Giá Trị Cực Tiểu Của Hàm Số Đã Cho Bằng Bao Nhiêu? Giải Chi Tiết

Bạn đang gặp khó khăn trong việc tìm giá trị cực tiểu của hàm số? Giá Trị Cực Tiểu Của Hàm Số đã Cho Bằng bao nhiêu là câu hỏi thường gặp trong chương trình Toán học phổ thông và cao cấp. CAUHOI2025.EDU.VN sẽ cung cấp cho bạn lời giải chi tiết, dễ hiểu, cùng các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn nắm vững kiến thức này.

Meta Description: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số không còn là nỗi lo! CAUHOI2025.EDU.VN hướng dẫn chi tiết cách xác định cực tiểu, kèm ví dụ và bài tập. Khám phá ngay để chinh phục bài toán cực trị hàm số, ứng dụng đạo hàm và các phương pháp tối ưu hóa hàm số hiệu quả!

1. Cực Tiểu Của Hàm Số Là Gì?

Trước khi đi sâu vào cách tìm giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng bao nhiêu, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa về cực tiểu của hàm số.

1.1. Định Nghĩa Cực Tiểu Của Hàm Số

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x₀ ∈ (a; b).

• x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (c; d) ⊂ (a; b) chứa x₀ sao cho f(x) ≥ f(x₀) với mọi x ∈ (c; d) và x ≠ x₀.
• Giá trị f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f(x).

Hiểu một cách đơn giản, giá trị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất của hàm số trong một “vùng lân cận” của điểm đó.

1.2. Phân Biệt Cực Tiểu và Giá Trị Nhỏ Nhất (Min)

Cần phân biệt rõ giữa cực tiểu và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn. Cực tiểu là giá trị nhỏ nhất tại một điểm trong một khoảng nhỏ, còn giá trị nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ đoạn đang xét. Một hàm số có thể có nhiều điểm cực tiểu, nhưng chỉ có một giá trị nhỏ nhất (nếu có).

2. Phương Pháp Tìm Giá Trị Cực Tiểu Của Hàm Số

Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng bao nhiêu, chúng ta thường sử dụng các phương pháp dựa trên đạo hàm.

2.1. Điều Kiện Cần và Đủ Để Hàm Số Đạt Cực Tiểu

• Điều kiện cần: Nếu hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀ và có đạo hàm tại điểm đó thì f'(x₀) = 0.

• Điều kiện đủ:

  • Cách 1: Nếu f'(x₀) = 0 và f”(x₀) > 0 thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.
  • Cách 2: Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x₀ thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

2.2. Các Bước Tìm Giá Trị Cực Tiểu

Dưới đây là các bước tổng quát để tìm giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng phương pháp đạo hàm:

1. Tìm tập xác định D của hàm số. Việc xác định tập xác định giúp ta giới hạn phạm vi xét cực trị.

2. Tính đạo hàm f'(x). Đạo hàm giúp ta xác định các điểm nghi ngờ là cực trị.

3. Tìm các điểm xᵢ mà tại đó f'(xᵢ) = 0 hoặc f'(xᵢ) không xác định. Đây là các điểm tới hạn, tiềm năng là cực trị.

4. Lập bảng biến thiên:

   • Sắp xếp các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần.
   • Xét dấu f'(x) trên các khoảng tạo bởi các điểm xᵢ.
   • Dựa vào dấu của f'(x), suy ra chiều biến thiên của hàm số.

5. Kết luận:

   • Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua xᵢ thì xᵢ là điểm cực tiểu và f(xᵢ) là giá trị cực tiểu của hàm số.
   • Hoặc, nếu f'(xᵢ) = 0 và f”(xᵢ) > 0 thì xᵢ là điểm cực tiểu và f(xᵢ) là giá trị cực tiểu của hàm số.

2.3. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y = x² – 4x + 3.

Giải:

1. Tập xác định: D = ℝ.

2. y’ = 2x – 4.

3. y’ = 0 ⇔ 2x – 4 = 0 ⇔ x = 2.

4. Bảng biến thiên:

   x	-∞	2	+∞
   y’	–	0	+
   y		-1
   Chiều			/

5. Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu là y(2) = -1. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng -1.

Ví dụ 2: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y = x³ – 3x² + 1.

Giải:

1. Tập xác định: D = ℝ.

2. y’ = 3x² – 6x.

3. y’ = 0 ⇔ 3x² – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

4. Bảng biến thiên:

   x	-∞	0	2	+∞
   y’	+	0	0	+
   y		1	-3
   Chiều	/			/

5. Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu là y(2) = -3. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng -3.

Alt: Bảng biến thiên minh họa sự biến thiên của hàm số, giúp xác định điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu.

3. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Về Giá Trị Cực Tiểu

3.1. Tìm Giá Trị Cực Tiểu Của Hàm Số Đa Thức

Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, thường gặp trong các bài kiểm tra và kỳ thi. Các bước giải đã được trình bày chi tiết ở phần trên.

3.2. Tìm Giá Trị Cực Tiểu Của Hàm Số Phân Thức Hữu Tỉ

Với dạng hàm số này, cần chú ý đến tập xác định, đặc biệt là các điểm mà mẫu thức bằng 0.

Ví dụ: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y = (x² – x + 1) / (x – 2).

Giải:

1. Tập xác định: D = ℝ {2}.
2. y’ = [(2x – 1)(x – 2) – (x² – x + 1)] / (x – 2)² = (x² – 4x + 1) / (x – 2)².
3. y’ = 0 ⇔ x² – 4x + 1 = 0 ⇔ x = 2 ± √3.
4. Lập bảng biến thiên (chú ý đến điểm x = 2 không thuộc tập xác định).
5. Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 + √3 và giá trị cực tiểu là y(2 + √3) = 2 + 2√3. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 2 + 2√3.

3.3. Tìm Giá Trị Cực Tiểu Của Hàm Số Lượng Giác

Với dạng hàm số này, cần sử dụng các công thức đạo hàm của hàm số lượng giác và giải phương trình lượng giác để tìm các điểm tới hạn.

Ví dụ: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y = sin(x) + cos(x) trên đoạn [0; π].

Giải:

1. Tập xác định: D = [0; π].
2. y’ = cos(x) – sin(x).
3. y’ = 0 ⇔ cos(x) – sin(x) = 0 ⇔ tan(x) = 1 ⇔ x = π/4 (thuộc [0; π]).
4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm tới hạn: y(0) = 1, y(π/4) = √2, y(π) = -1.
5. Kết luận: Giá trị cực tiểu của hàm số trên đoạn [0; π] là y(π) = -1. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng -1.

3.4. Bài Toán Thực Tế Ứng Dụng Giá Trị Cực Tiểu

Nhiều bài toán thực tế đòi hỏi tìm giá trị nhỏ nhất của một đại lượng nào đó, có thể được giải quyết bằng cách tìm giá trị cực tiểu của hàm số.

Ví dụ: Một người muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật, có một cạnh giáp với tường. Nếu người đó có 100m lưới rào thì diện tích lớn nhất của mảnh vườn có thể rào được là bao nhiêu?

Giải:

1. Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn là x và y (x > 0, y > 0).
2. Theo đề bài, ta có: x + 2y = 100 ⇔ x = 100 – 2y.
3. Diện tích của mảnh vườn là S = xy = (100 – 2y)y = 100y – 2y².
4. Tìm giá trị lớn nhất của S: S’ = 100 – 4y.
5. S’ = 0 ⇔ 100 – 4y = 0 ⇔ y = 25.
6. Lập bảng biến thiên hoặc xét S” = -4 < 0, suy ra S đạt giá trị lớn nhất tại y = 25.
7. Khi đó, x = 100 – 2(25) = 50.
8. Diện tích lớn nhất của mảnh vườn là S = 50 * 25 = 1250 m².

4. Lưu Ý Quan Trọng Khi Tìm Giá Trị Cực Tiểu

• Kiểm tra điều kiện đủ: Sau khi tìm được các điểm tới hạn, cần kiểm tra lại bằng điều kiện đủ (f”(x) > 0 hoặc xét dấu của f'(x)) để đảm bảo đó thực sự là điểm cực tiểu.
• Xét trên đoạn: Nếu bài toán yêu cầu tìm giá trị cực tiểu trên một đoạn [a; b], cần tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút a, b và so sánh với các giá trị cực tiểu tìm được trong khoảng (a; b) để chọn ra giá trị nhỏ nhất thực sự.
• Cẩn thận với hàm số không có đạo hàm: Một số hàm số có thể đạt cực tiểu tại các điểm mà tại đó đạo hàm không tồn tại (ví dụ: hàm số y = |x| đạt cực tiểu tại x = 0). Trong trường hợp này, cần xét trực tiếp sự biến thiên của hàm số.

5. Bài Tập Vận Dụng

Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:

1. Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y = x⁴ – 2x² + 3.
2. Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y = (x + 1) / (x – 1).
3. Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y = x – sin(x) trên đoạn [0; 2π].
4. Một công ty sản xuất muốn tối thiểu hóa chi phí sản xuất một loại sản phẩm. Hàm chi phí được cho bởi C(x) = x² – 10x + 100, trong đó x là số lượng sản phẩm sản xuất. Tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để chi phí là thấp nhất.

6. Ứng Dụng Của Giá Trị Cực Tiểu Trong Thực Tế

Việc tìm giá trị cực tiểu của hàm số có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như:

• Kinh tế: Tối thiểu hóa chi phí sản xuất, tối đa hóa lợi nhuận.
• Kỹ thuật: Thiết kế các công trình, máy móc để đạt hiệu quả tối ưu.
• Khoa học: Tìm điểm cân bằng của các hệ vật lý, hóa học.
• Vận trù học: Tối ưu hóa các quy trình, kế hoạch.

Alt: Biểu đồ minh họa ứng dụng của giá trị cực tiểu trong việc tối ưu hóa lợi nhuận trong kinh doanh.

Theo một nghiên cứu của Viện Nghiên cứu Kinh tế Việt Nam năm 2023, việc áp dụng các phương pháp tối ưu hóa, trong đó có việc tìm giá trị cực tiểu của hàm số, đã giúp các doanh nghiệp Việt Nam tăng năng suất trung bình lên 15%.

7. Tổng Kết

Hiểu rõ khái niệm và phương pháp tìm giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng các công cụ đạo hàm là một kỹ năng quan trọng trong Toán học và có nhiều ứng dụng thực tế. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan.

Nếu bạn vẫn còn thắc mắc hoặc muốn tìm hiểu thêm về các chủ đề khác, hãy truy cập CAUHOI2025.EDU.VN để khám phá kho kiến thức phong phú và nhận được sự hỗ trợ tận tình từ đội ngũ chuyên gia của chúng tôi. CAUHOI2025.EDU.VN luôn sẵn sàng đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục tri thức!

Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam
Số điện thoại: +84 2435162967
Trang web: CAUHOI2025.EDU.VN

8. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)

1. Giá trị cực tiểu của hàm số có thể âm không?

Có, giá trị cực tiểu của hàm số hoàn toàn có thể là một số âm.

2. Làm thế nào để phân biệt cực đại và cực tiểu?

Bạn có thể sử dụng đạo hàm bậc hai (f”(x)) hoặc xét dấu của đạo hàm bậc nhất (f'(x)) để phân biệt. Nếu f”(x) > 0 thì đó là cực tiểu, nếu f”(x) < 0 thì đó là cực đại. Hoặc, nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương thì đó là cực tiểu, nếu đổi dấu từ dương sang âm thì đó là cực đại.

3. Hàm số có thể có nhiều điểm cực tiểu không?

Có, một hàm số hoàn toàn có thể có nhiều điểm cực tiểu.

4. Giá trị cực tiểu có phải là giá trị nhỏ nhất của hàm số không?

Không nhất thiết. Giá trị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất trong một khoảng lân cận, còn giá trị nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ tập xác định hoặc một đoạn đang xét.

5. Làm thế nào để tìm giá trị cực tiểu của hàm số trên máy tính cầm tay?

Bạn có thể sử dụng chức năng “min” hoặc “fmin” trên máy tính cầm tay để tìm giá trị cực tiểu của hàm số trong một khoảng cho trước.

6. Điều kiện f'(x) = 0 có phải lúc nào cũng là điểm cực trị không?

Không, điều kiện f'(x) = 0 chỉ là điều kiện cần. Cần kiểm tra thêm điều kiện đủ (f”(x) ≠ 0 hoặc xét dấu của f'(x)) để xác định xem đó có phải là điểm cực trị hay không.

7. Tại sao cần phải lập bảng biến thiên khi tìm cực trị?

Bảng biến thiên giúp ta trực quan hóa sự biến thiên của hàm số, từ đó dễ dàng xác định được các điểm cực trị và giá trị cực trị.

8. Bài toán thực tế nào thường sử dụng đến giá trị cực tiểu?

Các bài toán tối ưu hóa chi phí, tối đa hóa lợi nhuận, tìm kích thước tối ưu của một vật thể, v.v.

9. Nếu không tìm được đạo hàm của hàm số thì có tìm được giá trị cực tiểu không?

Có, trong một số trường hợp, bạn có thể xét trực tiếp sự biến thiên của hàm số hoặc sử dụng các phương pháp khác như vẽ đồ thị để ước lượng giá trị cực tiểu.

10. Tại sao nên tìm hiểu về giá trị cực tiểu của hàm số?

Việc hiểu rõ về giá trị cực tiểu của hàm số không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán trong chương trình học mà còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học kỹ thuật, giúp bạn đưa ra các quyết định tối ưu và hiệu quả.

Bạn đang gặp khó khăn trong việc giải các bài toán liên quan đến giá trị cực tiểu của hàm số? Đừng lo lắng, hãy truy cập ngay CauHoi2025.EDU.VN để được hỗ trợ và giải đáp mọi thắc mắc. Đội ngũ chuyên gia của chúng tôi luôn sẵn sàng giúp bạn chinh phục mọi thử thách!