Hàm Số Nào Dưới Đây Đồng Biến Trên Tập Xác Định Của Nó?

Bạn đang gặp khó khăn trong việc xác định hàm số đồng biến? CAUHOI2025.EDU.VN sẽ giúp bạn giải đáp thắc mắc “Hàm Số Nào Dưới đây đồng Biến Trên Tập Xác định Của Nó?” một cách chi tiết và dễ hiểu nhất. Bài viết này cung cấp kiến thức nền tảng, phương pháp nhận biết và các ví dụ minh họa cụ thể, giúp bạn nắm vững dạng toán này. Bên cạnh đó, chúng tôi còn chia sẻ các bài tập trắc nghiệm có đáp án để bạn luyện tập và nâng cao kỹ năng.

1. Hàm Số Đồng Biến Là Gì? Điều Kiện Để Hàm Số Đồng Biến

Hàm số đồng biến (hay còn gọi là hàm số tăng) là hàm số mà giá trị của nó tăng lên khi biến số tăng lên. Để hiểu rõ hơn, chúng ta cùng xem xét định nghĩa và điều kiện để một hàm số được gọi là đồng biến.

1.1. Định Nghĩa Hàm Số Đồng Biến

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng (a; b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a; b) mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).

Nói một cách đơn giản, khi giá trị của x tăng lên, giá trị tương ứng của y cũng tăng lên.

1.2. Điều Kiện Cần và Đủ Để Hàm Số Đồng Biến

Để xét tính đồng biến của hàm số, chúng ta thường sử dụng đạo hàm.

• Điều kiện đủ: Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b).
• Điều kiện cần và đủ: Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc (a; b) và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b).

Như vậy, để xét tính đồng biến của một hàm số, ta cần tính đạo hàm của nó và xét dấu của đạo hàm.

2. Các Bước Xét Tính Đồng Biến Của Hàm Số

Để xét tính đồng biến của một hàm số bất kỳ, bạn có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số.

Bước 3: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các nghiệm và các điểm mà tại đó f'(x) không xác định.

Bước 4: Lập bảng biến thiên. Trên bảng biến thiên, điền các nghiệm của f'(x) = 0 và các điểm mà f'(x) không xác định, sau đó xét dấu của f'(x) trên các khoảng giữa các điểm này.

Bước 5: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận về tính đồng biến của hàm số. Nếu f'(x) > 0 trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.

3. Xét Tính Đồng Biến Của Hàm Số Logarit

Hàm số logarit là một trong những hàm số quan trọng và thường gặp trong chương trình toán học phổ thông. Việc xét tính đồng biến của hàm số logarit có một số đặc điểm riêng biệt.

3.1. Dạng Tổng Quát Của Hàm Số Logarit

Hàm số logarit có dạng y = log_a(x), trong đó a là cơ số (a > 0, a ≠ 1) và x > 0.

3.2. Điều Kiện Để Hàm Số Logarit Đồng Biến

Tính đồng biến của hàm số logarit phụ thuộc vào giá trị của cơ số a:

• Nếu a > 1: Hàm số y = log_a(x) đồng biến trên khoảng (0; +∞).
• Nếu 0 < a < 1: Hàm số y = log_a(x) nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

Như vậy, để hàm số logarit đồng biến trên tập xác định của nó, cơ số a phải lớn hơn 1.

3.3. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?

A. y = log_1/2(x)

B. y = log_0.5(x)

C. y = log₂(x)

D. y = log_π(1/x)

Giải:

• Hàm số y = log_1/2(x) có cơ số 1/2 < 1 nên nghịch biến.
• Hàm số y = log_0.5(x) có cơ số 0.5 < 1 nên nghịch biến.
• Hàm số y = log₂(x) có cơ số 2 > 1 nên đồng biến.
• Hàm số y = log_π(1/x) = -log_π(x) có cơ số π > 1 nhưng có dấu trừ phía trước nên nghịch biến.

Vậy đáp án đúng là C.

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = log_(m+1)(x) đồng biến trên (0; +∞).

Giải:

Để hàm số y = log_(m+1)(x) đồng biến trên (0; +∞), ta cần có:

m + 1 > 1 => m > 0

Và m + 1 ≠ 1 => m ≠ 0

Kết hợp lại, ta có m > 0.

4. Bài Tập Trắc Nghiệm Về Tính Đồng Biến Của Hàm Số Logarit

Để giúp bạn nắm vững hơn kiến thức về tính đồng biến của hàm số logarit, CAUHOI2025.EDU.VN xin giới thiệu một số bài tập trắc nghiệm có đáp án:

Câu 1: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?

A. y = log_1/3(x)

B. y = log_0.2(x)

C. y = log₃(x)

D. y = log_e(1/x)

Đáp án: C

Câu 2: Hàm số y = log_a(x) đồng biến trên (0; +∞) khi:

A. a < 0

B. a = 1

C. 0 < a < 1

D. a > 1

Đáp án: D

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = log_(2m-1)(x) đồng biến trên (0; +∞).

A. m > 1/2

B. m ≥ 1/2

C. m > 1

D. m ≥ 1

Đáp án: C

Câu 4: Cho hàm số y = log₅(x² + 1). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên R.

B. Hàm số nghịch biến trên R.

C. Hàm số đồng biến trên (0; +∞) và nghịch biến trên (-∞; 0).

D. Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) và đồng biến trên (-∞; 0).

Đáp án: C

Câu 5: Với điều kiện nào của a thì hàm số y = log_{(a² – a + 1)}(x) đồng biến trên (0; +∞)?

A. a ∈ (0; 1)

B. a ∈ (-∞; 0) ∪ (1; +∞)

C. a ≠ 0; a ≠ 1

D. a ∈ R

Đáp án: B

Alt: Đồ thị hàm số logarit với cơ số lớn hơn 1 (a>1) thể hiện tính đồng biến.

5. Ứng Dụng Của Hàm Số Đồng Biến

Hàm số đồng biến có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác. Dưới đây là một số ứng dụng tiêu biểu:

5.1. Giải Bất Phương Trình

Tính đồng biến của hàm số được sử dụng để giải các bất phương trình. Nếu f(x) là hàm số đồng biến, ta có:

• f(x1) > f(x2) <=> x1 > x2
• f(x1) < f(x2) <=> x1 < x2

Điều này giúp đơn giản hóa việc giải bất phương trình bằng cách loại bỏ hàm f(x) và chỉ cần so sánh các biến số.

5.2. Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất

Trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, tính đồng biến giúp xác định được điểm cực trị. Nếu hàm số đồng biến trên một khoảng, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sẽ nằm ở hai đầu mút của khoảng đó.

5.3. Ứng Dụng Trong Kinh Tế

Trong kinh tế, hàm số đồng biến được sử dụng để mô hình hóa các mối quan hệ tăng trưởng, chẳng hạn như mối quan hệ giữa đầu tư và lợi nhuận, giữa chi phí quảng cáo và doanh thu.

Theo một nghiên cứu của Viện Nghiên cứu Kinh tế Việt Nam năm 2023, việc áp dụng các mô hình hàm số đồng biến giúp các doanh nghiệp dự báo chính xác hơn về hiệu quả đầu tư và đưa ra các quyết định kinh doanh hiệu quả.

5.4. Ứng Dụng Trong Khoa Học Kỹ Thuật

Trong khoa học kỹ thuật, hàm số đồng biến được sử dụng để mô tả các quá trình tăng trưởng, chẳng hạn như sự tăng trưởng của dân số, sự phát triển của vi khuẩn, hay sự lan truyền của thông tin.

6. Những Lưu Ý Khi Xét Tính Đồng Biến Của Hàm Số

Khi xét tính đồng biến của hàm số, bạn cần lưu ý một số điểm sau:

• Tập xác định: Luôn xác định tập xác định của hàm số trước khi tính đạo hàm. Điều này giúp tránh các sai sót trong quá trình xét dấu đạo hàm.
• Đạo hàm: Tính đạo hàm một cách chính xác. Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm một cách thành thạo.
• Bảng biến thiên: Lập bảng biến thiên một cách cẩn thận. Điền đầy đủ các nghiệm của đạo hàm và các điểm mà đạo hàm không xác định.
• Kết luận: Đưa ra kết luận chính xác dựa trên bảng biến thiên. Chú ý đến các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

7. Các Dạng Bài Tập Nâng Cao Về Hàm Số Đồng Biến

Ngoài các bài tập cơ bản, bạn có thể gặp các dạng bài tập nâng cao về hàm số đồng biến, đòi hỏi kiến thức sâu rộng và kỹ năng giải toán tốt. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:

7.1. Bài Tập Chứa Tham Số

Dạng bài tập này yêu cầu tìm giá trị của tham số để hàm số thỏa mãn một điều kiện nào đó về tính đồng biến, chẳng hạn như đồng biến trên một khoảng cho trước hoặc đồng biến trên tập xác định.

Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (m² + 1)x³ + 3x² + mx + 1 đồng biến trên R.

7.2. Bài Tập Kết Hợp Nhiều Hàm Số

Dạng bài tập này yêu cầu xét tính đồng biến của một hàm số được tạo thành từ nhiều hàm số khác nhau, chẳng hạn như hàm số hợp, hàm số tích, hàm số thương.

Ví dụ: Xét tính đồng biến của hàm số y = e^x.ln(x) trên (0; +∞).

7.3. Bài Tập Ứng Dụng Thực Tế

Dạng bài tập này yêu cầu sử dụng kiến thức về hàm số đồng biến để giải quyết các bài toán thực tế, chẳng hạn như bài toán về tối ưu hóa lợi nhuận, bài toán về tăng trưởng dân số.

Ví dụ: Một công ty sản xuất hàng hóa có hàm chi phí C(x) = 0.1x² + 10x + 100 (đơn vị tiền tệ) và hàm doanh thu R(x) = 50x (đơn vị tiền tệ), trong đó x là số lượng hàng hóa sản xuất. Tìm số lượng hàng hóa cần sản xuất để công ty đạt lợi nhuận tối đa.

8. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)

Dưới đây là một số câu hỏi thường gặp liên quan đến tính đồng biến của hàm số:

Câu 1: Làm thế nào để nhận biết nhanh một hàm số có đồng biến hay không?

Để nhận biết nhanh một hàm số có đồng biến hay không, bạn có thể xem xét đạo hàm của hàm số đó. Nếu đạo hàm luôn dương trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Câu 2: Hàm số bậc nhất có luôn đồng biến không?

Hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0.

Câu 3: Hàm số y = x² có đồng biến trên R không?

Không, hàm số y = x² không đồng biến trên R. Nó nghịch biến trên (-∞; 0) và đồng biến trên (0; +∞).

Câu 4: Tại sao cần xét tập xác định trước khi xét tính đồng biến của hàm số?

Việc xét tập xác định trước giúp đảm bảo rằng các phép toán và biến đổi trong quá trình tính đạo hàm và xét dấu là hợp lệ.

Câu 5: Làm thế nào để giải các bài tập chứa tham số về tính đồng biến của hàm số?

Để giải các bài tập chứa tham số về tính đồng biến của hàm số, bạn cần sử dụng các điều kiện về đạo hàm và giải các bất phương trình hoặc hệ bất phương trình để tìm giá trị của tham số.

CAUHOI2025.EDU.VN hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về tính đồng biến của hàm số. Nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại liên hệ với chúng tôi để được giải đáp.

Bạn đang gặp khó khăn với các bài toán hàm số? Hãy truy cập CAUHOI2025.EDU.VN ngay hôm nay để khám phá kho tài liệu phong phú, các bài giảng chi tiết và dịch vụ tư vấn tận tình. Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập hiệu quả và thú vị nhất. Đừng bỏ lỡ cơ hội nâng cao kiến thức và kỹ năng của mình!

Thông tin liên hệ:

Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam

Số điện thoại: +84 2435162967

Trang web: CauHoi2025.EDU.VN