**Phép Vị Tự Là Gì? Ứng Dụng, Công Thức & Bài Tập (A-Z)**

Meta Description: Tìm hiểu phép vị tự trong hình học: định nghĩa, tính chất, tâm vị tự, công thức và ứng dụng. CAUHOI2025.EDU.VN cung cấp kiến thức chi tiết, ví dụ minh họa, bài tập vận dụng giúp bạn nắm vững chủ đề này. Khám phá ngay phép biến hình, hình học phẳng, toán học!

1. Khái Niệm Phép Vị Tự: Định Nghĩa và Ví Dụ

Phép vị tự là một phép biến hình trong hình học, biến mỗi điểm M thành một điểm M’ sao cho vectơ OM’ bằng k lần vectơ OM, với O là một điểm cố định (tâm vị tự) và k là một số khác 0 (tỉ số vị tự). Ký hiệu phép vị tự tâm O, tỉ số k thường là $V_{(O,k)}$.

1.1. Định Nghĩa Chi Tiết

Cho điểm O và số $k neq 0$. Phép vị tự tâm O, tỉ số k là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho:

$overrightarrow{OM’} = koverrightarrow{OM}$

Trong đó:

• O là tâm vị tự.
• k là tỉ số vị tự.
• M là điểm gốc.
• M’ là ảnh của điểm M qua phép vị tự.

Alt: Phép vị tự biến điểm M thành M’ qua tâm O với tỉ số k

1.2. Ví Dụ Minh Họa

Xét phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2. Điểm A có tọa độ (1; 1). Tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A qua phép vị tự này.

Giải:

Ta có $overrightarrow{OA’} = 2overrightarrow{OA}$. Do đó, tọa độ điểm A’ là (2; 2).

Alt: Ví dụ minh họa phép vị tự biến điểm A thành A’ qua tâm O

1.3. Các Trường Hợp Đặc Biệt

• k = 1: Phép vị tự trở thành phép đồng nhất (biến mỗi điểm thành chính nó).
• k = -1: Phép vị tự trở thành phép đối xứng tâm O.
• $M’ = V{(O,k)}(M) Leftrightarrow M = V{(O,frac{1}{k})}(M’)$

2. Tính Chất Quan Trọng Của Phép Vị Tự

Phép vị tự có nhiều tính chất quan trọng, giúp giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả.

2.1. Bảo Toàn Tính Thẳng Hàng

Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và thứ tự giữa các điểm vẫn được bảo toàn.

2.2. Biến Đường Thẳng Thành Đường Thẳng Song Song Hoặc Trùng Nhau

Phép vị tự biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó. Nếu đường thẳng đi qua tâm vị tự, ảnh của nó sẽ trùng với chính nó.

2.3. Biến Đoạn Thẳng Thành Đoạn Thẳng Tỉ Lệ

Phép vị tự tỉ số k biến đoạn thẳng có độ dài a thành đoạn thẳng có độ dài |k|a.

2.4. Biến Tam Giác Thành Tam Giác Đồng Dạng

Phép vị tự biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó, tỉ số đồng dạng bằng |k|. Góc giữa các cạnh của tam giác được bảo toàn.

2.5. Biến Đường Tròn Thành Đường Tròn

Phép vị tự biến một đường tròn bán kính r thành một đường tròn bán kính |k|r. Tâm của đường tròn cũng bị biến đổi theo phép vị tự.

3. Tâm Vị Tự Của Hai Đường Tròn: Cách Xác Định

3.1. Định Lý

Cho hai đường tròn bất kỳ, luôn tồn tại một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

3.2. Cách Tìm Tâm Vị Tự

Để xác định tâm vị tự của hai đường tròn (I, R) và (I’, R’), ta xét các trường hợp sau:

Trường Hợp 1: Hai Đường Tròn Đồng Tâm (I trùng I’)

• Tâm vị tự: Điểm I (hoặc I’).
• Tỉ số vị tự: $|k| = frac{R’}{R} Rightarrow k = pm frac{R’}{R}$.

Alt: Hai đường tròn đồng tâm và phép vị tự

Trường Hợp 2: Hai Đường Tròn Không Đồng Tâm (I ≠ I’) và Bán Kính Khác Nhau (R ≠ R’)

• Tâm vị tự: Có hai tâm vị tự:
  • O: Tâm vị tự ngoài (nằm ngoài đoạn nối tâm).
  • $O_1$: Tâm vị tự trong (nằm giữa đoạn nối tâm).
• Tỉ số vị tự:
  • Với tâm O: $|k| = frac{|overrightarrow{OM’}|}{|overrightarrow{OM}|} = frac{|overrightarrow{I’M’}|}{|overrightarrow{IM}|} = frac{R’}{R} Rightarrow k = frac{R’}{R}$ (do $overrightarrow{OM}$ và $overrightarrow{OM’}$ cùng hướng).
  • Với tâm $O_1$: $|k_1| = frac{|overrightarrow{O_1M”}|}{|overrightarrow{O_1M}|} = frac{|overrightarrow{I’M”}|}{|overrightarrow{IM}|} = frac{R’}{R} Rightarrow k_1 = -frac{R’}{R}$ (do $overrightarrow{O_1M}$ và $overrightarrow{O_1M”}$ ngược hướng).

Trường Hợp 3: Hai Đường Tròn Không Đồng Tâm (I ≠ I’) và Bán Kính Bằng Nhau (R = R’)

• Tâm vị tự: Chỉ có một tâm vị tự là trung điểm của đoạn nối tâm ($O_1$ trên hình vẽ).
• Tỉ số vị tự: $|k| = frac{|overrightarrow{O_1M”}|}{|overrightarrow{O_1M}|} = frac{|overrightarrow{I’M”}|}{|overrightarrow{IM}|} = frac{R}{R} = 1 Rightarrow k = -1$ (do $overrightarrow{O_1M}$ và $overrightarrow{O_1M”}$ ngược hướng).

4. Công Thức Phép Vị Tự: Tọa Độ Ảnh

Cho điểm $M(x_0; y_0)$. Phép vị tự tâm I(a, b), tỉ số k biến điểm M thành M’ có tọa độ (x’, y’) thỏa mãn:

$overrightarrow{IM’} = koverrightarrow{IM}$

Từ đó, ta có công thức tọa độ:

Alt: Công thức tính tọa độ điểm ảnh qua phép vị tự

Hay:

Alt: Hệ phương trình biểu diễn phép vị tự

$begin{cases}
x’ = a + k(x_0 – a)
y’ = b + k(y_0 – b)
end{cases}$

5. Các Dạng Bài Tập Về Phép Vị Tự và Phương Pháp Giải

Phép vị tự là một chủ đề quan trọng trong chương trình hình học. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải:

5.1. Dạng 1: Tìm Yếu Tố Của Phép Vị Tự

Đề bài: Cho điểm M và ảnh M’ của nó qua phép vị tự. Hãy tìm tâm vị tự hoặc tỉ số vị tự.

Phương pháp giải:

• TH1: Nếu cho sẵn tâm O, ta tìm tỉ số $k = frac{overrightarrow{OM’}}{overrightarrow{OM}}$.
• TH2: Nếu cho sẵn k, ta tìm O là điểm chia đoạn MM’ theo tỉ số k.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Xác định tâm phép vị tự biến G thành A và có tỉ số vị tự k = 3.

Giải:

Gọi O là tâm vị tự cần tìm. Ta có $overrightarrow{OA} = 3overrightarrow{OG}$. Điều này chứng tỏ V(O; 3): G → A. Vậy O là tâm của phép vị tự cần tìm.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có H, G lần lượt là trực tâm, trọng tâm và đường tròn ngoại tiếp (O). Xác định tỉ số vị tự k của phép vị tự biến H thành O (tâm G).

Giải:

Áp dụng định lý Euler, ta có O, G, H thẳng hàng và $overrightarrow{GO} = -frac{1}{2}overrightarrow{GH}$. Chứng tỏ: $V(G;-frac{1}{2})(H) = O$. Vậy $k = -frac{1}{2}$.

5.2. Dạng 2: Tìm Tập Hợp Điểm Bằng Phép Vị Tự

Đề bài: Tìm tập hợp các điểm thỏa mãn một điều kiện hình học nào đó, sử dụng phép vị tự.

Phương pháp giải:

• Bước 1: Xác định phép vị tự V(O, k): $M rightarrow N$, trong đó N là điểm cần tìm tập hợp.
• Bước 2: Tìm tập hợp điểm H của các điểm M. Suy ra tập hợp các điểm N là H’, ảnh của H qua phép vị tự V(O; k).

Ví dụ: Cho đường tròn (O) bán kính R. Trên (O) lấy hai điểm phân biệt cố định A, B. Gọi M là điểm di động trên (O) và M’ thỏa mãn $overrightarrow{MM’} = overrightarrow{AB}$. Xác định tập hợp trọng tâm G của tam giác BMM’.

Giải:

Gọi I là trung điểm của MM’. Ta có $overrightarrow{MI} = frac{1}{2}overrightarrow{AB}$. G là trọng tâm tam giác BMM’ nên $overrightarrow{BG} = frac{2}{3}overrightarrow{BI} Rightarrow V(B;frac{2}{3}): I rightarrow G$.

Do đó, ta tìm tập hợp điểm I trước. Vì $overrightarrow{MI} = frac{1}{2}overrightarrow{AB}$, nên $T_{frac{1}{2}overrightarrow{AB}}(M) = I$. Từ đó, tập hợp điểm I là đường tròn (O’) với $overrightarrow{OO’} = frac{1}{2}overrightarrow{AB}$ và bán kính R.

Vì $V(B;frac{2}{3}): I rightarrow G$ nên tập hợp điểm G là đường tròn tâm O” là ảnh của (O’) qua phép vị tự $V(B;frac{2}{3})$ với $overrightarrow{BO”} = frac{2}{3}overrightarrow{BO’}$ và bán kính $R’ = frac{2}{3}R$.

5.3. Dạng 3: Dựng Hình Nhờ Phép Vị Tự

Đề bài: Dựng một hình thỏa mãn các điều kiện cho trước, sử dụng phép vị tự.

Phương pháp:

• Bước 1: Tìm phép vị tự biến hình H thành hình H’.
• Bước 2: Dựng hình H’ rồi tìm được hình H.

Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn. Dựng hình chữ nhật MNPQ có $MN = MQsqrt{2}$ sao cho M, N thuộc BC, P thuộc CA và Q thuộc AB.

Giải:

Phân tích: Đặt $frac{AQ}{AB} = frac{AM}{AE} = k > 0$, thì phép vị tự V(A; k) biến hình chữ nhật MNPQ thành hình chữ nhật EDCB với $ED = EBsqrt{2}$ (vì $MN = MQsqrt{2}$).

Cách dựng:

1. Dựng hình chữ nhật EDCB khác phía với tam giác ABC đối với đường thẳng BC sao cho $ED = EBsqrt{2}$.
2. N, M lần lượt là giao điểm của AD, BC và AE, BC.
3. Qua M và N lần lượt dựng các đường thẳng vuông góc với BC, cắt AC tại P và AB tại Q.
4. MNPQ là hình chữ nhật phải dựng.

$Rightarrow$ Chỉ có duy nhất một nghiệm hình.

6. Bài Tập Trắc Nghiệm Về Phép Vị Tự (Có Đáp Án)

Câu 1: Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Tính số phép vị tự biến đường thẳng đó thành chính nó?

A. Không có phép nào
B. Có một phép duy nhất
C. Chỉ có hai phép
D. Có vô số phép

Đáp án: D. Vì tâm vị tự là giao điểm của d và d’. Suy ra có vô số k, vậy có vô số phép vị tự biến đường thẳng đó thành chính nó.

Câu 2: Cho hai đường thẳng d và d’ song song và một điểm O bất kỳ không nằm trên chúng. Số phép vị tự tâm O có thể biến đường thẳng d thành đường thẳng d’?

A. Vô số
B. Chỉ một
C. Chỉ hai
D. Không có

Đáp án: B. Lấy đường thẳng a bất kỳ đi qua O cắt d và d’ lần lượt tại A và A’. Gọi k thỏa mãn: $overrightarrow{OA’} = koverrightarrow{OA}$, số k không phụ thuộc đường thẳng a. Vậy đáp án là phép biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ phép vị tự tâm O tỉ số k.

Câu 3: Một hình vuông có S = 4. Qua phép vị tự $V_{(I,-2)}$ thì ảnh của hình vuông trên có diện tích tăng gấp bao nhiêu lần so với diện tích ban đầu?

A. 2
B. 4
C. 8
D. $frac{1}{2}$

Đáp án: B. $S_{hv} = 4 Rightarrow$ cạnh hình vuông bằng 2. V(I; -2) $Rightarrow$ cạnh hình vuông mới bằng |-2|. Cạnh hình vuông cũ $Rightarrow$ cạnh hình vuông mới bằng 4 $Rightarrow S_m = 4^2 = 16$. $Rightarrow frac{S_c}{S_m} = frac{4}{16} = frac{1}{4} Rightarrow$ S tăng 4 lần.

Câu 4: Thực hiện phép vị tự H(1; 2) tỉ số k = -3 điểm M(4, 7) biến thành điểm M’ có tọa độ bao nhiêu?

A. M'(8; 13)
B. M'(-8; -13)
C. M'(-8; 13)
D. M'(-13; 8)

Đáp án: B

Alt: Tính tọa độ M’ qua phép vị tự tâm H

Câu 5: Phép vị tự tâm O tỉ số vị tự k = -2 biến điểm M(-3; 1) thành điểm nào dưới đây?

A. M'(3; -1)
B. M'(-3; 1)
C. M'(-6; 2)
D. M'(6; -2)

Đáp án: D. $V_{(I;k)}(M) = M’ Leftrightarrow overrightarrow{IM’} = koverrightarrow{IM}$

Câu 6: Xét phép vị tự $V_{(I;3)}$ biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Hỏi chu vi tam giác A’B’C’ bằng bao nhiêu lần chu vi tam giác ABC?

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Đáp án: C. $V_{(I;3)}(AB) = A’B’; Rightarrow A’B’ = 3AB$. Tương tự với các cạnh khác, suy ra chu vi tam giác A’B’C’ gấp 3 lần chu vi tam giác ABC.

Câu 7: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC. Khi đó, phép vị tự tỉ số bao nhiêu biến tam giác A’B’C’ thành tam giác ABC?

A. Tỉ số k = 2
B. Tỉ số k = -2
C. Tỉ số k = -3
D. Tỉ số k = 3

Đáp án: B

Câu 8: Cho hình thang ABCD, AB và CD thỏa mãn AB = 3CD. Tỉ số k của phép vị tự biến điểm A thành điểm C và biến điểm B thành điểm D là:

A. $k = frac{1}{3}$
B. k = 3
C. $k = frac{-1}{3}$
D. k = -3

Đáp án: A

Câu 9: Cho hình thang ABCD, với $overrightarrow{CD} = frac{-1}{2}overrightarrow{AB}$ (AC và BD cắt nhau tại I). Thực hiện phép vị tự tâm I tỉ số k biến $overrightarrow{AB}$ thành $overrightarrow{CD}$. Mệnh đề nào dưới đây không sai?

A. k = -2
B. $k = frac{-1}{2}$
C. k = 2
D. k = -3

Đáp án: B

Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: $x^2 + y^2 – 4x + 6y – 3 = 0$. Qua phép vị tự tâm H(1; 3) tỉ số k = -2, đường tròn (C) biến thành đường tròn (C’) có phương trình:

A. $x^2 + y^2 + 2x – 30y + 60 = 0$
B. $x^2 + y^2 – 2x – 30y + 62 = 0$
C. $x^2 + y^2 + 2x – 30y + 62 = 0$
D. $x^2 + y^2 – 2x – 30y + 60 = 0$

Đáp án: C

7. Ứng Dụng Thực Tế Của Phép Vị Tự

Phép vị tự không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong toán học, mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau:

• Thiết kế đồ họa: Phép vị tự được sử dụng để phóng to, thu nhỏ hoặc tạo ra các hình ảnh đồng dạng trong thiết kế đồ họa và chỉnh sửa ảnh.
• Kiến trúc: Các kiến trúc sư sử dụng phép vị tự để tạo ra các bản vẽ tỉ lệ của các công trình xây dựng, giúp hình dung và điều chỉnh thiết kế một cách dễ dàng.
• Bản đồ học: Phép vị tự được sử dụng để chuyển đổi giữa các tỉ lệ khác nhau trên bản đồ, giúp người dùng dễ dàng định hướng và tìm kiếm thông tin.
• Mô hình hóa: Trong lĩnh vực mô hình hóa 3D, phép vị tự được sử dụng để tạo ra các mô hình có kích thước khác nhau nhưng vẫn giữ được hình dạng và tỉ lệ ban đầu.

8. FAQ – Câu Hỏi Thường Gặp Về Phép Vị Tự

1. Phép vị tự có phải là một phép dời hình không?
Không, phép vị tự không phải là một phép dời hình, vì nó thay đổi kích thước của hình. Phép dời hình chỉ thay đổi vị trí, không thay đổi kích thước và hình dạng.

2. Tỉ số vị tự k có thể là số âm không?
Có, tỉ số vị tự k có thể là số âm. Khi k < 0, ảnh của điểm M sẽ nằm trên tia đối của tia OM.

3. Nếu k = 0 thì sao?
Nếu k = 0, phép vị tự sẽ biến mọi điểm thành tâm vị tự O.

4. Phép vị tự có ứng dụng gì trong thực tế?
Phép vị tự có nhiều ứng dụng trong thiết kế đồ họa, kiến trúc, bản đồ học và mô hình hóa.

5. Làm thế nào để tìm tâm vị tự của hai đường tròn?
Tùy thuộc vào vị trí tương đối và bán kính của hai đường tròn, có các phương pháp khác nhau để tìm tâm vị tự (như đã trình bày ở phần 3).

6. Công thức tọa độ của phép vị tự là gì?
Công thức tọa độ của phép vị tự tâm I(a, b), tỉ số k là: $begin{cases} x’ = a + k(x_0 – a) y’ = b + k(y_0 – b) end{cases}$

7. Phép vị tự có bảo toàn diện tích không?
Không, phép vị tự không bảo toàn diện tích. Nếu tỉ số vị tự là k, thì diện tích hình ảnh sẽ gấp $k^2$ lần diện tích hình gốc.

8. Tính chất nào quan trọng nhất của phép vị tự?
Một trong những tính chất quan trọng nhất của phép vị tự là bảo toàn tính đồng dạng, tức là biến một hình thành một hình đồng dạng với nó.

9. Làm sao để dựng một hình bằng phép vị tự?
Để dựng một hình bằng phép vị tự, bạn cần xác định tâm vị tự, tỉ số vị tự và hình gốc, sau đó áp dụng phép vị tự để tạo ra hình ảnh.

10. Sự khác biệt giữa phép vị tự và phép đồng dạng là gì?
Phép đồng dạng là sự kết hợp của phép vị tự và phép dời hình, trong khi phép vị tự chỉ thay đổi kích thước mà không thay đổi vị trí.

Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm rõ về phép vị tự, từ định nghĩa, tính chất, công thức đến các dạng bài tập và ứng dụng thực tế. Nếu bạn gặp bất kỳ khó khăn nào trong quá trình học tập, hãy truy cập CAUHOI2025.EDU.VN để được giải đáp và hỗ trợ. Chúng tôi luôn sẵn lòng giúp bạn chinh phục kiến thức toán học một cách dễ dàng và hiệu quả.

CAUHOI2025.EDU.VN cung cấp các câu trả lời chính xác, đáng tin cậy và dễ hiểu, giúp bạn tiết kiệm thời gian và công sức trong việc tìm kiếm thông tin. Hãy khám phá thêm nhiều chủ đề hấp dẫn khác trên website của chúng tôi!

Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam

Số điện thoại: +84 2435162967

Trang web: CAUHOI2025.EDU.VN

Đừng ngần ngại liên hệ với CauHoi2025.EDU.VN ngay hôm nay để được tư vấn và hỗ trợ tốt nhất!