**Giải Toán 10 Cánh Diều Trang 19 Tập 2: Chi Tiết & Dễ Hiểu Nhất**

Bạn đang gặp khó khăn với bài tập Toán 10 Cánh Diều Trang 19 Tập 2? CAUHOI2025.EDU.VN sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và giải quyết bài tập một cách dễ dàng. Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập luyện tập, giúp bạn tự tin chinh phục môn Toán.

Meta Description: Hướng dẫn giải chi tiết bài tập Toán 10 Cánh Diều trang 19 tập 2, bao gồm luyện tập và bài tập về nhị thức Newton. CAUHOI2025.EDU.VN cung cấp lời giải dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và đạt điểm cao. #toan10 #canhdieu #giaitoan10 #nhithucnewton

1. Nhị Thức Newton: Nền Tảng Vững Chắc Cho Toán 10

Nhị thức Newton là một công thức quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là trong chương trình Cánh Diều. Nó giúp chúng ta khai triển các biểu thức có dạng (a + b)^n một cách nhanh chóng và hiệu quả. Để giải tốt các bài tập trong sách giáo khoa, chúng ta cần hiểu rõ về công thức này và các ứng dụng của nó.

Công thức nhị thức Newton có dạng như sau:

(a + b)^n = C(n,0) a^n b^0 + C(n,1) a^(n-1) b^1 + … + C(n,k) a^(n-k) b^k + … + C(n,n) a^0 b^n

Trong đó:

• n là số mũ của nhị thức.
• a và b là các số hạng trong nhị thức.
• C(n,k) là tổ hợp chập k của n, được tính bằng công thức: C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)

1.1. Ý Nghĩa Của Nhị Thức Newton Trong Toán Học

Nhị thức Newton không chỉ là một công thức toán học, mà còn là một công cụ mạnh mẽ giúp giải quyết nhiều vấn đề trong đại số, giải tích và xác suất thống kê. Theo “Toán học và ứng dụng” của GS.TSKH Nguyễn Hữu Việt Hưng, nhị thức Newton có vai trò quan trọng trong việc chứng minh các đẳng thức tổ hợp và tính toán gần đúng giá trị của các biểu thức phức tạp.

1.2. Các Tính Chất Của Nhị Thức Newton

Để áp dụng hiệu quả công thức nhị thức Newton, chúng ta cần nắm vững các tính chất sau:

• Số các số hạng: Khai triển của (a + b)^n có n + 1 số hạng.
• Tính đối xứng: Các hệ số C(n,k) đối xứng nhau, tức là C(n,k) = C(n, n-k).
• Tổng các hệ số: Tổng các hệ số trong khai triển của (a + b)^n bằng 2^n.
• Hệ số lớn nhất: Hệ số lớn nhất trong khai triển là hệ số của số hạng ở giữa (hoặc hai số hạng ở giữa nếu n là số lẻ).

2. Giải Chi Tiết Luyện Tập Trang 19 Toán 10 Cánh Diều Tập 2

2.1. Luyện Tập 1: Khai Triển Biểu Thức (2 + x)^4

Đề bài: Khai triển biểu thức (2 + x)^4.

Lời giải:

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

(2 + x)^4 = C(4,0) 2^4 x^0 + C(4,1) 2^3 x^1 + C(4,2) 2^2 x^2 + C(4,3) 2^1 x^3 + C(4,4) 2^0 x^4

Tính các hệ số tổ hợp:

• C(4,0) = 1
• C(4,1) = 4
• C(4,2) = 6
• C(4,3) = 4
• C(4,4) = 1

Thay vào công thức, ta được:

(2 + x)^4 = 1 16 1 + 4 8 x + 6 4 x^2 + 4 2 x^3 + 1 1 x^4

= 16 + 32x + 24x^2 + 8x^3 + x^4

Kết luận: (2 + x)^4 = 16 + 32x + 24x^2 + 8x^3 + x^4

2.2. Luyện Tập 2: Khai Triển Biểu Thức (2 – 3y)^4

Đề bài: Khai triển biểu thức (2 – 3y)^4.

Lời giải:

Ta có thể viết (2 – 3y)^4 = [2 + (-3y)]^4. Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

[2 + (-3y)]^4 = C(4,0) 2^4 (-3y)^0 + C(4,1) 2^3 (-3y)^1 + C(4,2) 2^2 (-3y)^2 + C(4,3) 2^1 (-3y)^3 + C(4,4) 2^0 (-3y)^4

Tính các hệ số tổ hợp (như trên) và thay vào công thức, ta được:

[2 + (-3y)]^4 = 1 16 1 + 4 8 (-3y) + 6 4 (9y^2) + 4 2 (-27y^3) + 1 1 (81y^4)

= 16 – 96y + 216y^2 – 216y^3 + 81y^4

Kết luận: (2 – 3y)^4 = 16 – 96y + 216y^2 – 216y^3 + 81y^4

2.3. Luyện Tập 3: Tính Giá Trị Các Biểu Thức Tổ Hợp

Đề bài: Tính:

a) C(4,0) + C(4,1) + C(4,2) + C(4,3) + C(4,4)
b) C(5,0) – C(5,1) + C(5,2) – C(5,3) + C(5,4) – C(5,5)

Lời giải:

a) Nhận xét rằng biểu thức này là tổng các hệ số trong khai triển của (1 + 1)^4. Theo tính chất của nhị thức Newton, ta có:

C(4,0) + C(4,1) + C(4,2) + C(4,3) + C(4,4) = (1 + 1)^4 = 2^4 = 16

b) Nhận xét rằng biểu thức này là tổng các hệ số trong khai triển của (1 – 1)^5. Theo tính chất của nhị thức Newton, ta có:

C(5,0) – C(5,1) + C(5,2) – C(5,3) + C(5,4) – C(5,5) = (1 – 1)^5 = 0^5 = 0

Kết luận:

a) C(4,0) + C(4,1) + C(4,2) + C(4,3) + C(4,4) = 16
b) C(5,0) – C(5,1) + C(5,2) – C(5,3) + C(5,4) – C(5,5) = 0

3. Giải Chi Tiết Bài Tập Trang 19 Toán 10 Cánh Diều Tập 2

3.1. Bài 1: Khai Triển Các Biểu Thức

Đề bài: Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + 1)^4
b) (3y – 4)^4
c) (x + 1/2)^4
d) (x – 1/3)^4

Lời giải:

a) (2x + 1)^4 = C(4,0) (2x)^4 1^0 + C(4,1) (2x)^3 1^1 + C(4,2) (2x)^2 1^2 + C(4,3) (2x)^1 1^3 + C(4,4) (2x)^0 1^4

= 1 16x^4 1 + 4 8x^3 1 + 6 4x^2 1 + 4 2x 1 + 1 1 1

= 16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1

b) (3y – 4)^4 = [3y + (-4)]^4 = C(4,0) (3y)^4 (-4)^0 + C(4,1) (3y)^3 (-4)^1 + C(4,2) (3y)^2 (-4)^2 + C(4,3) (3y)^1 (-4)^3 + C(4,4) (3y)^0 (-4)^4

= 1 81y^4 1 + 4 27y^3 (-4) + 6 9y^2 16 + 4 3y (-64) + 1 1 256

= 81y^4 – 432y^3 + 864y^2 – 768y + 256

c) (x + 1/2)^4 = C(4,0) x^4 (1/2)^0 + C(4,1) x^3 (1/2)^1 + C(4,2) x^2 (1/2)^2 + C(4,3) x^1 (1/2)^3 + C(4,4) x^0 (1/2)^4

= 1 x^4 1 + 4 x^3 (1/2) + 6 x^2 (1/4) + 4 x (1/8) + 1 1 (1/16)

= x^4 + 2x^3 + (3/2)x^2 + (1/2)x + 1/16

d) (x – 1/3)^4 = [x + (-1/3)]^4 = C(4,0) x^4 (-1/3)^0 + C(4,1) x^3 (-1/3)^1 + C(4,2) x^2 (-1/3)^2 + C(4,3) x^1 (-1/3)^3 + C(4,4) x^0 (-1/3)^4

= 1 x^4 1 + 4 x^3 (-1/3) + 6 x^2 (1/9) + 4 x (-1/27) + 1 1 (1/81)

= x^4 – (4/3)x^3 + (2/3)x^2 – (4/27)x + 1/81

3.2. Bài 2: Khai Triển Các Biểu Thức (x + 1)^5 và (x – 3y)^5

Đề bài: Khai triển các biểu thức sau:

a) (x + 1)^5
b) (x – 3y)^5

Lời giải:

a) (x + 1)^5 = C(5,0) x^5 1^0 + C(5,1) x^4 1^1 + C(5,2) x^3 1^2 + C(5,3) x^2 1^3 + C(5,4) x^1 1^4 + C(5,5) x^0 1^5

= 1 x^5 1 + 5 x^4 1 + 10 x^3 1 + 10 x^2 1 + 5 x 1 + 1 1 1

= x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1

b) (x – 3y)^5 = [x + (-3y)]^5 = C(5,0) x^5 (-3y)^0 + C(5,1) x^4 (-3y)^1 + C(5,2) x^3 (-3y)^2 + C(5,3) x^2 (-3y)^3 + C(5,4) x^1 (-3y)^4 + C(5,5) x^0 (-3y)^5

= 1 x^5 1 + 5 x^4 (-3y) + 10 x^3 (9y^2) + 10 x^2 (-27y^3) + 5 x (81y^4) + 1 1 (-243y^5)

= x^5 – 15x^4y + 90x^3y^2 – 270x^2y^3 + 405xy^4 – 243y^5

3.3. Bài 3: Xác Định Hệ Số Của x^4 Trong Khai Triển (3x + 2)^5

Đề bài: Xác định hệ số của x^4 trong khai triển biểu thức (3x + 2)^5.

Lời giải:

Số hạng chứa x^4 trong khai triển (3x + 2)^5 có dạng C(5,1) (3x)^4 2^1.

Tính hệ số: C(5,1) 3^4 2 = 5 81 2 = 810.

Vậy, hệ số của x^4 trong khai triển biểu thức (3x + 2)^5 là 810.

3.4. Bài 4: Tính Giá Trị Các Hệ Số a3 và Tổng Các Hệ Số Trong Khai Triển

Đề bài: Cho (1 – (1/2)x)^5 = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + a4x^4 + a5x^5.

Tính:

a) a3
b) a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5

Lời giải:

a) a3 là hệ số của x^3 trong khai triển (1 – (1/2)x)^5. Số hạng chứa x^3 là C(5,3) 1^2 (-1/2 x)^3 = 10 (-1/8) x^3 = -5/4 x^3.

Vậy, a3 = -5/4.

b) a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 là tổng các hệ số trong khai triển. Để tính tổng này, ta thay x = 1 vào biểu thức (1 – (1/2)x)^5:

(1 – (1/2) * 1)^5 = (1 – 1/2)^5 = (1/2)^5 = 1/32

Vậy, a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1/32.

3.5. Bài 5: Số Tập Hợp Con Của Tập Hợp A Có 5 Phần Tử

Đề bài: Cho tập hợp A có 5 phần tử. Số tập hợp con của A là bao nhiêu?

Lời giải:

Số tập hợp con của một tập hợp có n phần tử là 2^n. Trong trường hợp này, A có 5 phần tử, nên số tập hợp con của A là 2^5 = 32.

Kết luận: Tập hợp A có 32 tập hợp con.

4. Ứng Dụng Thực Tế Của Nhị Thức Newton

Nhị thức Newton không chỉ có ứng dụng trong giải toán mà còn xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác của đời sống.

• Xác suất thống kê: Nhị thức Newton được sử dụng để tính xác suất trong các bài toán liên quan đến phân phối nhị thức.
• Kinh tế: Trong lĩnh vực tài chính, nhị thức Newton có thể được dùng để tính toán lãi kép và các khoản đầu tư.
• Khoa học máy tính: Nhị thức Newton có ứng dụng trong việc phân tích thuật toán và thiết kế các hệ thống mật mã. Theo “Cấu trúc dữ liệu và giải thuật” của ThS. Lê Minh Hoàng, một số thuật toán tìm kiếm và sắp xếp sử dụng các nguyên lý từ nhị thức Newton để tối ưu hóa hiệu suất.

5. Các Lỗi Thường Gặp Khi Sử Dụng Nhị Thức Newton và Cách Khắc Phục

Trong quá trình giải bài tập, học sinh thường mắc phải một số lỗi sau:

• Sai sót trong tính toán hệ số tổ hợp: Cần kiểm tra kỹ công thức và thực hiện tính toán cẩn thận.
• Quên dấu âm khi khai triển (a – b)^n: Lưu ý rằng các số hạng có dấu âm xen kẽ.
• Nhầm lẫn giữa a và b trong công thức: Xác định rõ đâu là a, đâu là b trước khi áp dụng công thức.

Để tránh những lỗi này, bạn nên luyện tập thường xuyên, làm nhiều bài tập và kiểm tra lại kết quả cẩn thận.

6. Mẹo Học Tốt Nhị Thức Newton

• Học thuộc công thức: Đây là bước cơ bản nhất để giải quyết các bài toán liên quan đến nhị thức Newton.
• Luyện tập thường xuyên: Giải nhiều bài tập với các dạng khác nhau để làm quen với công thức và các ứng dụng của nó.
• Sử dụng tam giác Pascal: Tam giác Pascal là một công cụ hữu ích để tìm nhanh các hệ số tổ hợp.
• Tìm hiểu các ứng dụng thực tế: Điều này giúp bạn thấy được tầm quan trọng của nhị thức Newton và có thêm động lực học tập.

7. FAQ – Câu Hỏi Thường Gặp Về Nhị Thức Newton

1. Nhị thức Newton là gì?
   • Nhị thức Newton là công thức khai triển biểu thức (a + b)^n thành tổng các số hạng.
2. Công thức tổng quát của nhị thức Newton là gì?
   • (a + b)^n = ∑(k=0 đến n) C(n,k) a^(n-k) b^k
3. Làm thế nào để tính hệ số tổ hợp C(n,k)?
   • C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)
4. Tam giác Pascal có liên quan gì đến nhị thức Newton?
   • Tam giác Pascal cung cấp các hệ số tổ hợp C(n,k) cho khai triển nhị thức Newton.
5. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển của (a + b)^n?
   • Có n + 1 số hạng.
6. Tổng các hệ số trong khai triển của (a + b)^n bằng bao nhiêu?
   • Bằng 2^n.
7. Số hạng tổng quát trong khai triển của (a + b)^n có dạng như thế nào?
   • C(n,k) a^(n-k) b^k
8. Nhị thức Newton có ứng dụng gì trong thực tế?
   • Ứng dụng trong xác suất thống kê, kinh tế, khoa học máy tính.
9. Làm thế nào để tìm hệ số của một số hạng cụ thể trong khai triển nhị thức Newton?
   • Xác định số mũ của các biến và sử dụng công thức số hạng tổng quát.
10. Có những lỗi nào thường gặp khi sử dụng nhị thức Newton?
    • Sai sót trong tính toán hệ số tổ hợp, quên dấu âm, nhầm lẫn giữa a và b.

8. CAUHOI2025.EDU.VN – Người Bạn Đồng Hành Của Học Sinh Việt Nam

CAUHOI2025.EDU.VN tự hào là website cung cấp giải pháp học tập toàn diện cho học sinh Việt Nam. Chúng tôi không chỉ cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong sách giáo khoa, mà còn mang đến những kiến thức bổ ích, các mẹo học tập hiệu quả và các tài liệu tham khảo chất lượng.

Ưu điểm khi học tập tại CAUHOI2025.EDU.VN:

• Lời giải chi tiết, dễ hiểu: Các bài giải được trình bày một cách rõ ràng, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức.
• Đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm: Các bài giải được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, đảm bảo tính chính xác và khoa học.
• Tài liệu tham khảo phong phú: Cung cấp nhiều tài liệu tham khảo, giúp học sinh mở rộng kiến thức và nâng cao trình độ.
• Giao diện thân thiện, dễ sử dụng: Giao diện website được thiết kế thân thiện, dễ sử dụng, giúp học sinh dễ dàng tìm kiếm thông tin.
• Hỗ trợ nhiệt tình: Đội ngũ hỗ trợ luôn sẵn sàng giải đáp mọi thắc mắc của học sinh.

Liên hệ với chúng tôi:

• Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam
• Số điện thoại: +84 2435162967
• Trang web: CAUHOI2025.EDU.VN

Đừng ngần ngại truy cập CAUHOI2025.EDU.VN ngay hôm nay để khám phá kho tàng kiến thức và chinh phục môn Toán một cách dễ dàng! Bạn có thể tìm thấy nhiều bài giải khác, đặt câu hỏi hoặc sử dụng dịch vụ tư vấn của chúng tôi.

Hãy để CauHoi2025.EDU.VN đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục tri thức!