Sin(a-b): Công Thức, Chứng Minh Và Ứng Dụng Chi Tiết Nhất

Bạn đang tìm kiếm công thức Sin(a-b) để giải các bài toán lượng giác? Bài viết này của CAUHOI2025.EDU.VN sẽ cung cấp cho bạn công thức đầy đủ, cách chứng minh chi tiết, ứng dụng thực tế và các ví dụ minh họa dễ hiểu. Khám phá ngay để làm chủ công thức lượng giác quan trọng này!

Giới thiệu (Meta Description)

Công thức sin(a-b) là một trong những công thức lượng giác cơ bản và quan trọng. CAUHOI2025.EDU.VN sẽ giúp bạn hiểu rõ công thức này thông qua chứng minh hình học, ví dụ minh họa và bài tập áp dụng. Nắm vững công thức sin hiệu, công thức lượng giác và các bài tập lượng giác liên quan một cách dễ dàng.

1. Công Thức Sin(a-b) Là Gì?

Trong lượng giác, sin(a-b) là công thức biểu diễn sin của hiệu hai góc. Nó được sử dụng khi bạn cần tính giá trị sin của một góc được tạo thành từ hiệu của hai góc khác. Góc (a – b) được gọi là góc hợp thành.

2. Công Thức Góc Hợp Thành Sin(a-b)

Công thức sin(a – b), còn được gọi là công thức hiệu trong lượng giác, được biểu diễn như sau:

sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b

Trong đó, a và b là số đo của hai góc bất kỳ.

3. Chứng Minh Công Thức Sin(a-b)

Công thức sin(a – b) có thể được chứng minh bằng phương pháp hình học. Để chứng minh công thức này, ta giả sử ban đầu ‘a’, ‘b’ và (a – b) là các góc nhọn dương sao cho (a > b). Tuy nhiên, công thức sin(a – b) đúng với mọi giá trị dương hoặc âm của a và b.

Chứng minh: sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b

Dựng hình: Cho OX là một tia quay. Quay tia này quanh điểm O theo chiều ngược chiều kim đồng hồ để tạo thành các tia OY và OZ sao cho ∠XOZ = a và ∠YOZ = b. Khi đó ∠XOY = a – b.

Lấy một điểm P trên tia OY, và:

• Kẻ các đường vuông góc PQ và PR lần lượt xuống OX và OZ.
• Tiếp tục kẻ các đường vuông góc RS và RT từ R lần lượt xuống OX và PQ.

Chứng minh: Chúng ta sẽ xem cách viết ∠TPR = a trong hình trên.

• Từ tam giác vuông OPQ, ∠OPQ = 180 – (90 + a – b) = 90 – a + b;
• Từ tam giác vuông OPR, ∠OPR = 180 – (90 + b) = 90 – b

Từ hình vẽ, ∠OPQ, ∠OPR và ∠TPR là các góc tại một điểm trên một đường thẳng và do đó tổng của chúng bằng 180 độ.

∠OPQ + ∠OPR + ∠TPR = 180

(90 – a + b) + (90 – b) + ∠TPR = 180

180 – a + ∠TPR = 180

∠TPR = a

Từ tam giác vuông PQO, ta có:

sin (a – b) = PQ/OP = (QT-TP)/OP = QT/OP – TP/OP = RS/OP – TP/OP = RS/OR ∙ OR/OP – TP/PR ∙ PR/OP = sin a cos b – cos ∠TPR sin b = sin a cos b – cos a sin b (vì ta biết, ∠TPR = a)

Vậy, sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

Chứng minh này dựa trên các nguyên lý hình học cơ bản và các định nghĩa của hàm sin và cos trong tam giác vuông. Nó cho thấy mối liên hệ giữa sin của hiệu hai góc và các hàm sin, cos của từng góc riêng biệt.

4. Cách Ứng Dụng Công Thức Sin(a-b)

Trong lượng giác, khai triển của sin(a – b) có thể được sử dụng để tính giá trị của hàm sin cho các góc có thể biểu diễn dưới dạng hiệu của các góc chuẩn. Để áp dụng công thức sin(a – b), bạn có thể làm theo các bước sau:

• Bước 1: So sánh biểu thức sin(a – b) với biểu thức đã cho để xác định các góc ‘a’ và ‘b’.
• Bước 2: Áp dụng công thức sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

Ví dụ: Tính sin(60º – 30º):

• a = 60º và b = 30º.
• sin(60º – 30º) = sin 60ºcos 30º – sin 30ºcos 60º
• Vì sin 30º = 1/2, sin 60º = √3/2, cos 30º = √3/2, cos 60º = 1/2
• => sin(60º – 30º) = (√3/2)(√3/2) – (1/2)(1/2) = 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2
• Ta biết rằng sin(60º – 30º) = sin 30º = 1/2. Kết quả được xác minh.

Công thức này đặc biệt hữu ích khi bạn cần tính giá trị sin của một góc không có trong bảng giá trị lượng giác chuẩn, nhưng có thể được biểu diễn dưới dạng hiệu của hai góc quen thuộc.

5. Ví Dụ Về Ứng Dụng Công Thức Sin(a – b)

Ví dụ 1: Tính giá trị chính xác của sin 135º bằng cách sử dụng khai triển của sin(a – b).

Giải:

Vì các giá trị của hàm sin và cosin có thể dễ dàng tính được cho các góc 180º và 45º, chúng ta có thể biểu diễn 135º là (180º – 45º).

=> sin(135º) = sin(180º – 45º) = sin180ºcos45º – sin 45ºcos180º = (0)(1/√2) – (1/√2)(-1) = 0 + 1/√2 = 1/√2

Ví dụ 2: Chứng minh rằng sin (40° + θ) cos (10° + θ) – cos (40° + θ) sin (10° + θ) = 1/2 bằng công thức sin(a – b).

Giải:

Vế trái = sin (40° + θ) cos (10° + θ) – cos (40° + θ) sin (10° + θ)

= sin [(40° + θ) – (10° + θ)] (Áp dụng công thức sin a cos b – cos a sin b = sin (a – b))

= sin (40° + θ – 10° – θ)

= sin 30°

= 1/2 = Vế phải

Vậy, biểu thức đã được chứng minh.

6. Bài Tập Luyện Tập Về Sin(a – b)

(Chèn các bài tập luyện tập ở đây, ví dụ tính giá trị sin của các góc, chứng minh đẳng thức lượng giác,…)

7. Các Câu Hỏi Thường Gặp Về Sin(a – b)

7.1. Sin (a – b) là gì?

Trong lượng giác, sin(a – b) là một trong những công thức lượng giác quan trọng, còn được gọi là công thức sin hiệu. Nó được biểu diễn như sau: sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b, trong đó ‘a’ và ‘b’ là các góc.

7.2. Công thức của Sin (a – b) là gì?

Công thức sin(a – b) được sử dụng để biểu diễn công thức góc hợp thành sin theo các giá trị của hàm sin và cosin của các góc riêng lẻ. Công thức sin(a – b) trong lượng giác được cho như sau: sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

7.3. Khai triển của Sin (a – b) là gì?

Khai triển của sin(a – b) được cho như sau: sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b, trong đó a và b là số đo của các góc.

7.4. Làm thế nào để chứng minh công thức Sin (a – b)?

Công thức sin(a – b) có thể được chứng minh bằng phương pháp dựng hình học. Ban đầu, ta giả sử rằng ‘a’, ‘b’ và (a – b) là các góc nhọn dương, sao cho (a > b). Xem lại phần chứng minh để hiểu phương pháp từng bước để suy ra công thức sin(a – b).

7.5. Các ứng dụng của công thức Sin(a – b) là gì?

Sin(a – b) có thể được sử dụng để tìm giá trị của hàm sin cho các góc có thể được biểu diễn dưới dạng hiệu của các góc đơn giản hơn hoặc tiêu chuẩn. Do đó, công thức này giúp việc suy luận các giá trị của hàm lượng giác dễ dàng hơn. Nó cũng có thể được áp dụng trong khi suy ra các công thức khai triển của các công thức góc kép và góc bội khác.

7.6. Làm thế nào để tìm giá trị của Sin 15º bằng cách sử dụng công thức Sin(a – b)?

Giá trị của sin 15º bằng cách sử dụng công thức (a – b) có thể được tính bằng cách viết nó là sin[(45º – 30º] và sau đó áp dụng công thức sin(a – b).

=> sin[(45º – 30º)] = sin 45ºcos30º – sin30ºcos 45º = (√3/2√2) – (1/2√2) = (√3 – 1)/2√2 = (√6 – √2)/4. Theo Báo Giáo Dục và Thời Đại (https://giaoducthoidai.vn/), việc nắm vững công thức lượng giác giúp học sinh tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan.

7.7. Làm thế nào để tìm Sin(a – b + c) bằng cách sử dụng Sin(a – b)?

Chúng ta có thể biểu diễn sin(a – b + c) là sin((a – b) + c) và khai triển bằng công thức sin(a + b) như sau:

sin(a – b + c) = sin(a – b)·cos c + sin c·cos(a – b) = cos c·(sin a cos b – cos a sin b) + sin c·(cos a cos b + sin a sin b) = sin a cos b cos c – cos a sin b cos c + cos a cos b sin c + sin a sin b sin c.

Tạm kết

Hi vọng qua bài viết này, bạn đã nắm vững công thức sin(a-b), cách chứng minh và ứng dụng của nó. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo công thức này và tự tin giải quyết các bài toán lượng giác.

Nếu bạn gặp bất kỳ khó khăn nào trong quá trình học tập, đừng ngần ngại truy cập CAUHOI2025.EDU.VN để tìm kiếm câu trả lời và nhận được sự hỗ trợ tận tình từ đội ngũ chuyên gia của chúng tôi.

CAUHOI2025.EDU.VN luôn sẵn sàng đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục tri thức!

Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam

Số điện thoại: +84 2435162967

Trang web: CauHoi2025.EDU.VN