Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số Tại Một Điểm?

Việc viết phương trình Tiếp Tuyến Của đồ Thị Hàm Số tại một điểm là một bài toán quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông. Bài viết này của CAUHOI2025.EDU.VN sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa dễ hiểu và bài tập vận dụng để bạn nắm vững kiến thức này.

Giới Thiệu

Bạn đang gặp khó khăn trong việc viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số? Bạn không hiểu rõ ý nghĩa hình học của đạo hàm và ứng dụng của nó trong việc giải bài tập? Đừng lo lắng, CAUHOI2025.EDU.VN sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề này một cách dễ dàng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng vững chắc, các phương pháp giải bài tập hiệu quả và các ví dụ minh họa chi tiết.

1. Ý Nghĩa Hình Học Của Đạo Hàm và Tiếp Tuyến

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ (ký hiệu là f'(x₀)) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M₀(x₀; f(x₀)). Tiếp tuyến là đường thẳng “chạm” vào đồ thị hàm số tại điểm đó và có cùng hướng với đồ thị tại điểm đó.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M₀(x₀; y₀) có dạng:

y – y₀ = f'(x₀) (x – x₀)*

Trong đó:

• y₀ = f(x₀) là tung độ của tiếp điểm.
• f'(x₀) là đạo hàm của hàm số tại x₀, hay còn gọi là hệ số góc của tiếp tuyến.

Alt: Đồ thị hàm số với tiếp tuyến tại một điểm, minh họa ý nghĩa hình học của đạo hàm.

2. Các Dạng Bài Toán Viết Phương Trình Tiếp Tuyến và Phương Pháp Giải

Có ba dạng bài toán cơ bản về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

2.1. Dạng 1: Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Tại Điểm Cho Trước

Bài toán: Cho hàm số y = f(x) và điểm M(x₀; f(x₀)) thuộc đồ thị hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M.

Phương pháp giải:

1. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x), tức là tìm f'(x).
2. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm x₀, tức là tìm f'(x₀). Đây là hệ số góc của tiếp tuyến.
3. Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức: y – f(x₀) = f'(x₀) (x – x₀)*.

2.2. Dạng 2: Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Khi Biết Hoành Độ Tiếp Điểm

Bài toán: Cho hàm số y = f(x) và hoành độ tiếp điểm x = x₀. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x₀.

Phương pháp giải:

1. Tính tung độ tiếp điểm: y₀ = f(x₀).
2. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x), tức là tìm f'(x).
3. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm x₀, tức là tìm f'(x₀). Đây là hệ số góc của tiếp tuyến.
4. Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức: y – y₀ = f'(x₀) (x – x₀)*.

2.3. Dạng 3: Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Khi Biết Tung Độ Tiếp Điểm

Bài toán: Cho hàm số y = f(x) và tung độ tiếp điểm y = y₀. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y₀.

Phương pháp giải:

1. Tìm hoành độ tiếp điểm bằng cách giải phương trình f(x) = y₀. Phương trình này có thể có một hoặc nhiều nghiệm x₀.
2. Với mỗi nghiệm x₀ tìm được, tính đạo hàm của hàm số y = f(x), tức là tìm f'(x).
3. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm x₀, tức là tìm f'(x₀). Đây là hệ số góc của tiếp tuyến.
4. Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức: y – y₀ = f'(x₀) (x – x₀). Với mỗi x₀* tìm được, ta sẽ có một phương trình tiếp tuyến tương ứng.

Alt: Sơ đồ các dạng bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

3. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết

Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải các dạng bài toán trên, CAUHOI2025.EDU.VN xin đưa ra một số ví dụ minh họa chi tiết:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³ – 2x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(0; 1).

Giải:

1. Đạo hàm của hàm số là: y’ = 3x² – 2.
2. Tại x = 0, ta có: y'(0) = -2.
3. Phương trình tiếp tuyến tại M(0; 1) là: y – 1 = -2(x – 0) hay y = -2x + 1.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x² + 2x – 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 1.

Giải:

1. Tại x = 1, ta có: y(1) = 1² + 21 – 6 = -3*.
2. Đạo hàm của hàm số là: y’ = 2x + 2.
3. Tại x = 1, ta có: y'(1) = 21 + 2 = 4*.
4. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là: y + 3 = 4(x – 1) hay y = 4x – 7.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x³ + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y = 2.

Giải:

1. Giải phương trình x³ + 4x + 2 = 2 ta được x³ + 4x = 0 ⇔ x = 0.
2. Đạo hàm của hàm số là: y’ = 3x² + 4.
3. Tại x = 0, ta có: y'(0) = 4.
4. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ y = 2 là: y – 2 = 4(x – 0) hay y = 4x + 2.

Ví dụ 4: Cho hàm số y = -x³ + 2x² + 2x + 1. Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A.

Giải:

1. Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là A(0; 1).
2. Đạo hàm của hàm số là: y’ = -3x² + 4x + 2.
3. Tại x = 0, ta có: y'(0) = 2.
4. Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(0; 1) là: y – 1 = 2(x – 0) hay y = 2x + 1.

Ví dụ 5: Cho hàm số y = x² – 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.

Giải:

1. Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phương trình x² – 3x + 2 = 0. Giải phương trình này ta được x = 1 và x = 2. Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm A(1; 0) và B(2; 0).
2. Đạo hàm của hàm số là: y’ = 2x – 3.
3. Tại x = 1, ta có: y'(1) = -1. Phương trình tiếp tuyến tại A(1; 0) là: y – 0 = -1(x – 1) hay y = -x + 1.
4. Tại x = 2, ta có: y'(2) = 1. Phương trình tiếp tuyến tại B(2; 0) là: y – 0 = 1(x – 2) hay y = x – 2.

Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng d₁: 2x + y – 3 = 0 và d₂: x + y – 2 = 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng đã cho. Cho hàm số y = x² + 4x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A.

Giải:

1. Giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình:

   2x + y - 3 = 0
   x + y - 2 = 0

   Giải hệ phương trình này ta được x = 1 và y = 1. Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại A(1; 1).

2. Đạo hàm của hàm số là: y’ = 2x + 4.

3. Tại x = 1, ta có: y'(1) = 6.

4. Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(1; 1) là: y – 1 = 6(x – 1) hay y = 6x – 5.

Ví dụ 7: Cho hàm số y = x⁴ + 2x² + 1. Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ nguyên dương nhỏ nhất. Đường thẳng d song song với đường thẳng nào?

Giải:

1. Hoành độ nguyên dương nhỏ nhất là x = 1.
2. Đạo hàm của hàm số là: y’ = 4x³ + 4x.
3. Tại x = 1, ta có: y'(1) = 8 và y(1) = 4.
4. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là: y – 4 = 8(x – 1) hay y = 8x – 4.
5. Đường thẳng d song song với đường thẳng y = 8x.

Ví dụ 8: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x – 1)²(x – 2) tại điểm có hoành độ x = 2 là gì?

Giải:

1. Tại x = 2, ta có: y(2) = 0.
2. Ta có: y = (x – 1)²(x – 2) = (x² – 2x + 1)(x – 2) = x³ – 4x² + 5x – 2.
3. Đạo hàm của hàm số là: y’ = 3x² – 8x + 5.
4. Tại x = 2, ta có: y'(2) = 1.
5. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 2 là: y – 0 = 1(x – 2) hay y = x – 2.

Ví dụ 9: Cho hàm số y = (x – 2) / (2x + 1). Phương trình tiếp tuyến tại A(-1; 3) là gì?

Giải:

1. Đạo hàm của hàm số là:

   y' = [(1)(2x + 1) - (x - 2)(2)] / (2x + 1)² = 5 / (2x + 1)²

2. Tại x = -1, ta có: y'(-1) = 5.
3. Phương trình tiếp tuyến tại A(-1; 3) là: y – 3 = 5(x + 1) hay y = 5x + 8.

Ví dụ 10: Cho hàm số y = (2x + m + 1) / (x – 1) (C). Tìm m để tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x₀ = 0 đi qua A(4; 3).

Giải:

1. Tại x = 0, ta có: y(0) = -m – 1.
2. Đạo hàm của hàm số là:

   y' = [(2)(x - 1) - (2x + m + 1)(1)] / (x - 1)² = (-m - 3) / (x - 1)²

3. Tại x = 0, ta có: y'(0) = -m – 3.
4. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 là: y + m + 1 = (-m – 3)(x – 0) hay y = (-m – 3)x – m – 1.
5. Tiếp tuyến này đi qua A(4; 3) nên: 3 = (-m – 3)(4) – m – 1 ⇔ 3 = -4m – 12 – m – 1 ⇔ 5m = -16 ⇔ m = -16/5.

Ví dụ 11: Cho hàm số y = (1/3)x³ + x² – 2 có đồ thị hàm số (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y” = 0 là gì?

Giải:

1. Ta có: y’ = x² + 2x và y” = 2x + 2.
2. Theo giả thiết, x₀ là nghiệm của phương trình y” = 0 ⇔ 2x + 2 = 0 ⇔ x₀ = -1.
3. Tại x = -1, ta có: y(-1) = -4/3 và y'(-1) = -1.
4. Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(-1; -4/3) là: y + 4/3 = -1(x + 1) hay y = -x – 7/3.

Alt: Hình ảnh minh họa các ví dụ về viết phương trình tiếp tuyến.

4. Bài Tập Vận Dụng

Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:

Câu 1: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = 2x² + 4x – 2. Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm mà (P) cắt trục tung là:

A. y = 2x – 1
B. y = 3x + 6
C. y = 4x – 2
D. y = 6x + 3

Câu 2: Đồ thị (C) của hàm số y = (x² – 2) / (x + 2) cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của (C) tại điểm A có phương trình là:

A. y = (1/4)x + 1
B. y = (1/2)x – 1
C. y = (-1/2)x – 3
D. y = 2x – 1

Câu 3: Cho hàm số y = (2 – 2x) / (x + 1) có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:

A. y = 2x + 2
B. y = 4x – 3
C. y = -x + 1
D. y = -2x – 1

Câu 4: Gọi (C) là đồ thị hàm số y = x⁴ – 2x² + 1. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các giao điểm của (C) với hai trục tọa độ?

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Câu 5: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = 2x³ – 3x + 1 tại giao điểm của (H) với đường thẳng d: y = -x + 1.

A. y = 3x – 2 và y = -2x + 1
B. y = -3x + 1 và y = 3x – 2
C. y = 3x – 3 và y = -2x + 1
D. Đáp án khác

Câu 6: Cho hàm số: y = x³ – (m – 1)x² + (3m + 1)x + m – 2. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm (2; -1).

A. m = 1
B. m = -2
C. m = 3
D. m = 0

Câu 7: Gọi (C) là đồ thị của hàm số: y = (x – 1) / (x – 3). Gọi M là một điểm thuộc (C) và có khoảng cách đến trục hoành là 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M.

A. y = (-1/2)x + 9/2
B. y = (-9/2)x + 17/2
C. Cả A và B đúng
D. Đáp án khác

Câu 8: Cho hàm số y = (x – 2) / (x + 1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp điểm M có tung độ bằng 4.

A. y = 9x + 2
B. y = 9x – 16
C. y = 9x + 8
D. y = 9x – 2

Câu 9: Cho hàm số y = x³ + x² + x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến tại M thuộc đồ thị hàm số biết tung độ điểm M bằng 2.

A. y = 2x + 1
B. y = x + 1
C. y = x + 2
D. y = x – 1

Câu 10: Cho hàm số: y = √(1 – x – x²) có đồ thị (C). Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x₀ = 1/2.

A. y + 2x – 1,5 = 0
B. 2x – y + 1,5 = 0
C. -2x + y + 1,5 = 0
D. 2x + y + 1,5 = 0

Alt: Hình ảnh minh họa bài tập vận dụng về phương trình tiếp tuyến.

5. Bài Tập Tự Luyện

Để nâng cao kỹ năng giải bài tập, bạn hãy tự luyện tập với các bài tập sau:

Bài 1. Cho hàm số y = x² + 3x – 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 2?

Bài 2. Cho hàm số y = x³ + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 1?

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = -4x³ + 3x + 1 đi qua điểm A(-1; 2).

Bài 4. Cho hai đường thẳng d₁: 2x + y – 3 = 0 và d₂: x + y – 2 = 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng đã cho. Cho hàm số y = x² + 4x + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A.

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x – 1)²(x – 2) tại điểm có hoành độ x = 5.

6. FAQ – Câu Hỏi Thường Gặp

1. Tại sao cần phải viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số?

Phương trình tiếp tuyến có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác. Ví dụ, nó có thể được sử dụng để xấp xỉ giá trị của hàm số tại một điểm, tìm cực trị của hàm số, hoặc giải các bài toán liên quan đến chuyển động.

2. Làm thế nào để xác định tiếp điểm khi chỉ biết hệ số góc của tiếp tuyến?

Khi biết hệ số góc k của tiếp tuyến, bạn cần giải phương trình f'(x) = k để tìm hoành độ tiếp điểm. Sau đó, tính tung độ tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến như bình thường.

3. Có phải lúc nào cũng tồn tại tiếp tuyến tại một điểm trên đồ thị hàm số không?

Không, tiếp tuyến chỉ tồn tại tại những điểm mà hàm số có đạo hàm. Tại những điểm đồ thị “gãy” hoặc “đột ngột đổi hướng”, đạo hàm không tồn tại và do đó không có tiếp tuyến.

4. Phương trình tiếp tuyến có phải là duy nhất không?

Với mỗi điểm trên đồ thị hàm số (nơi đạo hàm tồn tại), chỉ có một tiếp tuyến duy nhất. Tuy nhiên, một đường thẳng có thể là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại nhiều điểm khác nhau.

5. Làm thế nào để kiểm tra xem một đường thẳng có phải là tiếp tuyến của đồ thị hàm số hay không?

Để kiểm tra, bạn cần tìm giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số. Nếu tại giao điểm đó, đạo hàm của hàm số bằng hệ số góc của đường thẳng, thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Kết Luận

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ minh họa chi tiết trên, bạn đã nắm vững phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải bài tập và đạt kết quả tốt trong học tập.

Nếu bạn còn bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại truy cập CAUHOI2025.EDU.VN để được giải đáp và hỗ trợ. Tại đây, bạn sẽ tìm thấy vô vàn thông tin hữu ích, các bài viết chất lượng và đội ngũ chuyên gia sẵn sàng giúp đỡ bạn.

CAUHOI2025.EDU.VN luôn nỗ lực cung cấp những kiến thức chính xác, dễ hiểu và hữu ích nhất cho người dùng Việt Nam. Hãy đồng hành cùng chúng tôi trên con đường chinh phục tri thức!

Bạn muốn tìm hiểu thêm về các chủ đề toán học khác?

• Xem thêm: Các bài viết về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
• Đặt câu hỏi: Gửi câu hỏi của bạn đến CauHoi2025.EDU.VN để được giải đáp nhanh chóng.
• Liên hệ: Nếu bạn cần tư vấn trực tiếp, vui lòng liên hệ với chúng tôi qua trang Liên hệ hoặc theo địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam hoặc số điện thoại: +84 2435162967.

Alt: Hình ảnh kết luận, khuyến khích tìm hiểu thêm thông tin trên CAUHOI2025.EDU.VN.