nghĩa

Tọa độ của điểm M là bộ ba số (x; y; z) sao cho:

OM→ = x.i→ + y.j→ + z.k→

Trong đó:

• x: Hoành độ
• y: Tung độ
• z: Cao độ

Chú ý:

• M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0
• M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0
• M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0
• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0
• M ∈ Oy ⇔ x = z = 0
• M ∈ Oz ⇔ x = y = 0

1.3.2. Tọa Độ Trung Điểm Và Trọng Tâm

Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)

• Tọa độ vectơ AB: AB→ = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

• Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:

  Alt: Công thức tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB trong không gian Oxyz.

• Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:

  Alt: Công thức tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC trong không gian Oxyz.

• Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

  Alt: Công thức tính tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD trong không gian Oxyz.

2. Tích Có Hướng Của Hai Vectơ Trong Không Gian Oxyz

2.1. Định Nghĩa

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→ = (a1; a2; a3), b→ = (b1; b2; b3). Tích có hướng của hai vectơ a→ và b→, kí hiệu là [a→, b→], được xác định bởi:

Alt: Công thức tính tích có hướng của hai vectơ a và b trong không gian Oxyz.

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

2.2. Tính Chất

• [a→, b→] ⊥ a→; [a→, b→] ⊥ b→
• [a→, b→] = -[b→, a→]
• [i→, j→] = k→; [j→, k→] = i→; [k→, i→] = j→
• |[a→, b→]| = |a→|.|b→|.sin(a→, b→) (Chương trình nâng cao)
• a→, b→ cùng phương ⇔ [a→, b→] = 0→ (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

2.3. Ứng Dụng Của Tích Có Hướng

• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a→, b→ và c→ đồng phẳng ⇔ [a→, b→].c→ = 0
• Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = |[AB→], AD→|
• Diện tích tam giác ABC: SABC = 1/2 |[AB→], AC→|
• Thể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’: VABCD.A’B’C’D’ = |[AB→, AD→].AA’→|
• Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = 1/6 |[AB→, AC→].AD→|

Chú ý:

• Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
• Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

3. Phương Trình Mặt Cầu Trong Không Gian Oxyz

3.1. Định Nghĩa

Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

Kí hiệu: S(I; R) ⇔ S(I; R) = {M|IM = R}

Alt: Hình ảnh minh họa mặt cầu tâm I, bán kính R trong không gian Oxyz.

3.1.1. Phương Trình Tổng Quát Của Mặt Cầu

(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

Trong đó:

• I(a; b; c) là tâm mặt cầu
• R là bán kính mặt cầu

3.2. Vị Trí Tương Đối Giữa Mặt Cầu Và Mặt Phẳng

Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P). Gọi d = d(I, (P)) là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P). Khi đó:

• d > R: (S) và (P) không giao nhau.
• d = R: (S) và (P) tiếp xúc nhau. (P) là tiếp diện của (S).
• d < R: (S) và (P) cắt nhau theo một đường tròn.

Alt: Hình ảnh minh họa các vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng trong không gian Oxyz.

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

3.3. Vị Trí Tương Đối Giữa Mặt Cầu Và Đường Thẳng

Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và đường thẳng Δ. Gọi d = d(I, Δ) là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng Δ. Khi đó:

• d > R: (S) và Δ không giao nhau.
• d = R: (S) và Δ tiếp xúc nhau. Δ là tiếp tuyến của (S).
• d < R: (S) và Δ cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Alt: Hình ảnh minh họa các vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng trong không gian Oxyz.

Lưu ý: Trong trường hợp Δ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

• Xác định: d(I; Δ) = IH

• Lúc đó:

  Alt: Công thức tính bán kính mặt cầu khi đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm.

3.4. Đường Tròn Trong Không Gian Oxyz

Đường tròn (C) trong không gian Oxyz được xem là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (α).

Alt: Hình ảnh minh họa đường tròn là giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng trong không gian Oxyz.

(S): x2 + y2 + z2 – 2ax -2by – 2cz + d = 0

(α): Ax + By + Cz + D = 0

• Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C).

  • Tâm I’ = d ∩ (α). Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(α).

  • Bán kính:

    Alt: Công thức tính bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng.

3.5. Điều Kiện Tiếp Xúc

Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.

• Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; Δ) = R
• Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I;(α)) = R

Lưu ý: Tìm tiếp điểm Mo(xo; yo; zo). Sử dụng tính chất:

Alt: Hình ảnh công thức tính tiếp điểm của mặt cầu.

4. Kỹ Năng Giải Bài Tập Hệ Tọa Độ Trong Không Gian Oxyz

4.1. Dạng 1: Viết Phương Trình Mặt Cầu

4.1.1. Phương Pháp

• Cách 1:

  • Bước 1: Xác định tâm I(a; b; c).
  • Bước 2: Xác định bán kính R của (S).
  • Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

• Cách 2: Gọi phương trình (S): x2 + y2 + z2 -2ax – 2by – 2cz + d = 0

  Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d. (a2 + b2 + c2 – d > 0)

4.1.2. Ví Dụ Minh Họa

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

a) (S) có tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3.

b) (S) có tâm I(1; 2; 0) và (S) qua P(2; -2; 1).

c) (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1), B(-2; 0; 1).

Lời giải:

a) Mặt cầu tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3, có phương trình:

(S): (x – 2)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 9

b) Ta có: IP→ = (1; -4; 1) ⇒ IP = 3√2.

Mặt cầu tâm I(1; 2; 0) và bán kính R = IP = 3√2 , có phương trình:

(S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 18

c) Ta có: AB→ = (-3; -3; 0) ⇒ AB = 3√2.

Gọi I là trung điểm AB ⇒

Alt: Công thức tính tọa độ trung điểm I.

Mặt cầu tâm

Alt: Công thức tính tọa độ trung điểm I.
và bán kính

Alt: Công thức tính bán kính R.
, có phương trình:

Alt: Phương trình mặt cầu.

Bài 2: Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:

a) (S) qua A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) và tâm I thuộc trục Ox.

b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (α): 16x – 15y – 12z + 75 = 0.

c) (S) có tâm I(-1; 2; 0) và có một tiếp tuyến là đường thẳng

Alt: Hình ảnh đường thẳng delta.

Lời giải:

a) Gọi I(a; 0; 0) ∈ Ox. Ta có : IA→ = (3-a; 1; 0), IB→ = (5-a; 5; 0).

Do (S) đi qua A, B ⇔ IA = IB

Alt: Công thức tính IA=IB.
⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10

⇒ I(10; 0; 0) và IA = 5√2.

Mặt cầu tâm I(10; 0; 0) và bán kính R = 5√2, có phương trình (S) : (x – 10)2 + y2 + z2 = 50

b) Do (S) tiếp xúc với (α) ⇔ d(O,(α)) = R ⇔ R = 75/25 = 3

Mặt cầu tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3, có phương trình (S) : x2 + y2 + z2 = 9

c) Chọn A(-1; 1; 0) ∈ Δ ⇒ IA→ = (0; -1; 0).

Đường thẳng Δ có một vectơ chỉ phương là uΔ→ = (-1; 1; -3) . Ta có: [IA→, uΔ→] = (3; 0; -1) .

Do (S) tiếp xúc với Δ ⇔ d(I, Δ) = R

Alt: Công thức tính d(I, Delta) = R.

Mặt cầu tâm I(-1; 2; 0) và bán kính R = √10/11 , có phương trình (S) :

Alt: Phương trình mặt cầu.

4.2. Dạng 2: Sự Tương Giao Và Sự Tiếp Xúc

4.2.1. Phương Pháp

• Các điều kiện tiếp xúc:

  • Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; Δ) = R
  • Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I; (α)) = R

• Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.

4.2.2. Ví Dụ Minh Họa

Bài 1: Cho đường thẳng

Alt: Hình ảnh đường thẳng delta.
và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4z + 1 = 0 . Số điểm chung của (Δ) và (S) là:

A. 0. B.1. C.2. D.3.

Lời giải:

Đường thẳng (Δ) đi qua M(0; 1; 2) và có một vectơ chỉ phương là u→ = (2; 1; -1)

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; -2) và bán kính R = 2

Ta có MI→ = (1; -1; -4) và [u→, MI→] = (-5; 7; -3) ⇒

Alt: Công thức tính d(I,Delta).

Vì d(I,Δ) > R nên (Δ) không cắt mặt cầu (S)

Bài 2: Cho điểm I(1; -2; 3). Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:

A. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = √10

B. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 10

C. (x + 1)2 + (y 2 2)2 + (z + 3)2 = 10

D. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 9

Lời giải:

Gọi M là hình chiếu của I(1; -2; 3) lên Oy, ta có : M(0; -2; 0).

IM→ (-1; 0; -3) ⇒ R = d(I,Oy) = IM = √10 là bán kính mặt cầu cần tìm.

Phương trình mặt cầu là : (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 10

5. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)

1. Hệ tọa độ Oxyz dùng để làm gì?

Hệ tọa độ Oxyz được sử dụng để xác định vị trí của một điểm hoặc một vật thể trong không gian ba chiều. Nó là một công cụ quan trọng trong nhiều lĩnh vực như toán học, vật lý, kỹ thuật và đồ họa máy tính.

2. Làm thế nào để tìm tọa độ của một điểm trong không gian Oxyz?

Để tìm tọa độ của một điểm M trong không gian Oxyz, bạn cần xác định khoảng cách từ điểm đó đến ba mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oxz) và (Oyz). Khoảng cách đến mặt phẳng (Oyz) là hoành độ (x), khoảng cách đến mặt phẳng (Oxz) là tung độ (y), và khoảng cách đến mặt phẳng (Oxy) là cao độ (z).

3. Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian Oxyz là gì?

Cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB), khoảng cách giữa A và B được tính theo công thức: AB = √((xB – xA)2 + (yB – yA)2 + (zB – zA)2)

4. Làm thế nào để xác định phương trình của một mặt cầu trong không gian Oxyz?

Phương trình của một mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

5. Làm thế nào để xác định vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu trong không gian Oxyz?

Để xác định vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu, bạn cần tính khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến đường thẳng. So sánh khoảng cách này với bán kính của mặt cầu:

• Nếu khoảng cách lớn hơn bán kính, đường thẳng và mặt cầu không giao nhau.
• Nếu khoảng cách bằng bán kính, đường thẳng là tiếp tuyến của mặt cầu.
• Nếu khoảng cách nhỏ hơn bán kính, đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm.

6. Tích có hướng của hai vectơ trong không gian Oxyz dùng để làm gì?

Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ ban đầu. Nó được sử dụng để tính diện tích hình bình hành, diện tích tam giác, thể tích khối hộp và thể tích tứ diện.

7. Làm thế nào để chứng minh ba điểm thẳng hàng trong không gian Oxyz?

Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi vectơ AB và vectơ AC cùng phương, tức là AB→ = k AC→ với k là một số thực.

8. Khi nào thì hai vectơ vuông góc với nhau trong không gian Oxyz?

Hai vectơ a→ = (a1; a2; a3) và b→ = (b1; b2; b3) vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0: a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0.

9. Điều kiện để một mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là gì?

Mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I, bán kính R khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (α) bằng bán kính R: d(I;(α)) = R.

10. Làm thế nào để tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng trong không gian Oxyz?

Để tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng, bạn cần giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng. Nghiệm của hệ phương trình này là tọa độ của giao điểm.

Hy vọng với những kiến thức và bài tập được CAUHOI2025.EDU.VN tổng hợp, bạn sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán về hệ tọa độ trong không gian Oxyz.

Bạn vẫn còn thắc mắc về hệ tọa độ trong không gian Oxyz? Đừng ngần ngại truy cập CauHoi2025.EDU.VN để khám phá thêm nhiều bài viết hữu ích và đặt câu hỏi để được giải đáp chi tiết. Chúng tôi luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn trên con đường chinh phục kiến thức!

Tìm hiểu thêm về chúng tôi hoặc liên hệ qua địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam hoặc số điện thoại: +84 2435162967.