**Khi Nào Hàm Số Liên Tục Trên R? Điều Kiện Và Bài Tập**

Bạn đang thắc mắc Khi Nào Hàm Số Liên Tục Trên R? Bài viết này của CAUHOI2025.EDU.VN sẽ cung cấp định nghĩa, điều kiện cần và đủ, các định lý liên quan, cùng các dạng bài tập điển hình và phương pháp giải chi tiết, giúp bạn nắm vững kiến thức về hàm số liên tục trên tập số thực R. Khám phá ngay để chinh phục dạng toán này!

1. Hàm Số Liên Tục Là Gì?

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Định nghĩa tổng quát:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập K, và x₀ ∈ K. Khi đó, y = f(x) liên tục tại x₀ khi và chỉ khi:

lim (x→x₀) f(x) = f(x₀)

Đồ thị hàm số liên tục minh họa tính chất không bị đứt quãng.

2. Hàm Số Liên Tục Tại Một Điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và x₀ ∈ (a; b). Hàm số y được gọi là liên tục tại điểm x₀ khi:

lim (x→x₀) f(x) = f(x₀)

Ngược lại, nếu hàm số f(x₀) không liên tục tại x₀, thì x₀ được gọi là điểm gián đoạn của f(x).

Tính chất nâng cao:

Nếu hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cùng liên tục tại điểm x₀, thì:

• y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), và y = f(x) g(x) liên tục tại x₀*.
• y = f(x) / g(x) là hàm số liên tục tại x₀ khi g(x₀) ≠ 0.

3. Hàm Số Liên Tục Trên Một Khoảng

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên một khoảng (a; b), thì f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a; b). Đồ thị hàm số liên tục trên khoảng (a; b) được biểu diễn bằng một đường liền nét, không bị đứt gãy.

Các hàm số căn thức, phân thức, và lượng giác đều liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Nếu đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và thỏa mãn:

lim (x→a⁺) f(x) = f(a) và lim (x→b⁻) f(x) = f(b)

Thì y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].

4. Khi Nào Hàm Số Liên Tục Trên R?

Hàm số liên tục trên R là trường hợp đặc biệt của hàm số liên tục trên một khoảng.

Một số hàm đa thức liên tục trên tập R mà không cần chứng minh, bao gồm:

• Hàm lượng giác: y = sin(x), y = cos(x).
• Hàm đa thức.
• Hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là R.
• Hàm mũ.

5. Các Định Lý Cơ Bản Về Hàm Số Liên Tục

Để giải các bài tập liên quan đến hàm số liên tục, bạn cần nắm vững 3 định lý cơ bản sau:

Định lý 1:

• Hàm số đa thức liên tục trên tập R.
• Hàm số thương của hai đa thức (phân thức hữu tỉ) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.

Định lý 2:

Cho y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại x₀. Khi đó:

• y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), và y = f(x) g(x) liên tục tại điểm x₀*.
• y = f(x) / g(x) là hàm số liên tục tại x₀ khi g(x₀) ≠ 0.

Định lý 3:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và thỏa mãn f(a) f(b) < 0. Khi đó, tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0*.

Định lý này thường được dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng nhất định.

Một dạng khác của định lý 3:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b) < 0. Khi đó, với mọi số y₀ nằm giữa f(a) và f(b), luôn tồn tại ít nhất một số x₀ ∈ (a; b) sao cho f(x₀) = y₀*.

6. Các Dạng Bài Tập Về Hàm Số Liên Tục Và Ví Dụ Cụ Thể

6.1. Dạng 1: Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số Tại Một Điểm

Đây là dạng bài thường gặp. Để xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tính giá trị f(x₀).

Bước 2: Tính giá trị lim (x→x₀) f(x) hoặc lim (x→x₀⁺) f(x), lim (x→x₀⁻) f(x).

Bước 3: So sánh hai giá trị lim (x→x₀) f(x) hoặc lim (x→x₀⁺) f(x), lim (x→x₀⁻) f(x) với f(x₀) đã tính ở bước 1, rồi kết luận.

• Nếu lim (x→x₀) f(x) = f(x₀) hoặc lim (x→x₀⁺) f(x) = lim (x→x₀⁻) f(x) = f(x₀), thì hàm số f(x) liên tục tại điểm x₀.
• Nếu lim (x→x₀) f(x) không tồn tại hoặc lim (x→x₀) f(x) ≠ f(x₀), thì hàm số f(x) không liên tục tại điểm x₀.

Bước 4: Kết luận theo yêu cầu đề bài.

Ví dụ 1: Xét tính liên tục tại x = 1 của hàm số sau:

f(x) = { (2 – 7x + 5x²) / (x² – 3x + 2) khi x ≠ 1; -3 khi x = 1 }

Giải:

Hàm số xác định trên R {2} và f(1) = -3.

Tính giới hạn hàm số tại x = 1:

lim (x→1) f(x) = lim (x→1) (2 – 7x + 5x²) / (x² – 3x + 2) = lim (x→1) ((x – 1)(5x – 2)) / ((x – 1)(x – 2)) = lim (x→1) (5x – 2) / (x – 2) = -3

Ta thấy: lim (x→1) f(x) = f(1) = -3. Vậy, hàm số liên tục tại x₀ = 1.

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 1:

Giải:

Hàm số xác định tại x = 1 và f(1) = 1.

Tính giới hạn trái tại x = 1:

lim (x→1⁻) f(x) = lim (x→1⁻) 1 = 1

Tính giới hạn phải tại x = 1:

lim (x→1⁺) f(x) = lim (x→1⁺) (2 – 7x + 5x²) / (x² – 3x + 2) = lim (x→1⁺) (5x – 2) / (x – 2) = -3

Vì lim (x→1⁺) f(x) ≠ lim (x→1⁻) f(x) nên hàm số gián đoạn tại x = 1.

6.2. Dạng 2: Xét Tính Liên Tục, Chứng Minh Hàm Số Liên Tục Trên Một Khoảng, Đoạn Hoặc Tập Xác Định

Đối với dạng bài này, bạn cần áp dụng phối hợp định lý 1 và 2 để xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định của nó. Nếu hàm số đã cho xác định, bạn tiếp tục xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt của hàm số đó.

Ví dụ 1: Chứng minh hàm số sau liên tục trên khoảng (-7; +∞):

f(x) = { x² – x + 4 khi x ≥ 2; (x – 2) / (√(x + 7) – 3) khi x > -7 }

Giải:

Ví dụ 2: Tìm giá trị a, b sao cho hàm số sau liên tục:

f(x) = { 1, x < 3; ax + b, 3 ≤ x ≤ 5; 3, x > 5 }

Giải:

6.3. Dạng 3: Tìm Điều Kiện Hàm Số Liên Tục Tại 1 Điểm

Đây là dạng toán “tìm m” rất phổ biến trong các đề luyện thi và kiểm tra. Phương pháp giải gồm 4 bước:

Bước 1: Tìm điểm xác định x₀ của hàm số. Tính giá trị f(m) với m = x₀.

Bước 2: Tính giới hạn của hàm số tại x₀.

Bước 3: Hàm số f(x) liên tục tại x₀ khi và chỉ khi lim (x→x₀) f(x) = f(x₀).

Bước 4: Kết luận giá trị của m.

Ví dụ 1: Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục tại x = 1:

Giải:

Hàm số xác định tại x = 1 và f(1) = -3m – 1.

Tính giới hạn hàm số tại x = 1:

lim (x→1) f(x) = lim (x→1) (2 – 7x + 5x²) / (x² – 3x + 2) = lim (x→1) ((x – 1)(5x – 2)) / ((x – 1)(x – 2)) = lim (x→1) (5x – 2) / (x – 2) = -3

Vậy, hàm số f(x) liên tục tại x₀ = 1 khi:

lim (x→1) f(x) = f(1) ⇔ -3 = -3m – 1 ⇔ m = -2/3

Kết luận: m = -2/3.

Ví dụ 2:

Giải:

Ta có lim (x→-2⁻) f(x) = lim (x→-2⁺) f(-2) ⇔ -2a – 1 = -11 ⇔ a = 5

Vậy giá trị a cần tìm là 5.

6.4. Dạng 4: Tìm Điều Kiện Để Hàm Số Liên Tục Trên Một Khoảng, Đoạn Hoặc Tập Xác Định

Đối với các bài toán tìm điều kiện để hàm số liên tục trên một đoạn hoặc một tập xác định bất kỳ, bạn làm tương tự dạng 3. Điểm khác biệt duy nhất là ở dạng 3 ta tìm điểm làm hàm số xác định, còn với dạng này ta tìm khoảng, đoạn hoặc tập làm cho hàm số xác định.

Ví dụ 1: Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục trên tập xác định:

Giải:

Tập xác định của hàm số là R.

Xét trường hợp x ≠ 1, hàm số có dạng f(x) = (2 – 7x + 5x²) / (x – 1). f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên tập xác định là (-∞; 1) ∪ (1; +∞), vì vậy f(x) cũng liên tục trên khoảng (-∞; 1) ∪ (1; +∞).

Xét trường hợp x = 1 thì ta có f(1) = -3m – 1:

lim (x→1) f(x) = lim (x→1) (2 – 7x + 5x²) / (x – 1) = lim (x→1) ((x – 1)(5x – 2)) / (x – 1) = 3

Khi đó, hàm f(x) liên tục tại điểm x₀ = 1 khi và chỉ khi:

lim (x→1) f(x) = f(1) ⇔ -3m – 1 = 3 ⇔ m = -4/3

Kết luận: m = -4/3.

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số sau liên tục trên [0; +∞):

f(x) = { (3 – √(9 – x)) / x, 0 < x < 9; m, x = 0; 1 / (18m), x ≥ 9 }

Giải:

6.5. Dạng 5: Ứng Dụng Tính Liên Tục Của Hàm Số Để Chứng Minh Phương Trình Có Nghiệm

Cùng xét các ví dụ sau để hiểu về cách ứng dụng tính liên tục của hàm số chứng minh phương trình có nghiệm:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình 3x³ + 2x – 2 = 0 có nghiệm trong (0; 1).

Giải:

Hàm số là hàm đa thức, nên f(x) liên tục trên R. Suy ra, f(x) cũng liên tục trên đoạn [0; 1].

Ta có:

f(0) f(1) = (-2) (3) = -6 < 0

Do vậy, có ít nhất 1 số c trong (0; 1) sao cho f(c) = 0. Hay nói cách khác, phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1).

Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình 2x³ – 6x² + 5 = 0 trong khoảng (-1; 3) có 3 nghiệm phân biệt.

Hàm số liên tục trên R, do đó f(x) liên tục trên các đoạn [-1; 0], [0; 2], [2; 3].

Ta thấy: f(-1) = -3, f(0) = 5, f(2) = -3, f(3) = 5. Từ đó:

f(-1) f(0) < 0*

f(0) f(2) < 0*

f(2) f(3) < 0*

Vì vậy, phương trình có nghiệm trong các khoảng (-1; 0), (0; 2) và (2; 3).

Từ đó ta kết luận phương trình có 3 nghiệm phân biệt trong khoảng (-1; 3).

6.6. Dạng 6: Sử Dụng Tính Liên Tục Để Xét Dấu Hàm Số

Khi xét dấu hàm số có áp dụng tính liên tục, bạn cần sử dụng kết quả: “Nếu hàm số y = f(x) là hàm liên tục và không triệt tiêu trên [a; b] thì khi đó có dấu nhất định trên (a; b)“.

Ví dụ: Xét dấu của hàm số sau: f(x) = √(x + 4) – √(1 – x) – √(1 – 2x)

Giải:

7. Bài Tập Về Hàm Số Liên Tục Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao Và Phương Pháp Giải

Để thành thạo các dạng bài tập hàm số liên tục, bạn cùng CAUHOI2025.EDU.VN giải các bài tập luyện tập sau:

Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 0:

Giải:

Hàm số xác định tại x = 0 và f(0) = 2.

Xét giới hạn trái tại x = 0:

lim (x→0⁻) f(x) = lim (x→0⁻) (2x + 1/4) = 1/4

Xét giới hạn phải tại x = 0:

lim (x→0⁺) f(x) = lim (x→0⁺) (√(x + 4) – 2) / x = lim (x→0⁺) (√(x + 4) – 2) / ((√(x + 4))² – 4) = lim (x→0⁺) 1 / (√(x + 4) + 2) = 1/4

Xét thấy, lim (x→0⁺) f(x) = lim (x→0⁻) f(x) nhưng khác f(0). Do đó, hàm số không liên tục tại x = 0.

Bài 2: Xét tính liên tục trên R của hàm số sau:

Giải:

• Trường hợp x < 0: f(x) = 2x – 1 là hàm số liên tục.
• Trường hợp x > 0: f(x) = √x là hàm số liên tục.

Từ đó suy ra, ta chỉ xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 là có thể kết luận tính liên tục của hàm số.

lim (x→0⁺) f(x) = lim (x→0⁺) √x = 0

lim (x→0⁻) f(x) = lim (x→0⁻) (2x – 1) = -1

Xét thấy lim (x→0⁺) f(x) = f(0) ≠ lim (x→0⁻) f(x). Do đó, hàm số gián đoạn tại x = 0.

Kết luận: Hàm số không liên tục trên tập xác định.

Bài 3: Chứng minh phương trình ax² + bx + c = 0 luôn tồn tại nghiệm trong [0; 1/3] với mọi a ≠ 0 và thỏa mãn điều kiện 2a + 6b + 19c = 0.

Giải:

Bài 4: Tìm giá trị a để hàm số sau liên tục tại x = 2:

Giải:

Bài 5: Hàm số f(x) sau đây liên tục trên R khi nào?

y = f(x) = { 2x + 3 khi x ≥ 1; m + 2 khi x < 1 }

Giải:

Dễ thấy hàm số đã cho liên tục với mọi x khác 1.

Vì vậy để hàm số liên tục trên R thì lim (x→1⁺) f(x) = lim (x→1⁻) f(x) = f(1) ⇔ 5 = m + 2 ⇔ m = 3

Vậy với m = 3 thì hàm số đã cho liên tục trên R.

Bạn gặp khó khăn trong việc tìm kiếm thông tin chính xác và đáng tin cậy về các vấn đề học tập và cuộc sống? Đừng lo, CAUHOI2025.EDU.VN luôn sẵn sàng trợ giúp! Chúng tôi cung cấp câu trả lời rõ ràng, súc tích và được nghiên cứu kỹ lưỡng cho các câu hỏi thuộc nhiều lĩnh vực.

Liên hệ với chúng tôi:

• Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam
• Số điện thoại: +84 2435162967
• Trang web: CAUHOI2025.EDU.VN

Hãy truy cập CauHoi2025.EDU.VN ngay hôm nay để khám phá thêm nhiều câu trả lời hữu ích, đặt câu hỏi mới hoặc sử dụng dịch vụ tư vấn của chúng tôi (nếu có)! Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những giải pháp thiết thực và lời khuyên đáng tin cậy, giúp bạn tự tin đối mặt với mọi thử thách.