admin 4 ngày trước

Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng Trong Không Gian Lớp 11: Bí Quyết & Bài Tập

Mục lục

Bạn đang gặp khó khăn trong việc xác định và Tính Góc Giữa Hai đường Thẳng Trong Không Gian? Đừng lo lắng, CAUHOI2025.EDU.VN sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập liên quan đến chủ đề này một cách dễ dàng và hiệu quả. Bài viết này cung cấp phương pháp giải chi tiết, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện đa dạng, giúp học sinh ôn tập và tự tin chinh phục các bài toán hình học không gian.

1. Phương Pháp Xác Định và Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng

1.1. Định Nghĩa Góc Giữa Hai Đường Thẳng

Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, ký hiệu là (m, n), là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n. Góc này luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 90°.

1.2. Các Cách Xác Định Góc

Để xác định góc giữa hai đường thẳng, chúng ta có thể áp dụng một trong các phương pháp sau:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa. Tìm hai đường thẳng a và b lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho và cắt nhau tại một điểm. Góc giữa a và b chính là góc giữa hai đường thẳng ban đầu.
Cách 2: Dựng đường thẳng song song. Chọn một điểm O trên đường thẳng a, vẽ đường thẳng a’ đi qua O và song song với đường thẳng b. Khi đó, góc giữa a và b bằng góc giữa a và a’, tức là (a, b) = (a, a’).
Cách 3: Sử dụng vectơ chỉ phương. Tìm hai vectơ chỉ phương (overrightarrow{u_1}), (overrightarrow{u_2}) của hai đường thẳng (d_1), (d_2). Góc giữa hai đường thẳng (d_1), (d_2) được xác định bởi công thức:

[cos(d_1, d_2) = frac{|overrightarrow{u_1} cdot overrightarrow{u_2}|}{|overrightarrow{u_1}| cdot |overrightarrow{u_2}|}]

1.3. Lưu Ý Quan Trọng

Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ a, b luôn thỏa mãn: (0^circ leq (a, b) leq 90^circ).
Khi tính tích vô hướng, nên chọn các vectơ có tọa độ đơn giản để việc tính toán dễ dàng hơn.

2. Ví Dụ Minh Họa

Để hiểu rõ hơn về cách xác định và tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian, hãy cùng xem xét các ví dụ sau:

2.1. Ví Dụ 1: Hình Hộp Chữ Nhật

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật ABCD với AC = 2AB. Tính góc giữa các đường thẳng sau:

a) (AD, A’B’).

b) (A’B’, AC).

Hướng dẫn giải

a) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên A’B’ song song với AB. Mà AB cắt AD tại A, suy ra (AD, A’B’) = (AD, AB). Do ABCD là hình chữ nhật nên AD vuông góc với AB, hay (AD, A’B’) = (AD, AB) = 90°.

b) Xét tam giác ABC vuông tại B có AC = 2AB (gt) nên (sin{widehat{ACB}} = frac{AB}{AC} = frac{1}{2} Rightarrow widehat{ACB} = 30^circ Rightarrow widehat{BAC} = 90^circ – 30^circ = 60^circ).

Vì A’B’ song song với AB, mà AB cắt AC tại A, nên (A’B’, AC) = (AB, AC) = (widehat{BAC}) = 60°.

2.2. Ví Dụ 2: Tứ Diện

Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = (frac{asqrt{3}}{2}) (I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Hướng dẫn giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BD. Khi đó, MI, NI, MJ, NJ lần lượt là các đường trung bình của tam giác ABC, BCD, ACD và ABD.

Do đó, ta có:

MI = NI = MJ = NJ = (frac{1}{2}AB = frac{1}{2}CD = frac{a}{2})

MI // AB; CD // NI

Do đó, MINJ là hình thoi. Và (AB, CD) = (IM, IN) = (widehat{MIN}).

Gọi O là giao điểm của MN và IJ. Khi đó MN vuông góc với IJ tại O và O là trung điểm của IJ.

Suy ra (IO = dfrac{{IJ}}{2} = dfrac{{asqrt 3 }}{{2.2}} = dfrac{{asqrt 3 }}{4}).

Xét tam giác MIO vuông tại O có:

(cos{widehat{MIO}} = frac{IO}{MI} = frac{frac{asqrt{3}}{4}}{frac{a}{2}} = frac{sqrt{3}}{2} Rightarrow widehat{MIO} = 30^circ Rightarrow widehat{MIN} = 60^circ).

Vậy (AB, CD) = 60°.

2.3. Ví Dụ 3: Tứ Diện Đặc Biệt

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và (widehat{BAC} = widehat{BAD} = 60^circ, widehat{CAD} = 90^circ). Hãy xác định góc giữa cặp hai đường thẳng AB và CD.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là (overrightarrow{AB}), đường thẳng CD có vectơ chỉ phương là (overrightarrow{CD}).

Ta có:

(overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD} = overrightarrow{AB}.(overrightarrow{AD} – overrightarrow{AC}) = overrightarrow{AB}.overrightarrow{AD} – overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC})

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 90°.

3. Bài Tập Tự Luyện

Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng, hãy thử sức với các bài tập tự luyện sau:

Câu 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?

A. (widehat{BDB’}); B. (widehat{AB’C}); C. (widehat{DB’B}); D. (widehat{DA’C’}).

Câu 2. Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Số đo góc giữa hai đường thẳng CD và AB là