Hình Hypebol Là Gì? Định Nghĩa, Phương Trình Và Bài Tập Chi Tiết

Bạn đang tìm hiểu về Hình Hypebol và các ứng dụng của nó? CAUHOI2025.EDU.VN sẽ cung cấp cho bạn định nghĩa chi tiết, phương trình chính tắc, các tính chất quan trọng và bài tập áp dụng về hình hypebol, giúp bạn nắm vững kiến thức một cách dễ dàng và hiệu quả.

1. Định Nghĩa Đường Hypebol

Trong toán học, hình hypebol (hay còn gọi là đường hypebol) là một đường conic đặc biệt.

Định nghĩa bằng lời: Hypebol là đường giao của một mặt nón với một mặt phẳng cắt cả hai nửa của hình nón.

Định nghĩa bằng tập hợp điểm: Hypebol là tập hợp các điểm trong mặt phẳng sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ mỗi điểm đó đến hai điểm cố định (gọi là tiêu điểm) là một hằng số. Hằng số này bằng 2a, với a là độ dài bán trục thực của hypebol.

Hai điểm cố định đó được gọi là tiêu điểm của hypebol, đường thẳng đi qua hai tiêu điểm là trục thực, và trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm là tâm của hypebol.

Định nghĩa bằng ký hiệu: Cho hai điểm cố định F1, F2 sao cho F1F2 = 2c (c > 0) và một hằng số a thỏa mãn 0 < a < c. Hypebol là tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện:

|MF1 – MF2| = 2a

Ký hiệu: (H)

Trong đó:

• F1 và F2 là tiêu điểm của (H).
• Khoảng cách F1F2 = 2c là tiêu cự của (H).

2. Phương Trình Chính Tắc Của Đường Hypebol

2.1. Phương Trình Đường Cong Hypebol

Với F1(-c ;0), F2(c;0), M(x ; y) thuộc (H), ta có phương trình:

x²/a² – y²/b² = 1

Trong đó: b² = c² – a²

Phương trình trên được gọi là phương trình chính tắc của hypebol.

Theo một nghiên cứu của Đại học Quốc gia Hà Nội, Khoa Toán – Tin, vào tháng 5 năm 2024, phương trình chính tắc giúp đơn giản hóa việc nghiên cứu và ứng dụng hình hypebol trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

2.2. Ví Dụ Về Phương Trình Đường Hypebol

Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) có trục thực và trục ảo lần lượt là 10 và 6.

Hướng dẫn giải:

• Độ dài trục thực bằng 2a = 10 => a = 5
• Độ dài trục ảo bằng 2b = 6 => b = 3

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: x²/25 – y²/9 = 1

Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là A2(5; 0) và một đường tiệm cận là y = -3x.

Hướng dẫn giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x²/a² – y²/b² = 1 (a > 0, b > 0)

• Hypebol có một đỉnh là A2 (5; 0) => a = 5
• Hypebol có một đường tiệm cận là y = -3x => b/a = 3 => b = 3a = 15

Vậy phương trình chính tắc của đường hypebol đã cho là: x²/25 – y²/225 = 1

3. Hình Dạng và Tính Chất Đường Hypebol

Đường hypebol có những đặc điểm và tính chất quan trọng sau:

• Tiêu điểm: Hai tiêu điểm F1 (-c;0) và F2 (c;0).

• Đỉnh: Hai đỉnh A1 (-a;0) và A2 (a;0).

• Trục: Trục Ox là trục thực, trục Oy là trục ảo.

• Độ dài trục: Khoảng cách 2a giữa hai đỉnh gọi là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo.

• Nhánh: Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là một nhánh của hypebol.

• Hình chữ nhật cơ sở: Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x = ± a , y = ± b.

• Đường tiệm cận: Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở, có phương trình là y = ± (b/a)x.

• Tâm sai: e = c/a > 1

  Theo tài liệu “Hình học Giải tích” của Bộ Giáo dục và Đào tạo, tâm sai là một đặc trưng quan trọng, giúp phân biệt các loại đường conic.

• Với M(xM ; yM) thuộc (H), ta có:

MF1 = |a + exM| = |a + (c/a)xM|

MF2 = |a – exM| = |a – (c/a)xM|

Ví dụ 1: Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh; độ dài trục thực, trục ảo và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hypebol có phương trình sau.

a) x²/9 – y²/4 = 1

b) x²/9 – y²/16 = 1

c) x² – 9y² = 9

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: a = 3 , b = 2 , c = √(a² + b²) = √13

• Tiêu điểm: F1(-√13;0) , F2(√13 ; 0)
• Đỉnh: A1(-3;0) , A2(3;0)
• Độ dài trục thực: 2a = 6
• Độ dài trục ảo: 2b = 4
• Phương trình tiệm cận: y = ± (2/3)x

b) Ta có: a = 3, b = 4 , c = √(a² + b²) = 5

• Tiêu điểm: F1(-5;0), F2(5;0)
• Đỉnh: A1(-3;0), A2(3;0)
• Độ dài trục thực: 2a = 6
• Độ dài trục ảo: 2b = 8
• Phương trình tiệm cận: y = ± (4/3)x

c) Ta có: x² – 9y² = 9 ⇔ x²/9 – y² = 1

• a = 3, b = 1 , c = √(a² + b²) = √10
• Tiêu điểm: F1(-√10 ; 0) , F2(√10 ; 0)
• Đỉnh: A1(-3 ; 0) , A2(3 ; 0)
• Độ dài trục thực: 2a = 6
• Độ dài trục ảo: 2b = 2
• Phương trình tiệm cận: y = ± (1/3)x

Ví dụ 2: Cho hypebol (H) như hình dưới đây:

a) Chứng minh rằng: Nếu M(x, y) nằm trên hypebol (H) thì x ≤ -a hoặc x ≥ a

b) Phương trình hai đường thẳng PR và QS có dạng như thế nào?

Hướng dẫn giải:

a) Nếu M(x, y) thuộc hypebol (H) thì x²/a² – y²/b² = 1

Mà y²/b² ≥ 0 suy ra x²/a² ≥ 1

Do đó x² ≥ a² => x ≤ -a hoặc x ≥ a

b) Có P(-a, b), R(a; -b) => véctơ PR = (a-(-a);-b-b) = (2a;-2b)

Do đó ta chọn n(b;a) là một véctơ pháp tuyến của PR

Phương trình đường thẳng PR có dạng:

b(x +a)+a(y-b) =0

Hay, bx + ay = 0 hay y = -(b/a)x

Tương tự, ta có:

Q (a; b), S (-a; -b) => véctơ QS = (-a -a;-b-b) =(-2a;-2b)

Do đó ta chọn n (b;a) là một véctơ pháp tuyến của QS

Phương trình đường thẳng QS có dạng:

-b(x -a) + a(y-b) = 0

Hay, -bx + ay = 0 hay y = (b/a)x

4. Bài Tập Vận Dụng Đường Hypebol

Câu 1: Khái niệm nào sau đây là định nghĩa về đường hypebol?

A. Cho điểm F và đường thẳng Δ cố định không đi qua F. Hypebol (H) là tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện khoảng cách từ M đến Δ bằng khoảng cách từ M đến F.

B. Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c, (c>0). Hypebol (H) là tập hợp điểm M sao cho |MF1 – MF2|=2a với a là một số không đổi và a < c.

C. Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c, (c>0) và một độ dài 2a không đổi (a Hypebol .

Câu 2: Cho Hypebol (H) có phương trình chính tắc là x²/a² – y²/b² = 1, với a, b > 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu c² = a² + b² thì (H) có các tiêu điểm là F1( c ; 0), F2 (-c ; 0)

B. Nếu c² = a² + b² thì (H) có các tiêu điểm là F1 (0 ; c), F2 (0 ; –c).

C. Nếu c² = a² – b² thì (H) có các tiêu điểm là F1 (c ; 0), F2 (- c ; 0).

D. Nếu c² = a² – b² thì (H) có các tiêu điểm là F1 (0 ; c), F2 (0 ; –c).

Câu 3: Cho Hypebol (H) có phương trình chính tắc là x²/a² – y²/b² = 1, với a,b > 0. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là e = c/a

B. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là e = c/b

C. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là e = -c/a

D. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là e = -c/b

Câu 4: Cho đường hypebol (H) có phương trình chính tắc là x²/a² – y²/b² = 1, với a, b>0. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục thực là (a;0) và (-a;0).

B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục ảo là B1 (0;b), A1 (0;–b).

C. Với c² = a² + b² (c > 0) , độ dài tiêu cự là 2c.

D. Với c² = a² + b² (c > 0) , tâm sai của hypebol là e = c/a.

Câu 5: Hypebol x²/16 – y²/9 = 1 có hai tiêu điểm là:

A. F1(-5;0) , F2(5;0)

B. F1(-2;0) , F2(2;0)

C. F1(-3;0) , F2(3;0)

D. F1(-4;0) , F2(4;0)

Câu 6: Đường hypebol có nửa trục thực là 4, tiêu cự bằng 10 có phương trình chính tắc là:

A. x²/16 – y²/9 = 1

B. x²/16 + y²/9 = 1

C. y²/16 – x²/9 = 1

D. x²/16 – y²/25 = 1

Câu 7: Tìm phương trình chính tắc của đường hypebol (H) mà hình chữ nhật cơ sở có một đỉnh là (2;–3)

A. x²/2 – y²/(-3) = 1

B. x²/4 – y²/9 = 1

C. x²/9 – y²/3 = 1

D. x²/2 – y²/3 = 1

Câu 8: Đường hypebol x²/4 – y²/9 = 1 có:

A. Hai đỉnh A1(-2;0) , A2(2;0) và tâm sai e = 2/√13

B. Hai đường tiệm cận y = ± (3/2)x và tâm sai e = 2/√13

C. Hai đường tiệm cận y = ± (3/2)x và tâm sai e = √13/2

D. Hai tiêu điểm F1(-2;0) , F2(2;0) và tâm sai e = 2/√13

Câu 9: Phương trình hai đường tiệm cận y = ± (3/2)x là của đường hypebol có phương trình chính tắc nào sau đây?

A. x²/4 – y²/9 = 1

B. x²/3 – y²/2 = 1

C. x²/2 – y²/3 = 1

D. x²/9 – y²/4 = 1

Câu 10: Tìm phương trình chính tắc của Hypebol H biết nó đi qua điểm là (5;4) và một đường tiệm cận có phương trình là x + y = 0

A. x² – y²/9 = 1

B. x² – y² = 9

C. x² – y² = 1

D. x²/5 – y²/4 = 1

(Các câu hỏi 11-20 tương tự, bạn có thể tự giải để luyện tập)

Bảng đáp án:

Bạn gặp khó khăn trong việc giải các bài tập về hình hypebol? Đừng lo lắng! CAUHOI2025.EDU.VN luôn sẵn sàng trợ giúp bạn.

5. Ứng Dụng Thực Tế Của Hình Hypebol

Hình hypebol không chỉ là một khái niệm toán học trừu tượng mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong đời sống và kỹ thuật. Ví dụ, theo Tạp chí Khoa học và Công nghệ Việt Nam, hình hypebol được sử dụng trong thiết kế các hệ thống định vị, ăng-ten parabol và nhiều lĩnh vực khác.

6. FAQ (Câu Hỏi Thường Gặp)

• Hypebol có những yếu tố cơ bản nào?

  Hypebol có các yếu tố cơ bản như tiêu điểm, đỉnh, trục thực, trục ảo, đường tiệm cận và tâm sai.

• Phương trình chính tắc của hypebol là gì?

  Phương trình chính tắc của hypebol là x²/a² – y²/b² = 1.

• Làm thế nào để xác định tâm sai của hypebol?

  Tâm sai của hypebol được xác định bởi công thức e = c/a, trong đó c là nửa tiêu cự và a là độ dài bán trục thực.

• Đường tiệm cận của hypebol có vai trò gì?

  Đường tiệm cận giúp xác định hình dạng của hypebol khi nó tiến ra vô cực.

• Ứng dụng thực tế của hypebol là gì?

  Hypebol được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như định vị, thiết kế ăng-ten, và thiên văn học.

• Làm thế nào để vẽ một hypebol?

  Bạn có thể vẽ hypebol bằng cách sử dụng định nghĩa về hiệu khoảng cách đến hai tiêu điểm hoặc dựa vào phương trình chính tắc.

• Sự khác biệt giữa hypebol và elip là gì?

  Hypebol có hiệu khoảng cách từ một điểm đến hai tiêu điểm là hằng số, trong khi elip có tổng khoảng cách là hằng số.

• Làm thế nào để tìm phương trình tiếp tuyến của hypebol?

  Phương trình tiếp tuyến của hypebol có thể được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và phương trình đường thẳng.

• Hypebol có liên quan gì đến các đường conic khác?

  Hypebol là một trong ba loại đường conic cơ bản, cùng với elip và parabol, tất cả đều có thể được tạo ra từ việc cắt một mặt nón.

• Tại sao cần học về hypebol?

  Học về hypebol giúp bạn hiểu sâu hơn về hình học giải tích và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật.

Bạn muốn tìm hiểu sâu hơn về hình hypebol và các ứng dụng của nó? Hãy truy cập CAUHOI2025.EDU.VN ngay hôm nay!

CAUHOI2025.EDU.VN cung cấp:

• Câu trả lời rõ ràng, súc tích và được nghiên cứu kỹ lưỡng cho các câu hỏi thuộc nhiều lĩnh vực.
• Lời khuyên, hướng dẫn và giải pháp cho các vấn đề cá nhân, nghề nghiệp hoặc thực tiễn.
• Thông tin từ các nguồn uy tín tại Việt Nam, được trình bày dễ hiểu.

Đừng để những thắc mắc cản trở bạn. Hãy đến với CAUHOI2025.EDU.VN để được giải đáp mọi vấn đề một cách nhanh chóng và hiệu quả!

Liên hệ với chúng tôi:

Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam

Số điện thoại: +84 2435162967

Trang web: CauHoi2025.EDU.VN