Sina Sinb Là Gì? Công Thức, Chứng Minh Và Ứng Dụng Chi Tiết

Bạn đang gặp khó khăn với công thức lượng giác sina sinb và cách áp dụng nó vào giải toán? CAUHOI2025.EDU.VN sẽ giúp bạn hiểu rõ từ định nghĩa, công thức, chứng minh đến ứng dụng thực tế của sina sinb, giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài toán lượng giác. Khám phá ngay để nắm vững kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán!

Meta Description: Tìm hiểu công thức sina sinb trong lượng giác, cách chứng minh và ứng dụng chi tiết để giải các bài toán khác nhau. CAUHOI2025.EDU.VN cung cấp kiến thức dễ hiểu, giúp bạn nắm vững công thức lượng giác này. Công thức tích thành tổng, lượng giác cơ bản.

1. Sina Sinb Trong Lượng Giác Là Gì?

Sina Sinb là một công thức lượng giác quan trọng, được sử dụng để đơn giản hóa các bài toán lượng giác khác nhau. Công thức Sina Sinb có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các công thức cộng và trừ của hàm cosin. Nó được sử dụng để tìm tích của hàm sin cho các góc a và b. Kết quả của công thức sina sinb được biểu diễn là (1/2)[cos(a – b) – cos(a + b)].

Công thức sina sinb là một công cụ hữu ích trong lượng giác, giúp chúng ta biến đổi tích của hai hàm sin thành hiệu của hai hàm cosin. Điều này đặc biệt hữu ích khi giải các bài toán tích phân, tìm giới hạn hoặc đơn giản hóa các biểu thức lượng giác phức tạp.

2. Công Thức Sina Sinb

Công thức sina sinb biến đổi tích thành hiệu trong lượng giác cho các góc a và b được cho như sau:

sina sinb = (1/2)[cos(a – b) – cos(a + b)]

Trong đó:

• a và b là các góc.
• (a + b) và (a – b) là các góc hợp thành của chúng.

Công thức Sina Sinb được sử dụng khi biết hai góc a và b, hoặc khi biết tổng và hiệu của chúng.

Alt: Công thức lượng giác sina sinb và ví dụ minh họa.

3. Chứng Minh Công Thức Sina Sinb

Bây giờ, chúng ta đã biết công thức sina sinb, chúng ta sẽ chứng minh công thức này bằng cách sử dụng các công thức cộng và trừ góc của hàm cosin. Các công thức lượng giác mà chúng ta sẽ sử dụng để chứng minh công thức sin a sin b là:

• cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b — (1)
• cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b — (2)

Trừ phương trình (1) từ (2), ta có:

cos (a – b) – cos (a + b) = (cos a cos b + sin a sin b) – (cos a cos b – sin a sin b)

⇒ cos (a – b) – cos (a + b) = cos a cos b + sin a sin b – cos a cos b + sin a sin b

⇒ cos (a – b) – cos (a + b) = cos a cos b – cos a cos b + sin a sin b + sin a sin b

⇒ cos (a – b) – cos (a + b) = sin a sin b + sin a sin b [Các số hạng cos a cos b bị triệt tiêu vì dấu trái ngược]

⇒ cos (a – b) – cos (a + b) = 2 sin a sin b

⇒ sin a sin b = (1/2)[cos (a – b) – cos (a + b)]

Do đó, công thức sina sinb đã được chứng minh.

Vậy, sina sinb = (1/2)[cos(a – b) – cos(a + b)]

4. Cách Áp Dụng Công Thức Sina Sinb?

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu cách áp dụng công thức sina sinb để giải các bài toán khác nhau, vì chúng ta đã chứng minh công thức. Công thức sin a sin b có thể được sử dụng để giải các bài toán lượng giác đơn giản và các bài toán tích phân phức tạp. Chúng ta hãy xem xét một số ví dụ để hiểu rõ khái niệm này và làm theo các bước được đưa ra dưới đây để học cách áp dụng công thức sin a sin b:

4.1. Ví Dụ 1:

Biểu diễn sin x sin 7x dưới dạng hiệu của hàm cosin bằng công thức sina sinb.

Bước 1: Chúng ta biết rằng sin a sin b = (1/2)[cos(a – b) – cos(a + b)].

Xác định a và b trong biểu thức đã cho. Ở đây a = x, b = 7x. Sử dụng công thức trên, chúng ta sẽ chuyển sang bước thứ hai.

Bước 2: Thay các giá trị của a và b vào công thức.

sin x sin 7x = (1/2)[cos (x – 7x) – cos (x + 7x)]

⇒ sin x sin 7x = (1/2)[cos (-6x) – cos (8x)]

⇒ sin x sin 7x = (1/2) cos (6x) – (1/2) cos (8x) [Vì cos(-a) = cos a]

Do đó, sin x sin 7x có thể được biểu diễn dưới dạng (1/2) cos (6x) – (1/2) cos (8x) dưới dạng hiệu của hàm cosin.

4.2. Ví Dụ 2:

Giải tích phân ∫ sin 2x sin 5x dx.

Để giải tích phân ∫ sin 2x sin 5x dx, chúng ta sẽ sử dụng công thức sin a sin b.

Bước 1: Chúng ta biết rằng sin a sin b = (1/2)[cos(a – b) – cos(a + b)]

Xác định a và b trong biểu thức đã cho. Ở đây a = 2x, b = 5x. Sử dụng công thức trên, ta có:

Bước 2: Thay các giá trị của a và b vào công thức và giải tích phân.

sin 2x sin 5x = (1/2)[cos (2x – 5x) – cos (2x + 5x)]

⇒ sin 2x sin 5x = (1/2)[cos (-3x) – cos (7x)]

⇒ sin 2x sin 5x = (1/2)cos (3x) – (1/2)cos (7x) [Vì cos(-a) = cos a]

Bước 3: Bây giờ, thay sin 2x sin 5x = (1/2)cos (3x) – (1/2)cos (7x) vào tích phân ∫ sin 2x sin 5x dx. Chúng ta sẽ sử dụng công thức tích phân của hàm cosin ∫ cos x = sin x + C

∫ sin 2x sin 5x dx = ∫ [(1/2)cos (3x) – (1/2)cos (7x)] dx

⇒ ∫ sin 2x sin 5x dx = (1/2) ∫ cos (3x) dx – (1/2) ∫ cos (7x) dx

⇒ ∫ sin 2x sin 5x dx = (1/2) [sin (3x)]/3 – (1/2) [sin (7x)]/7 + C

⇒ ∫ sin 2x sin 5x dx = (1/6) sin (3x) – (1/14) sin (7x) + C

Do đó, tích phân ∫ sin 2x sin 5x dx = (1/6) sin (3x) – (1/14) sin (7x) + C bằng cách sử dụng công thức sin a sin b.

4.3. Lưu Ý Quan Trọng Về Công Thức sina sinb

• sin a sin b được áp dụng khi biết hai góc a và b hoặc khi biết tổng và hiệu của các góc.
• sin a sin b = (1/2)[cos(a – b) – cos(a + b)]
• Nó có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các công thức tổng và hiệu góc của hàm cosin.

5. Ví Dụ Về Sina Sinb

5.1. Ví Dụ 1:

Giải tích phân ∫ sin 9x sin 3x dx bằng cách sử dụng công thức sina sinb.

Giải:

Chúng ta biết rằng sina sinb = (1/2)[cos (a – b) – cos (a + b)]

Xác định a và b trong biểu thức đã cho. Ở đây a = 9x, b = 3x. Sử dụng công thức trên, ta có:

sin 9x sin 3x = (1/2)[cos (9x – 3x) – cos (9x + 3x)]

⇒ sin 9x sin 3x = (1/2)[cos (6x) – cos (12x)]

⇒ sin 9x sin 3x = (1/2)cos (6x) – (1/2)cos (12x)

Bây giờ, thay sin 9x sin 3x = (1/2)cos (6x) – (1/2)cos (12x) vào tích phân ∫ sin 9x sin 3x dx. Chúng ta sẽ sử dụng công thức tích phân của hàm cosin ∫ cos x dx = sin x + C

∫ sin 9x sin 3x dx = ∫ [(1/2)cos (6x) – (1/2)cos (12x)] dx

⇒ ∫ sin 9x sin 3x dx = (1/2) ∫ cos (6x) dx – (1/2) ∫ cos (12x) dx

⇒ ∫ sin 9x sin 3x dx = (1/2) [sin (6x)]/6 – (1/2) [sin (12x)]/12 + C

⇒ ∫ sin 9x sin 3x dx = (1/12) sin (6x) – (1/24) sin (12x) + C

Đáp án: ∫ sin 9x sin 3x dx = (1/12) sin (6x) – (1/24) sin (12x) + C

5.2. Ví Dụ 2:

Xác định giá trị của sin 15° sin 45° bằng công thức sin a sin b.

Giải:

Chúng ta biết rằng sin a sin b = (1/2)[cos (a – b) – cos (a + b)]

Xác định a và b trong biểu thức đã cho. Ở đây a = 15°, b = 45°. Sử dụng công thức trên, ta có:

sin 15° sin 45° = (1/2)[cos (15° – 45°) – cos (15° + 45°)]

⇒ sin 15° sin 45° = (1/2)[cos (- 30°) – cos (60°)]

⇒ sin 15° sin 45° = (1/2)[cos (30°) – cos (60°)] [Vì cos(-a) = cos a]

⇒ sin 15° sin 45° = (1/2)[√3/2 – 1/2]

⇒ sin 15° sin 45° = (√3 – 1)/4

Đáp án: sin 15° sin 45° = (√3 – 1)/4

Alt: Hình ảnh minh họa học sinh và giáo viên trong lớp học.

6. Câu Hỏi Thường Gặp Về Sina Sinb

6.1. Công Thức Sina Sinb Trong Lượng Giác Là Gì?

Sina Sinb là một công thức quan trọng trong lượng giác được sử dụng để đơn giản hóa các bài toán lượng giác khác nhau. Công thức sin a sin b là sin a sin b = (1/2)[cos(a – b) – cos(a + b)].

6.2. Công Thức 2 Sina Sinb Là Gì?

Chúng ta biết rằng sina sinb = (1/2)[cos(a – b) – cos(a + b)] ⇒ 2 sin a sin b = cos(a – b) – cos(a + b). Do đó, công thức của 2 sin a sin b là cos(a – b) – cos(a + b).

6.3. Làm Thế Nào Để Chứng Minh Đồng Nhất Thức sina sinb?

Các đồng nhất thức lượng giác được sử dụng để chứng minh công thức sina sinb là:

• cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b
• cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b

Trừ hai phương trình trên và đơn giản hóa để chứng minh đồng nhất thức sin a sin b.

6.4. Khai Triển Của Sina Sinb Trong Lượng Giác Là Gì?

Công thức khai triển sina sinb trong lượng giác cho các góc a và b được cho như sau, sin a sin b = (1/2)[cos(a – b) – cos(a + b)]. Ở đây, a và b là các góc, và (a + b) và (a – b) là các góc hợp thành của chúng.

6.5. Làm Thế Nào Để Áp Dụng Công Thức Sina Sinb?

Đồng nhất thức sina sinb có thể được sử dụng để giải các bài toán lượng giác đơn giản và các bài toán tích phân phức tạp. Công thức cho sin a sin b có thể được áp dụng theo cos (a – b) và cos (a + b) để giải các bài toán khác nhau.

6.6. Làm Thế Nào Để Sử Dụng Đồng Nhất Thức sina sinb Trong Lượng Giác?

Để sử dụng công thức sin a sin b, hãy so sánh biểu thức đã cho với công thức sin a sin b = (1/2)[cos(a – b) – cos(a + b)] và thay các giá trị tương ứng của các góc a và b để giải bài toán.

Bạn thấy bài viết này hữu ích? Tại CAUHOI2025.EDU.VN, chúng tôi cung cấp các bài viết chi tiết và dễ hiểu về nhiều chủ đề khác nhau, từ toán học đến khoa học, lịch sử và nhiều hơn nữa. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào hoặc muốn tìm hiểu thêm, đừng ngần ngại truy cập trang web của chúng tôi hoặc liên hệ với chúng tôi theo địa chỉ:

Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam

Số điện thoại: +84 2435162967

Trang web: CauHoi2025.EDU.VN

Chúng tôi luôn sẵn lòng giúp đỡ bạn!