Toán 10 Bài 11: Tích Vô Hướng Của Hai Vector – Giải Chi Tiết

Bạn đang gặp khó khăn với bài toán tích vô hướng của hai vector trong chương trình Toán 10? CAUHOI2025.EDU.VN sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức, giải bài tập hiệu quả và tự tin chinh phục các bài kiểm tra. Bài viết này cung cấp đầy đủ lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng, giúp bạn hiểu sâu sắc về tích vô hướng và ứng dụng của nó.

1. Góc Giữa Hai Vector: Khái Niệm Và Cách Xác Định

1.1. Định Nghĩa Góc Giữa Hai Vector

Góc giữa hai vector là gì? Góc giữa hai vector $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ là góc tạo bởi hai tia có hướng của hai vector đó, với điều kiện chúng có chung điểm gốc. Ký hiệu: $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b})$.

• Nếu $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = 90^circ$, ta nói $overrightarrow{a}$ vuông góc với $overrightarrow{b}$, ký hiệu $overrightarrow{a} perp overrightarrow{b}$.

1.2. Cách Xác Định Góc Giữa Hai Vector

Để xác định góc giữa hai vector, ta thực hiện các bước sau:

1. Chọn một điểm O bất kỳ làm gốc.
2. Vẽ hai vector $overrightarrow{OA} = overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{OB} = overrightarrow{b}$.
3. Góc $widehat{AOB}$ là góc giữa hai vector $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$.
4. Lưu ý: $0^circ leq (overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) leq 180^circ$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC đều. Xác định góc giữa hai vector $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{AC}$.

Giải: Vì tam giác ABC đều nên $widehat{BAC} = 60^circ$. Do đó, $(overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}) = 60^circ$.

Alt: Góc giữa hai vector AB và AC trong tam giác đều minh họa khái niệm góc giữa hai vector

2. Tích Vô Hướng Của Hai Vector: Định Nghĩa, Công Thức Và Ý Nghĩa

2.1. Định Nghĩa Tích Vô Hướng

Tích vô hướng của hai vector $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ là một số, ký hiệu là $overrightarrow{a} . overrightarrow{b}$, được xác định bởi công thức:

$overrightarrow{a} . overrightarrow{b} = |overrightarrow{a}| . |overrightarrow{b}| . cos (overrightarrow{a}, overrightarrow{b})$

Trong đó:

• $|overrightarrow{a}|$ và $|overrightarrow{b}|$ là độ dài của vector $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$.
• $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b})$ là góc giữa hai vector $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$.

2.2. Công Thức Tính Tích Vô Hướng

Công thức trên cho phép ta tính tích vô hướng khi biết độ dài của hai vector và góc giữa chúng.

Ví dụ: Cho hai vector $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ có độ dài lần lượt là 3 và 4, góc giữa hai vector là $60^circ$. Tính $overrightarrow{a} . overrightarrow{b}$.

Giải: $overrightarrow{a} . overrightarrow{b} = 3 . 4 . cos 60^circ = 3 . 4 . frac{1}{2} = 6$

2.3. Ý Nghĩa Hình Học Của Tích Vô Hướng

Tích vô hướng có ý nghĩa hình học quan trọng. Nó liên hệ đến độ dài của các vector và góc giữa chúng, cho phép ta tính toán các đại lượng hình học một cách dễ dàng. Đặc biệt, tích vô hướng bằng 0 khi và chỉ khi hai vector vuông góc với nhau.

Theo một nghiên cứu của Đại học Quốc gia Hà Nội, Khoa Toán – Cơ, việc nắm vững tích vô hướng giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến hình học phẳng và không gian một cách hiệu quả hơn.

3. Biểu Thức Tọa Độ Và Tính Chất Của Tích Vô Hướng

3.1. Biểu Thức Tọa Độ Của Tích Vô Hướng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vector $overrightarrow{a} = (x_1; y_1)$ và $overrightarrow{b} = (x_2; y_2)$. Tích vô hướng của hai vector được tính theo công thức:

$overrightarrow{a} . overrightarrow{b} = x_1x_2 + y_1y_2$

Công thức này rất hữu ích khi ta biết tọa độ của hai vector.

Ví dụ: Cho $overrightarrow{a} = (1; 2)$ và $overrightarrow{b} = (3; -1)$. Tính $overrightarrow{a} . overrightarrow{b}$.

Giải: $overrightarrow{a} . overrightarrow{b} = 1 . 3 + 2 . (-1) = 3 – 2 = 1$

3.2. Tính Chất Của Tích Vô Hướng

Tích vô hướng có các tính chất sau:

1. Tính giao hoán: $overrightarrow{a} . overrightarrow{b} = overrightarrow{b} . overrightarrow{a}$
2. Tính phân phối: $overrightarrow{a} . (overrightarrow{b} + overrightarrow{c}) = overrightarrow{a} . overrightarrow{b} + overrightarrow{a} . overrightarrow{c}$
3. Tính kết hợp với số: $(koverrightarrow{a}) . overrightarrow{b} = k(overrightarrow{a} . overrightarrow{b}) = overrightarrow{a} . (koverrightarrow{b})$
4. $overrightarrow{a}^2 = |overrightarrow{a}|^2$ (Tích vô hướng của một vector với chính nó bằng bình phương độ dài của vector đó)

3.3. Ứng Dụng Của Tích Vô Hướng Trong Hình Học

Tích vô hướng được sử dụng để:

• Tính góc giữa hai vector.
• Kiểm tra tính vuông góc của hai vector.
• Tính độ dài hình chiếu của một vector lên một vector khác.
• Giải các bài toán liên quan đến tam giác và các hình khác.

4. Bài Tập Vận Dụng Về Tích Vô Hướng

4.1. Bài Tập Cơ Bản

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, $widehat{BAC} = 60^circ$. Tính $overrightarrow{AB} . overrightarrow{AC}$.

Giải: $overrightarrow{AB} . overrightarrow{AC} = |overrightarrow{AB}| . |overrightarrow{AC}| . cos (overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}) = 3 . 4 . cos 60^circ = 6$

Bài 2: Cho hai vector $overrightarrow{a} = (2; -1)$ và $overrightarrow{b} = (1; 3)$. Tính góc giữa hai vector.

Giải:

• $overrightarrow{a} . overrightarrow{b} = 2 . 1 + (-1) . 3 = -1$
• $|overrightarrow{a}| = sqrt{2^2 + (-1)^2} = sqrt{5}$
• $|overrightarrow{b}| = sqrt{1^2 + 3^2} = sqrt{10}$
• $cos (overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = frac{overrightarrow{a} . overrightarrow{b}}{|overrightarrow{a}| . |overrightarrow{b}|} = frac{-1}{sqrt{5} . sqrt{10}} = frac{-1}{5sqrt{2}}$
• $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = arccos left(frac{-1}{5sqrt{2}}right) approx 98.13^circ$

4.2. Bài Tập Nâng Cao

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có AB = a, AD = b, $widehat{BAD} = 60^circ$. Tính $overrightarrow{AC} . overrightarrow{BD}$.

Giải:

• $overrightarrow{AC} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD}$
• $overrightarrow{BD} = overrightarrow{AD} – overrightarrow{AB}$
• $overrightarrow{AC} . overrightarrow{BD} = (overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD}) . (overrightarrow{AD} – overrightarrow{AB}) = overrightarrow{AD}^2 – overrightarrow{AB}^2 = b^2 – a^2$

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1; 2), B(3; -1), C(0; 4). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Giải:

• $overrightarrow{AB} = (3-1; -1-2) = (2; -3)$
• $overrightarrow{AC} = (0-1; 4-2) = (-1; 2)$
• $overrightarrow{AB} . overrightarrow{AC} = 2 . (-1) + (-3) . 2 = -2 – 6 = -8$

Để chứng minh tam giác ABC vuông tại A, ta cần chứng minh $overrightarrow{AB} perp overrightarrow{AC}$. Tuy nhiên, tích vô hướng $overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC} = -8 neq 0$. Vậy tam giác ABC không vuông tại A.
(Có lẽ có lỗi sai trong đề bài hoặc trong tính toán. Để chính xác, bạn nên kiểm tra lại đề bài hoặc sử dụng phương pháp khác để chứng minh).

Alt: Hình bình hành ABCD minh họa bài tập tính tích vô hướng giữa các vector liên quan đến hình bình hành

5. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Về Tích Vô Hướng

5.1. Dạng 1: Tính Tích Vô Hướng Khi Biết Độ Dài Và Góc

Sử dụng công thức $overrightarrow{a} . overrightarrow{b} = |overrightarrow{a}| . |overrightarrow{b}| . cos (overrightarrow{a}, overrightarrow{b})$.

5.2. Dạng 2: Tính Tích Vô Hướng Khi Biết Tọa Độ

Sử dụng công thức $overrightarrow{a} . overrightarrow{b} = x_1x_2 + y_1y_2$.

5.3. Dạng 3: Tìm Góc Giữa Hai Vector

Sử dụng công thức $cos (overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = frac{overrightarrow{a} . overrightarrow{b}}{|overrightarrow{a}| . |overrightarrow{b}|}$.

5.4. Dạng 4: Chứng Minh Tính Vuông Góc

Chứng minh $overrightarrow{a} . overrightarrow{b} = 0$.

5.5. Dạng 5: Ứng Dụng Trong Các Bài Toán Hình Học

Sử dụng tích vô hướng để giải các bài toán liên quan đến tam giác, hình bình hành, hình vuông, v.v.

6. Mẹo Hay Khi Giải Bài Tập Tích Vô Hướng

• Vẽ hình minh họa để dễ hình dung bài toán.
• Nắm vững các công thức và tính chất của tích vô hướng.
• Phân tích kỹ đề bài để xác định dạng toán và phương pháp giải phù hợp.
• Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
• Luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải toán.

7. Ứng Dụng Thực Tế Của Tích Vô Hướng

Tích vô hướng không chỉ là một khái niệm toán học trừu tượng mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau:

• Vật lý: Tính công của lực, tính năng lượng.
• Kỹ thuật: Thiết kế cầu đường, tính toán kết cấu.
• Đồ họa máy tính: Tính toán ánh sáng, tạo hiệu ứng 3D.
• Khoa học dữ liệu: Tính độ tương đồng giữa các vector, phân tích dữ liệu.

Theo một báo cáo của Viện Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ Việt Nam, việc ứng dụng tích vô hướng trong xử lý ảnh và video giúp cải thiện đáng kể hiệu quả nén và truyền tải dữ liệu.

8. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ) Về Tích Vô Hướng

Câu 1: Tích vô hướng của hai vector có phải là một vector không?

Không, tích vô hướng của hai vector là một số (một đại lượng vô hướng).

Câu 2: Khi nào tích vô hướng của hai vector bằng 0?

Tích vô hướng của hai vector bằng 0 khi và chỉ khi hai vector đó vuông góc với nhau hoặc ít nhất một trong hai vector là vector không.

Câu 3: Tích vô hướng có tính chất kết hợp không?

Không, tích vô hướng không có tính chất kết hợp. $(overrightarrow{a} . overrightarrow{b}) . overrightarrow{c}$ không có nghĩa vì $overrightarrow{a} . overrightarrow{b}$ là một số.

Câu 4: Làm thế nào để tính góc giữa hai vector khi biết tọa độ của chúng?

Sử dụng công thức $cos (overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = frac{x_1x_2 + y_1y_2}{sqrt{x_1^2 + y_1^2} . sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$.

Câu 5: Tích vô hướng có ứng dụng gì trong thực tế?

Tích vô hướng có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, đồ họa máy tính và khoa học dữ liệu.

Câu 6: Làm sao để nhớ các công thức về tích vô hướng?

Bạn nên hiểu rõ bản chất của tích vô hướng và luyện tập thường xuyên để ghi nhớ các công thức một cách tự nhiên.

Câu 7: Có cách nào để kiểm tra lại kết quả khi tính tích vô hướng không?

Bạn có thể sử dụng các công cụ trực tuyến hoặc phần mềm toán học để kiểm tra lại kết quả.

Câu 8: Tích vô hướng có liên quan gì đến hình chiếu của vector?

Tích vô hướng được sử dụng để tính độ dài hình chiếu của một vector lên một vector khác.

Câu 9: Làm thế nào để giải các bài toán khó về tích vô hướng?

Bạn nên chia nhỏ bài toán thành các bước nhỏ hơn, sử dụng các tính chất của tích vô hướng và kết hợp với các kiến thức hình học khác.

Câu 10: Có tài liệu nào tham khảo thêm về tích vô hướng không?

Bạn có thể tham khảo sách giáo khoa, sách bài tập, các trang web giáo dục và các diễn đàn toán học.

9. Tìm Hiểu Thêm Về Toán Học Tại CAUHOI2025.EDU.VN

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về tích vô hướng của hai vector. Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm về các chủ đề toán học khác, hãy truy cập CAUHOI2025.EDU.VN để khám phá nhiều bài viết và tài liệu hữu ích.

CAUHOI2025.EDU.VN cung cấp một nguồn tài nguyên phong phú, đáng tin cậy và dễ hiểu cho học sinh, sinh viên và bất kỳ ai quan tâm đến toán học. Đội ngũ chuyên gia của chúng tôi luôn sẵn sàng giải đáp thắc mắc và cung cấp sự hỗ trợ tốt nhất cho bạn.

Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam

Số điện thoại: +84 2435162967

Trang web: CAUHOI2025.EDU.VN

Đừng ngần ngại liên hệ với chúng tôi nếu bạn có bất kỳ câu hỏi hoặc yêu cầu nào. Chúng tôi luôn sẵn lòng giúp đỡ bạn trên con đường chinh phục tri thức!

10. Lời Kêu Gọi Hành Động (CTA)

Bạn đã sẵn sàng chinh phục các bài toán tích vô hướng và các chủ đề toán học khác? Hãy truy cập ngay CauHoi2025.EDU.VN để khám phá kho tài liệu phong phú, đặt câu hỏi và nhận được sự hỗ trợ tận tình từ đội ngũ chuyên gia của chúng tôi. Đừng bỏ lỡ cơ hội nâng cao kiến thức và đạt điểm cao trong học tập!