admin 17 giờ trước

Tổng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn Là Gì? Cách Tính Nhanh Nhất?

Mục lục

Tìm hiểu công thức Tính Tổng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn một cách dễ hiểu nhất tại CAUHOI2025.EDU.VN. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững lý thuyết, công thức và các dạng bài tập thường gặp, cùng ví dụ minh họa chi tiết. Khám phá ngay!

Mục Lục

[Ẩn]

1. Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn Là Gì?
- 1.1. Định nghĩa
- 1.2. Điều kiện để cấp số nhân là lùi vô hạn
2. Công Thức Tính Tổng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn
- 2.1. Chứng minh công thức
- 2.2. Lưu ý khi sử dụng công thức
3. Các Dạng Bài Tập Về Tính Tổng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn
4. Ví Dụ Minh Họa
5. Bài Tập Vận Dụng
- Bài 1
- Bài 2
- Bài 3
- Bài 4
- Bài 5
- Bài 6
- Bài 7
- Bài 8
- Bài 9
- Bài 10
- Bài 11
- Bài 12
- Bài 13
- Bài 14
- Bài 15
6. Bài Tập Tự Luyện
7. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)
8. Tìm Hiểu Thêm Tại CAUHOI2025.EDU.VN

1. Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn Là Gì?

1.1. Định nghĩa

Cấp số nhân lùi vô hạn là một cấp số nhân (CSN) có công bội q thỏa mãn |q| < 1. Điều này có nghĩa là giá trị tuyệt đối của công bội phải nhỏ hơn 1. Khi đó, các số hạng của cấp số nhân sẽ tiến dần đến 0 khi n tiến đến vô cùng.

1.2. Điều kiện để cấp số nhân là lùi vô hạn

Để một cấp số nhân (u_n) là lùi vô hạn, cần thỏa mãn điều kiện:

|q| < 1, hay -1 < q < 1
Trong đó, q là công bội của cấp số nhân.

2. Công Thức Tính Tổng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn

Tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức:

S = u₁ / (1 – q)

Trong đó:

S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số nhân
q là công bội của cấp số nhân (|q| < 1)

2.1. Chứng minh công thức

Xét tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

S_n = u₁ + u₁q + u₁q² + … + u₁q^n-1

Nhân cả hai vế với q:

qS_n = u₁q + u₁q² + u₁q³ + … + u₁qⁿ

Lấy S_n trừ đi qS_n:

S_n – qS_n = u₁ – u₁qⁿ

S_n(1 – q) = u₁(1 – qⁿ)

S_n = u₁(1 – qⁿ) / (1 – q)

Vì |q| < 1, khi n tiến đến vô cùng, qⁿ sẽ tiến đến 0. Do đó:

S = lim (n→∞) S_n = u₁ / (1 – q)

2.2. Lưu ý khi sử dụng công thức

Điều kiện công bội: Luôn kiểm tra điều kiện |q| < 1 trước khi áp dụng công thức. Nếu không thỏa mãn, công thức không có giá trị.
Xác định đúng u₁ và q: Việc xác định chính xác số hạng đầu tiên và công bội là rất quan trọng để tính đúng tổng.
Đơn vị: Đảm bảo các số hạng và công bội có cùng đơn vị (nếu có).

3. Các Dạng Bài Tập Về Tính Tổng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn

3.1. Dạng 1: Tính trực tiếp tổng khi biết u₁ và q

Đây là dạng bài tập cơ bản nhất. Bạn chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức S = u₁ / (1 – q) để tính tổng.

3.2. Dạng 2: Tìm u₁ hoặc q khi biết tổng và một yếu tố khác

Trong dạng này, bạn sẽ cần sử dụng công thức S = u₁ / (1 – q) và các thông tin khác để thiết lập phương trình và giải tìm u₁ hoặc q.

3.3. Dạng 3: Ứng dụng vào giải các bài toán liên quan

Cấp số nhân lùi vô hạn có thể được ứng dụng để giải các bài toán liên quan đến hình học, vật lý, hoặc các lĩnh vực khác.

4. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1

Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: 1, 1/2, 1/4, 1/8, …

Giải:

u₁ = 1
q = 1/2 (thỏa mãn |q| < 1)
S = u₁ / (1 – q) = 1 / (1 – 1/2) = 1 / (1/2) = 2

Ví dụ 2

Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) biết u_n = 1/(3ⁿ).

Giải:

u₁ = 1/3
q = 1/3 (thỏa mãn |q| < 1)
S = u₁ / (1 – q) = (1/3) / (1 – 1/3) = (1/3) / (2/3) = 1/2

Ví dụ 3

Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn: 1, -1/2, 1/4, -1/8, …

Giải:

Vì các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1, q = -1/2

Vậy S = u₁ / (1 – q) = 1 / (1 – (-1/2)) = 1 / (3/2) = 2/3

Ví dụ 4

Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 2/3

Giải:

Ta có S = u₁ / (1 – q) => 3 = u₁ / (1 – 2/3) => u₁ = 1

Ví dụ 5

Tìm tổng của dãy số sau: -1 + 1/10 – 1/100 + 1/1000 – …

Giải:

Ta có: -1 + 1/10 – 1/100 + 1/1000 – … = -1 + (-1) (-1/10) + (-1) (-1/10)^2 + (-1) * (-1/10)^3 + …

Vì vậy các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = -1, q = -1/10

Vậy S = u₁ / (1 – q) = -1 / (1 – (-1/10)) = -1 / (11/10) = -10/11

Ví dụ 6

Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 5/3, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là 39/25. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.

Giải:

Ta có:
S = u₁ / (1 – q) = 5/3
u₁ + u₁q + u₁q² = 39/25

Ví dụ 7

Cho dãy số (u_n) với u_n = 1/2 + (-1)/4 + 1/8 + … + (-1)^n-1/(2ⁿ). Tính tổng của dãy u_n

Giải:

Vì u_n là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u₁ = 1/2 và q = (-1)/2

5. Bài Tập Vận Dụng

Bài 1: Tổng của cấp số nhân vô hạn: 1, -1/5, 1/25, -1/125,… là:

A. 5/4
B. 5/6
C. -5/6
D. -5/4

Lời giải:

Đáp án: B

Vì u₁ = 1 và q = (-1)/5 nên S = 1 / (1 – (-1/5)) = 5/6

Bài 2: Tổng của cấp số nhân vô hạn: 1, -1/3, 1/9, -1/27,… là:

A. 3/4
B. 4/3
C. -3/4
D. -4/3

Lời giải:

Đáp án: A

Vì u₁ = 1 và q = (-1)/3 nên S = 1 / (1 – (-1/3)) = 3/4

Bài 3: Tổng của cấp số nhân vô hạn 2, -1, 1/2, -1/4,… là:

A. 4/3
B. 3/4
C. -4/3
D. -3/4

Lời giải:

Đáp án: A

Vì u₁ = 2 và q = (-1)/2 nên S = 2 / (1 – (-1/2)) = 4/3

Bài 4: Tổng của cấp số nhân vô hạn: 3, -1, 1/3, -1/9,… là:

A. 9/4
B. 4/9
C. -9/4
D. -4/9

Lời giải:

Đáp án: C

Vì u₁ = 3 và q = (-1)/3 nên S = 3 / (1 – (-1/3)) = 9/4

Bài 5: Tổng của cấp số nhân vô hạn: -1/4, 1/16, -1/64, 1/256,… là:

A. -1/5
B. 1/5
C. -5/12
D. 5/12

Lời giải:

Đáp án: A

Vì u₁ = (-1)/4 và q = (-1)/4 nên S = (-1)/4 / (1 – (-1)/4) = -1/5

Bài 6: Kết quả nào sau đây là đúng:

A. Cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) có công bội q thì tổng S = u₁/(1+q)
B. Cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) có |q| < 1 thì S = u₁/(q-1)
C. Cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) có |q| < 1 thì S = u₁/(1-q)
D. Cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) có |q| > 1 thì S = u₁/(1-q)

Lời giải:

Đáp án: C

Vì q = (3/4)

Bài 7: Cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) có u₁ = -50, S = 100. Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy:

A. 50; 25; 12,5; 6,5; 3,25
B. 50; 25,5; 12,5; 6,25; 3,125
C. 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125
D. 50; 25; 12,25; 6,125; 3,0625

Lời giải:

Đáp án: C

Áp dụng công thức: S = u₁ / (1 – q) => 100 = -50 / (1 – q) => q = 3/2

Suy ra 5 số hạng đầu tiên của dãy số: 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125

Bài 8: Cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) có u₁ = -1, q = x. Tìm tổng S và 3 số hạng đầu của cấp số này:

A. S = -1/(1+x) và -1, x, -x²
B. S = -1/(1+x) và -1, x, x²
C. S = -1/(1-x) và -1, -x, -x²
D. S = -1/(1-x) và -1, x, -x²

Lời giải:

Đáp án: C

S = u₁ / (1 – q) = -1/(1-x) số hạng đầu là -1, -x, -x²

Bài 9: Cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) có u₁ = -x, q = x². Tìm tổng S và 3 số hạng đầu của cấp số này:

A. S = -x/(1-x²) và -x, x³, x⁵
B. S = -x/(1-x²) và -x, x³, x⁴
C. S = -x/(1+x²) và -x, x³, x⁶
D. S = -x/(1+x²) và -x, -x³, -x⁶

Lời giải:

Đáp án: D

S = u₁ / (1 – q) = -x / (1 – x²) số hạng đầu là – x, -x³, -x⁶

Bài 10: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn sau: 5, √5, 1, 1/√5,…

A. (5 + 5√5)/2
B. (5 – 5√5)/2
C. (5 + √5)/2
D. (5 – √5)/2

Lời giải:

Đáp án: D

Vì u₁ = 5 và q = 1/√5. nên S = 5 / (1 – 1/√5) = (5√5) / (√5 – 1) = (5+5√5)/4

Bài 11: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn sau: -3; 0,3; -0,03; 0,003;…

A. -10/3
B. 10/3
C. -3/10
D. 3/10

Lời giải:

Đáp án: A

Vì u₁ = -3 và q = 0,1

S = u₁ / (1 – q) = -3 / (1 – 0,1) = -10/3

Bài 12: Tìm tổng 2 + √2 + 1 + …

A. 4 + 2√2
B. 4 – 2√2
C. -4 + 2√2
D. -4 + 2√2

Lời giải:

Đáp án: B

Vì u₁ = 2 và q = 1/√2

S = u₁ / (1 – q) = 2 / (1 – 1/√2) = 4 + 2√2

Bài 13: Cho cấp số nhân lùi vô hạn sau: 1, q, q², q³,… có tổng bằng 4/3. Tìm q

A. 1/4
B. 4
C. -1/4
D. -4

Lời giải:

Đáp án: A

Vì S = 4/3 nên 4/3 = 1/(1-q) => q = (1/4)

Bài 14: Tìm tổng của dãy số sau: -1 + 1/10 – 1/100 + 1/1000 – …

A. 10/11
B. 11/10
C. -11/10
D. -10/11

Lời giải:

Đáp án: D

-1 + 1/10 – 1/100 + 1/1000 – … = -1 + (-1) (-1/10) + (-1) (-1/10)^2 + (-1) * (-1/10)^3 + …

Vì vậy các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = -1, q = (-1)/10

S = u₁ / (1 – q) = -1 / (1 – (-1/10)) = -10/11

Bài 15: Cho dãy số (u_n) với u_n = 1/2 + (-1)/4 + 1/8 + … + (-1)^n-1/(2ⁿ). Tính tổng của dãy u_n

A. 2/3
B. -2/3
C. 1/3
D. -1/3

Lời giải:

Đáp án: C

Vì u_n là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u₁ = 1/2 và q = (-1)/2.

S = u₁ / (1 – q) = (1/2) / (1 – (-1/2)) = 1/3

6. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng 2 và công bội 1/4.

Bài 2. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 2/3.

Bài 3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) biết u₁ = 1 và u₁, u₃, u₄ theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng.

Bài 4. Tổng của cấp số nhân vô hạn: −1/2, 1/4, −1/8,…,(−1)^k/(2ⁿ),….

Bài 5. Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) công bội q. Đặt S = u₁ + u₂ + … + u_n + … thì S = ?

7. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)

Câu hỏi 1: Điều kiện để một cấp số nhân là lùi vô hạn là gì?

Để một cấp số nhân là lùi vô hạn, giá trị tuyệt đối của công bội (q) phải nhỏ hơn 1, tức là |q| < 1. Điều này đảm bảo rằng các số hạng của cấp số nhân tiến dần đến 0 khi n tiến đến vô cùng. Theo Giáo sư Nguyễn Văn Khuê, Đại học Sư phạm Hà Nội, điều kiện này rất quan trọng để đảm bảo sự hội tụ của tổng vô hạn.

Câu hỏi 2: Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

Công thức tính tổng (S) của cấp số nhân lùi vô hạn là: S = u₁ / (1 – q), trong đó u₁ là số hạng đầu tiên và q là công bội của cấp số nhân.

Câu hỏi 3: Làm thế nào để xác định u₁ và q trong một bài toán?

u₁ (Số hạng đầu tiên): Thường được cho trực tiếp trong bài toán hoặc có thể dễ dàng xác định từ dãy số.
q (Công bội): Tính bằng cách lấy một số hạng bất kỳ (trừ số hạng đầu) chia cho số hạng đứng ngay trước nó. Ví dụ: q = u₂ / u₁ = u₃ / u₂, v.v.

Câu hỏi 4: Có những ứng dụng thực tế nào của cấp số nhân lùi vô hạn?

Cấp số nhân lùi vô hạn có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Tính toán giá trị hiện tại của dòng tiền: Trong tài chính, nó được sử dụng để tính giá trị hiện tại của một chuỗi các khoản thanh toán trong tương lai.
Mô hình hóa các quá trình giảm dần: Trong vật lý, nó có thể mô hình hóa sự phân rã của chất phóng xạ hoặc sự giảm dần của dao động.
Giải các bài toán hình học: Tính diện tích hoặc chu vi của các hình được tạo ra từ các quá trình lặp vô hạn.

Câu hỏi 5: Nếu |q| ≥ 1 thì sao?

Nếu |q| ≥ 1, cấp số nhân không phải là lùi vô hạn và tổng của nó không hội tụ về một giá trị hữu hạn. Trong trường hợp này, không thể áp dụng công thức S = u₁ / (1 – q).

Câu hỏi 6: Tại sao lại gọi là “lùi vô hạn”?

Cấp số nhân được gọi là “lùi vô hạn” vì các số hạng của nó tiến dần đến 0 khi n tiến đến vô cùng, tạo cảm giác như dãy số “lùi” về vô cùng bé.

Câu hỏi 7: Cấp số nhân lùi vô hạn có luôn hội tụ không?

Có, cấp số nhân lùi vô hạn luôn hội tụ nếu thỏa mãn điều kiện |q| < 1. Điều này có nghĩa là tổng của nó luôn tồn tại và có một giá trị hữu hạn.

Câu hỏi 8: Có thể tính tổng của cấp số cộng lùi vô hạn không?

Không, không có khái niệm “cấp số cộng lùi vô hạn” theo cách tương tự như cấp số nhân. Trong cấp số cộng, các số hạng tăng hoặc giảm tuyến tính, không tiến dần đến 0 một cách vô hạn như cấp số nhân lùi vô hạn.

Câu hỏi 9: Sai lầm thường gặp khi tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn?

Sai lầm phổ biến nhất là quên kiểm tra điều kiện |q| < 1 trước khi áp dụng công thức. Nếu điều kiện này không được thỏa mãn, công thức sẽ không cho kết quả đúng.

Câu hỏi 10: Làm sao để nhớ công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn?

Bạn có thể nhớ công thức S = u₁ / (1 – q) bằng cách liên tưởng đến câu “Số hạng đầu chia cho (1 trừ công bội)”.

8. Tìm Hiểu Thêm Tại CAUHOI2025.EDU.VN

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Để khám phá thêm nhiều kiến thức toán học thú vị và hữu ích khác, hãy truy cập CauHoi2025.EDU.VN ngay hôm nay!

Tại CAUHOI2025.EDU.

0 lượt xem | 0 bình luận

Bình luận

Chia sẻ

Đề xuất cho bạn