Số Hữu Tỉ Là Gì? Giải Thích Chi Tiết, Dễ Hiểu Nhất 2024

Bạn đang muốn tìm hiểu Số Hữu Tỉ Là Gì? CAUHOI2025.EDU.VN sẽ giúp bạn hiểu rõ khái niệm, phân loại, tính chất và cách ứng dụng số hữu tỉ một cách chi tiết và dễ hiểu nhất. Cùng khám phá ngay!

1. Số Hữu Tỉ Là Gì? Số Vô Tỉ Là Gì?

1.1. Khái Niệm Số Hữu Tỉ

Số hữu tỉ là tập hợp các số có thể viết dưới dạng phân số, còn gọi là trường phân số, ký hiệu là Q. Điều này có nghĩa là số hữu tỉ có thể biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Nói cách khác, số hữu tỉ x có thể biểu diễn dưới dạng phân số a/b, trong đó a và b là các số nguyên (a, b ∈ Z, b ≠ 0) và có ký hiệu là Q.

Q = {a/b; a, b ∈ Z, b ≠ 0}

Ví dụ: Các số hữu tỉ như 5, 2/5, -7/9,…

Như vậy, tập hợp số hữu tỉ Q bao gồm:

• Số thập phân hữu hạn: 0.5 (½), 0.8 (⅘),…
• Số thập phân vô hạn tuần hoàn: 0.3333… (⅓), 0.16666… (⅙),…
• Tập hợp số nguyên (Z): -1, 0, 1, 2, 3, 4…
• Tập hợp số tự nhiên (N): 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,…

Alt: Hình ảnh minh họa về khái niệm số hữu tỉ trong toán học, thể hiện mối liên hệ giữa số hữu tỉ, số nguyên, số tự nhiên và số thập phân.

1.2. Tính Chất Của Số Hữu Tỉ

• Tập hợp số hữu tỉ Q là tập hợp đếm được.
• Phép nhân số hữu tỉ biểu diễn dưới dạng: a/b x c/d = a.c/ b.d
• Phép chia số hữu tỉ biểu diễn dưới dạng: a/b : c/d = a.d/ b.c
• Đối số của số hữu tỉ dương là số hữu tỉ âm và ngược lại, tức là tổng của số hữu tỉ và đối số của nó bằng 0.

Lưu ý:

• Số hữu tỉ dương: Là số hữu tỉ lớn hơn 0, được biểu diễn bằng dấu chấm nằm bên phải điểm đầu O trên trục số. Ví dụ: 2/3, 5/9, 3, 7…
• Số hữu tỉ âm: Là số hữu tỉ nhỏ hơn 0 và được biểu diễn bằng dấu chấm nằm bên trái điểm đầu O trên trục số. Ví dụ: – 6/11, -5…
• Số 0: Không phải là số hữu tỉ âm hay dương.

1.3. Khái Niệm Số Vô Tỉ

Số vô tỉ trong toán học là tập hợp các số được viết dưới dạng phân số thập phân vô hạn không lặp lại, không phải là số hữu tỉ. Tức là số thực không phải là số hữu tỉ được gọi là số vô tỉ và không thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số như a/b (a, b là các số nguyên). Ký hiệu của tập hợp số vô tỉ là I.

I: là tập hợp số vô tỉ

Ví dụ: Các số vô tỉ có thể kể đến là:

• √2 (căn 2), √3 (căn 3)
• Số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi: 0.101001000100001000001…
• Số thập phân vô hạn không lặp lại: 1.51421 35623 04890 73095
• Số Pi = 3.14159 26535 89793 26433 83279 50288 23846…
• Số logarit tự nhiên e = 2.71828 18284 59045…

1.4. So Sánh Sự Khác Nhau Giữa Số Hữu Tỉ Và Số Vô Tỉ

Sự khác nhau giữa số hữu tỉ và số vô tỉ thể hiện trong bảng so sánh sau:

2. Phân Loại Các Loại Số Hữu Tỉ Phổ Biến

Trong toán học, phổ biến 2 loại số hữu tỉ là số hữu tỉ âm và số hữu tỉ dương. Cụ thể:

• Số hữu tỉ âm: Là các số hữu tỉ nhỏ hơn 0. Ví dụ: -5/9, -18, -25/79…
• Số hữu tỉ dương: Là các số hữu tỉ lớn hơn 0. Ví dụ: 1/9, 105, 55/97…

3. Các Phép Toán Cơ Bản Với Số Hữu Tỉ

Trong chương trình học toán, học sinh sẽ được làm quen với các phép toán cơ bản với số hữu tỉ. Trong đó có:

3.1. Phép Tính Cộng Trừ Số Hữu Tỉ

Để tính cộng trừ số hữu tỉ cần thực hiện theo các bước như sau:

• Bước 1: Chuyển các số hữu tỉ về dạng phân số.
• Bước 2: Áp dụng các quy tắc cộng, trừ và các tính chất của số hữu tỉ để tính toán phép tính cộng trừ số hữu tỉ.

Quy tắc cộng trừ số hữu tỉ: Từ các số hữu tỉ được chuyển về dạng phân số, tiến hành đưa về các phân số cùng mẫu (rút gọn, quy đồng…). Sau đó cộng, trừ tử số và giữ nguyên mẫu số.

Tính chất của số hữu tỉ:

• Tính chất giao hoán: x + y = y + x
• Tính chất cộng với 0: x + 0 = y + 0
• Tính chất kết hợp: (x + y) + z = x + (y + z)
• Đối số số hữu tỉ: Mỗi số hữu tỉ đều có 1 đối số.
• Giá trị tuyệt đối của 1 số hữu tỉ: Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x là |x|. Trên trục số, giá trị tuyệt đối của 1 số hữu tỉ là khoảng cách từ điểm x đến điểm 0. Như vậy:

Nếu x > 0 => |x| = x

Nếu x = 0 => |x| = 0

Nếu x < 0 => |x| = – x

Công thức xác định giá trị tuyệt đối của 1 số hữu tỉ là:

• Bước 3: Thực hiện việc rút gọn kết quả (nếu có).

Ví dụ: Tính tổng của 5/7 và 4/9

Đáp án: 5/7 + 4/9 = 45/63 + 28/63 = 73/63

Vậy tổng của 5/7 và 4/9 là 73/63

3.2. Phép Tính Nhân, Chia Số Hữu Tỉ

Để thực hiện phép tính nhân, chia số hữu tỉ tiến hành như sau:

• Phép nhân số hữu tỉ:

Cho 2 số hữu tỉ x = a/b, y = c/d

Phép nhân số hữu tỉ: x . y = a/b . c/d = a.c/b.d

• Phép chia số hữu tỉ:

Cho 2 số hữu tỉ x = a/b, y = c/d

Phép chia số hữu tỉ: x : y = a/b : c/d = a/b . d/c = a . d/ b . c

3.3. Công Thức Tính Lũy Thừa Của Số Hữu Tỉ

Học sinh cần nhớ công thức tính lũy thừa của 1 số hữu tỉ như sau:

• Tích của 2 lũy thừa có cùng cơ số: xm . xn = xm + n
• Lũy thừa của lũy thừa: (xm)n = xm . n
• Lũy thừa của 1 tích: (x . y)n = xn . yn
• Lũy thừa của 1 thương: (x : y)n = xn : yn

3.4. So Sánh 2 Số Hữu Tỉ

Để thực hiện việc so sánh 2 số hữu tỉ, cần tiến hành theo các bước sau:

• Bước 1: Chuyển số hữu tỉ về dạng phân số.

Cho 2 số hữu tỉ x = a/b, y = c/d

• Bước 2: Chuyển số hữu tỉ về dạng có cùng mẫu số dương.

x = a . d/ b . d, y = c . b/ d . b

• Bước 3: So sánh các tử số của phân số.

So sánh nếu a . d > c . b => x > y

So sánh nếu a . d < c . b => x < y

So sánh nếu a . d = c . b => x = y

4. Một Số Dạng Bài Tập Về Số Hữu Tỉ Thường Gặp

Để giúp các em học sinh ghi nhớ kiến thức số hữu tỉ và áp dụng hiệu quả trong quá trình học tập, CAUHOI2025.EDU.VN gửi đến một số dạng bài tập hay để các em cùng tham khảo và áp dụng.

4.1. Dạng 1: Thực Hiện Các Phép Tính Có Liên Quan Đến Số Hữu Tỉ

Phương pháp giải dạng toán: Để giải các bài tập về thực hiện phép tính có liên quan đến số hữu tỉ, học sinh cần nắm vững kiến thức khi thực hiện các phép tính đã nêu trong nội dung phía trên. Đầu tiên cần đưa các số hữu tỉ về dạng phân số, sau đó áp dụng các quy tắc tính toán với phép tính cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ.

Ví dụ 1: Tính -5/3 : 4/7

Đáp án: -5/3 : 4/7 = -5/3 . 7/4 = -5 . 7/ 3 . 4 = -35/12

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính (–35 + 51) : (–37) + (–25 + 61) : (–37)

Đáp án:

(–35+51) : (–37) + (–25+61) : (–37)

= 16 : (- 37) + 36 : (-37)

= (16 + 36) : (-37)

= – 52/37

4.2. Dạng 2: Biểu Diễn Số Hữu Tỉ Trên Trục Số

Phương pháp giải dạng toán: Với bài tập dạng số 2, học sinh cần xác định số hữu tỉ là số hữu tỉ dương hay số hữu tỉ âm, sau đó tiếp tục thực hiện các bước tiếp theo:

• Nếu số hữu tỉ a/b là số hữu tỉ dương: Trên trục số, chiều dương trục, tiến hành chia độ dài 1 đơn vị thành b phần bằng nhau. Sau đó lấy điểm trên chiều dương trục Ox điểm a phần và xác định vị trí số hữu tỉ a/b.
• Nếu số hữu tỉ a/b là số hữu tỉ âm: Trên trục số, chiều âm trục, tiến hành chia độ dài 1 đơn vị thành b phần bằng nhau. Sau đó lấy điểm trên chiều âm trục Ox điểm a phần và xác định vị trí số hữu tỉ a/b.

Ví dụ: Biểu diễn số hữu tỉ ⅔ trên trục số.

Đáp án: Số hữu tỉ ⅔ là số hữu tỉ dương, nên biểu diễn vị trí thuộc chiều dương trục Ox.

Chia độ dài 1 đơn vị thành 3 phần bằng nhau => Lấy điểm 2 phần đặt là M

=> Điểm M là điểm biểu diễn số hữu tỉ 2/3

4.3. Dạng 3: So Sánh Số Hữu Tỉ

Phương pháp giải dạng toán: Để giải bài tập so sánh số hữu tỉ, chúng ta cần đưa các số hữu tỉ đã cho về dạng phân số có cùng mẫu số dương, sau đó tiến hành so sánh tử số. Nâng cao hơn, chúng ta có thể thực hiện việc so sánh với phân số trung gian để tìm ra đáp án.

Ví dụ: Hãy so sánh số hữu tỉ 2/-7 và -5/13

Đáp án:

2/-7 = 2 . (-13)/ -7 . (-13)= – 26/91

-5/13 = -5 . 7/ 13 . 7 = – 35/91

So sánh: -26 > -35 => 2/-7 > -5/13

4.4. Dạng 4: Xác Định Số Hữu Tỉ Là Âm, Dương Hay 0

Phương pháp giải dạng toán: Giải bài tập dạng 4, học sinh cần căn cứ vào tính chất của số hữu tỉ để xác định số hữu tỉ là số âm, số dương hay là 0.

Ví dụ: Cho số hữu tỉ x = (a – 25)/29, hãy xác định giá trị của a để:

• x là số âm
• x là số dương
• x = 0

Đáp án:

• x là số âm => (a – 25)/29 < 0 => a – 25 < 0 => a < 25
• x là số dương => (a – 25)/29 > 0 => a – 25 > 0 => a > 25
• x = 0 => (a – 25)/29 =0 => a – 25 = 0 => a = 25

4.5. Dạng 5: Tìm Số Hữu Tỉ Trong Khoảng Theo Điều Kiện Cho Trước

Phương pháp giải dạng toán: Nếu đề bài yêu cầu tìm số hữu tỉ trong khoảng theo điều kiện cho trước, chúng ta cần đưa các số hữu tỉ về cùng tử số hoặc mẫu số để tìm ra đáp án.

Ví dụ 1: Tìm x sao cho 1/ 5 < x < 2/5

Đáp án:

1/ 5 < x < 2/5

=> 63/315 < x < 126/315

=> 63 < x < 126

=> 63/35 < x < 126/35

=> x = (2, 3, 4, 5)

Ví dụ : Tìm y sao cho 1/9 < y < 1/8

Đáp án:

1/9 < y < 1/8

=> 12/108 < y < 13.5/108

=> y = (9, 10, … 107)

4.6. Dạng 6: Tìm x Với Số Hữu Tỉ

Phương pháp giải dạng toán: Với dạng toán tìm x với số hữu tỉ, cần phải thực hiện quy đồng khử mẫu số và chuyển x về 1 vế, các số hạng còn lại về 1 vế. Từ đó tính giá trị của x.

Ví dụ: Tìm x, biết x . (2/ 3) + 5/ 6 = 1/ 8

Đáp án:

x . (2/ 3) + 5/ 6 = 1/ 8

=> x . (2/ 3) = 1/ 8 – 5/ 6

=> x = -46/ 48 : 2/ 3

=> x = -23 . 3 / 24 . 2

=> x = -23/16

4.7. Dạng 7: Tìm a Để Biểu Thức Là Số Nguyên

Phương pháp giải dạng toán: Đối với bài toán tìm a, nếu tử số không chứa a, chúng ta cần sử dụng dấu chia hết. Nếu tử số chứa a, dùng dấu chia hết hoặc tách tử số theo mẫu số. Nếu bài toán yêu cầu tìm đồng thời cả a, b, cần nhóm a hoặc b và đưa về dạng phân thức để tính.

Ví dụ: Tìm số nguyên a với điều kiện 8/(a – 1) là số nguyên.

Đáp án:

Điều kiện: a – 1 ≠ 0 => a ≠ 1

Để a là số nguyên => 8 chia hết cho (a – 1)

=> (a – 1) là ước của 8 => U(8) = {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8}

=> (a – 1) = {-8, -4, -2, -1, 2, 4, 8}

=> a = {-7, -3, -1, 0, 3, 5, 9}

Hi vọng với những chia sẻ chi tiết về số hữu tỉ từ CAUHOI2025.EDU.VN, bạn đã có thể nắm vững kiến thức và tự tin áp dụng vào giải các bài tập toán học.

Bạn có thắc mắc nào khác về số hữu tỉ hoặc các chủ đề toán học khác? Hãy truy cập CAUHOI2025.EDU.VN ngay hôm nay để khám phá thêm nhiều kiến thức bổ ích và nhận được sự hỗ trợ tận tình từ đội ngũ chuyên gia của chúng tôi. Tại CAUHOI2025.EDU.VN, chúng tôi cam kết cung cấp thông tin chính xác, dễ hiểu và đáng tin cậy, giúp bạn giải đáp mọi thắc mắc một cách nhanh chóng và hiệu quả.

Liên hệ với chúng tôi:

Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam

Số điện thoại: +84 2435162967

Trang web: CauHoi2025.EDU.VN