Cách Tính Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Oxyz Chi Tiết Nhất?

Bạn đang gặp khó khăn trong việc tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz? Bài viết này của CAUHOI2025.EDU.VN sẽ cung cấp cho bạn công thức, phương pháp giải chi tiết, dễ hiểu cùng các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng có đáp án, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan. Cùng khám phá ngay!

Giới thiệu

Trong hình học không gian Oxyz, việc xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là một kỹ năng quan trọng, ứng dụng nhiều trong giải toán và các bài toán thực tế liên quan đến kiến trúc, kỹ thuật, thiết kế. Tuy nhiên, nhiều học sinh và người học thường gặp khó khăn trong việc nắm bắt và vận dụng công thức một cách chính xác. CAUHOI2025.EDU.VN sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề này một cách dễ dàng và hiệu quả.

Để giúp bạn dễ dàng tiếp cận và hiểu rõ hơn về vấn đề này, bài viết sẽ tập trung vào các nội dung chính sau:

• Công thức Tính Góc Giữa đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Oxyz: Trình bày công thức một cách rõ ràng, dễ nhớ, kèm theo giải thích chi tiết về các yếu tố trong công thức.
• Phương pháp xác định các yếu tố cần thiết để áp dụng công thức: Hướng dẫn cách tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Các ví dụ minh họa cụ thể: Giải chi tiết các bài toán điển hình về tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Bài tập vận dụng có đáp án: Cung cấp các bài tập tự luyện giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

1. Công Thức Tính Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Oxyz

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. Để tính góc này trong không gian Oxyz, ta sử dụng công thức sau:

sin(α) = |(u · n)| / (|u| * |n|)

Trong đó:

• α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• u là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
• n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• u · n là tích vô hướng của vectơ u và n.
• |u| và |n| là độ dài của vectơ u và n tương ứng.

Giải thích các yếu tố trong công thức:

• Vectơ chỉ phương của đường thẳng (u): Vectơ này song song hoặc nằm trên đường thẳng. Nếu đường thẳng đi qua hai điểm A(x₁, y₁, z₁) và B(x₂, y₂, z₂), thì vectơ chỉ phương có thể được tính bằng công thức: u = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁). Nếu đường thẳng có phương trình tham số, vectơ chỉ phương chính là hệ số của tham số t.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (n): Vectơ này vuông góc với mặt phẳng. Nếu mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0, thì vectơ pháp tuyến là n = (A, B, C).
• Tích vô hướng của hai vectơ (u · n): Được tính bằng công thức u · n = u₁ * n₁ + u₂ * n₂ + u₃ * n₃, trong đó u = (u₁, u₂, u₃) và n = (n₁, n₂, n₃).
• Độ dài của vectơ (|u| và |n|): Được tính bằng công thức |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

2. Các Bước Tính Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng

Để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong Oxyz, bạn có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng (u).

• Nếu đường thẳng đi qua hai điểm A và B, tính u = AB = (xB - xA, yB - yA, zB - zA).
• Nếu đường thẳng có phương trình tham số, vectơ chỉ phương là hệ số của tham số t.
• Nếu đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm vectơ chỉ phương bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đó.

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (n).

• Nếu mặt phẳng có phương trình tổng quát Ax + By + Cz + D = 0, thì n = (A, B, C).
• Nếu mặt phẳng đi qua ba điểm, tìm hai vectơ nằm trên mặt phẳng và tính tích có hướng của chúng để được vectơ pháp tuyến.

Bước 3: Tính tích vô hướng của vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến (u · n).

• Sử dụng công thức u · n = u₁ * n₁ + u₂ * n₂ + u₃ * n₃.

Bước 4: Tính độ dài của vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến (|u| và |n|).

• Sử dụng công thức |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²) và |n| = √(n₁² + n₂² + n₃²).

Bước 5: Áp dụng công thức tính sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

• sin(α) = |(u · n)| / (|u| * |n|).

Bước 6: Tính góc α.

• α = arcsin(|(u · n)| / (|u| * |n|)). Lưu ý, α là góc nhọn, nên nếu kết quả arcsin âm, bạn cần lấy giá trị tuyệt đối.
• Đổi đơn vị từ radian sang độ nếu cần thiết (1 radian ≈ 57.3 độ).

Lưu ý quan trọng:

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn là góc nhọn (0° ≤ α ≤ 90°).
• Nếu u · n = 0, đường thẳng song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α = 0°).
• Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, α = 90°.

3. Ví Dụ Minh Họa

Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức và các bước tính, chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ cụ thể sau:

Ví dụ 1:

Cho đường thẳng d có phương trình tham số:

x = 1 + t
y = -1 + 3t
z = 2 - t

Và mặt phẳng (P) có phương trình: 2x – y + 2z – 1 = 0. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Giải:

• Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d: u = (1, 3, -1).
• Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): n = (2, -1, 2).
• Bước 3: Tính tích vô hướng của u và n: u · n = (1 * 2) + (3 * -1) + (-1 * 2) = 2 - 3 - 2 = -3.
• Bước 4: Tính độ dài của u và n:
  • |u| = √(1² + 3² + (-1)²) = √11.
  • |n| = √(2² + (-1)² + 2²) = √9 = 3.
• Bước 5: Áp dụng công thức tính sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
  • sin(α) = |(-3)| / (√11 * 3) = 3 / (3√11) = 1 / √11.
• Bước 6: Tính góc α:
  • α = arcsin(1 / √11) ≈ 17.45°.

Vậy góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là khoảng 17.45 độ.

Ví dụ minh họa tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Ví dụ 2:

Cho hai điểm A(1, 0, 1) và B(-1, 2, 1). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0. Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P).

Giải:

• Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB: u = AB = (-1 - 1, 2 - 0, 1 - 1) = (-2, 2, 0).
• Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): n = (1, 2, -1).
• Bước 3: Tính tích vô hướng của u và n: u · n = (-2 * 1) + (2 * 2) + (0 * -1) = -2 + 4 + 0 = 2.
• Bước 4: Tính độ dài của u và n:
  • |u| = √((-2)² + 2² + 0²) = √8 = 2√2.
  • |n| = √(1² + 2² + (-1)²) = √6.
• Bước 5: Áp dụng công thức tính sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
  • sin(α) = |2| / (2√2 * √6) = 2 / (2√12) = 1 / (2√3).
• Bước 6: Tính góc α:
  • α = arcsin(1 / (2√3)) ≈ 14.48°.

Vậy góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là khoảng 14.48 độ.

4. Bài Tập Vận Dụng

Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:

Bài 1:

Cho đường thẳng d: (x-1)/2 = (y+1)/1 = z/-1 và mặt phẳng (P): x – y + z – 2 = 0. Tính góc giữa d và (P).

Đáp án: 30 độ.

Bài 2:

Cho điểm A(1;2;0) và đường thẳng d: (x-1)/2 = (y+1)/1 = (z-2)/-1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho góc giữa (P) và OA lớn nhất.

Bài 3:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x=t, y=1+t, z=2-t và mặt phẳng (P): x+3y-z+2=0. Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tính sinα.

Đáp án: √11/11

Bài 4:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = a√3, SA ⊥ (ABC) và SA = a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABC).

Đáp án: 45 độ.

Bài 5:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;0), B(0;1;1) và mặt phẳng (P): x+y+z-1=0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA=MB và góc giữa đường thẳng AM và (P) bằng 30 độ.

5. FAQ – Câu Hỏi Thường Gặp

Câu hỏi 1: Làm thế nào để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng khi nó là giao tuyến của hai mặt phẳng?

Trả lời: Vectơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến là tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đó.

Câu hỏi 2: Khi nào thì đường thẳng song song với mặt phẳng?

Trả lời: Đường thẳng song song với mặt phẳng khi tích vô hướng của vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng 0.

Câu hỏi 3: Tại sao phải lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng trong công thức tính sin góc?

Trả lời: Vì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn là góc nhọn, nên sin của góc đó luôn dương.

Câu hỏi 4: Làm thế nào để đổi đơn vị từ radian sang độ?

Trả lời: Sử dụng công thức: độ = radian * (180 / π).

Câu hỏi 5: Nếu kết quả tính sin(α) > 1 thì có sai sót gì không?

Trả lời: Có, nếu sin(α) > 1, điều đó có nghĩa là bạn đã mắc lỗi trong quá trình tính toán, có thể là do sai sót khi tính tích vô hướng hoặc độ dài của vectơ.

Kết luận

Hy vọng rằng, với những hướng dẫn chi tiết, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng mà CAUHOI2025.EDU.VN cung cấp, bạn đã nắm vững phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz. Đây là một kiến thức quan trọng và có nhiều ứng dụng thực tế, vì vậy hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo kỹ năng này.

Nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào hoặc cần thêm sự hỗ trợ, đừng ngần ngại truy cập CAUHOI2025.EDU.VN để tìm kiếm thông tin và đặt câu hỏi. Chúng tôi luôn sẵn sàng giúp đỡ bạn!

Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam

Số điện thoại: +84 2435162967

Trang web: CauHoi2025.EDU.VN

Chúc bạn học tốt và thành công!

Từ khóa liên quan: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, Oxyz, hình học không gian, công thức tính góc, vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, bài tập Oxyz, phương pháp giải toán, sin góc, cos góc.