**Khi Nào f(x) > 0 Với Mọi x Thuộc R? Giải Thích Chi Tiết**

Bạn đang thắc mắc khi nào hàm số f(x) luôn dương với mọi giá trị x thuộc tập số thực R? Bài viết này của CAUHOI2025.EDU.VN sẽ cung cấp cho bạn câu trả lời chi tiết, dễ hiểu, cùng các ví dụ minh họa và bài tập áp dụng để bạn nắm vững kiến thức này. Khám phá ngay để làm chủ dạng toán quan trọng này!

Giới thiệu: Trong toán học, đặc biệt là khi nghiên cứu về hàm số bậc hai, việc xác định dấu của hàm số trên toàn bộ tập số thực (R) là một vấn đề quan trọng. Bài viết này sẽ tập trung vào trường hợp hàm số $f(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$, điều kiện để điều này xảy ra, và ứng dụng của nó trong giải toán.

1. Điều Kiện Để f(x) > 0 Với Mọi x Thuộc R

Hàm số $f(x)$ luôn dương với mọi $x$ thuộc $R$ khi và chỉ khi đồ thị của hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục hoành. Điều này có nghĩa là hàm số không có nghiệm thực và hệ số $a$ phải dương.

Xét tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ (với $a neq 0$), ta có các điều kiện sau:

• Điều kiện 1: a > 0 (Hệ số $a$ phải dương). Điều này đảm bảo rằng parabol hướng lên trên.
• Điều kiện 2: Δ < 0 (Delta phải nhỏ hơn 0). Điều này đảm bảo rằng phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ không có nghiệm thực, tức là parabol không cắt trục hoành.

1.1. Giải Thích Chi Tiết

• Tại Sao a > 0? Nếu $a < 0$, parabol sẽ hướng xuống dưới, và khi $x$ tiến đến $pm infty$, $f(x)$ sẽ tiến đến $-infty$, do đó không thể luôn dương trên R.

• Tại Sao Δ < 0?

  • Nếu $Delta > 0$, phương trình $f(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$. Khi đó, $f(x)$ sẽ đổi dấu tại $x_1$ và $x_2$, không thỏa mãn điều kiện $f(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$.
  • Nếu $Delta = 0$, phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm kép $x = -frac{b}{2a}$. Khi đó, $f(x) = 0$ tại $x = -frac{b}{2a}$, và $f(x)$ không thỏa mãn điều kiện $f(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$.
  • Khi $Delta < 0$, phương trình $f(x) = 0$ vô nghiệm, parabol không cắt trục hoành. Vì $a > 0$, parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, suy ra $f(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$.

1.2. Công Thức Tính Delta

Delta ($Delta$) của tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ được tính theo công thức:

$Delta = b^2 – 4ac$

1.3. Tóm Tắt Điều Kiện

Để $f(x) = ax^2 + bx + c > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$, cần đồng thời có:

1. $a > 0$
2. $Delta = b^2 – 4ac < 0$

2. Ví Dụ Minh Họa

2.1. Ví Dụ 1

Xét hàm số $f(x) = x^2 + 2x + 5$. Kiểm tra xem $f(x) > 0$ có đúng với mọi $x$ thuộc $R$ không?

• Bước 1: Xác định hệ số

  • $a = 1$
  • $b = 2$
  • $c = 5$

• Bước 2: Kiểm tra điều kiện a > 0

  • $a = 1 > 0$ (thỏa mãn)

• Bước 3: Tính delta

  • $Delta = b^2 – 4ac = 2^2 – 4 cdot 1 cdot 5 = 4 – 20 = -16$

• Bước 4: Kiểm tra điều kiện Δ < 0

  • $Delta = -16 < 0$ (thỏa mãn)

Vì cả hai điều kiện $a > 0$ và $Delta < 0$ đều thỏa mãn, kết luận $f(x) = x^2 + 2x + 5 > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$.

2.2. Ví Dụ 2

Xét hàm số $f(x) = -2x^2 + 3x – 7$. Kiểm tra xem $f(x) > 0$ có đúng với mọi $x$ thuộc $R$ không?

• Bước 1: Xác định hệ số

  • $a = -2$
  • $b = 3$
  • $c = -7$

• Bước 2: Kiểm tra điều kiện a > 0

  • $a = -2 < 0$ (không thỏa mãn)

Vì điều kiện $a > 0$ không thỏa mãn, kết luận $f(x) = -2x^2 + 3x – 7$ không lớn hơn 0 với mọi $x$ thuộc $R$.

2.3. Ví Dụ 3

Tìm các giá trị của $m$ để $f(x) = x^2 – 2mx + 4 > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$.

• Bước 1: Xác định hệ số

  • $a = 1$
  • $b = -2m$
  • $c = 4$

• Bước 2: Kiểm tra điều kiện a > 0

  • $a = 1 > 0$ (thỏa mãn)

• Bước 3: Tính delta

  • $Delta = b^2 – 4ac = (-2m)^2 – 4 cdot 1 cdot 4 = 4m^2 – 16$

• Bước 4: Kiểm tra điều kiện Δ < 0

  • $4m^2 – 16 < 0$
  • $m^2 < 4$
  • $-2 < m < 2$

Vậy, để $f(x) = x^2 – 2mx + 4 > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$, thì $-2 < m < 2$.

3. Ứng Dụng Của Điều Kiện f(x) > 0 Với Mọi x Thuộc R

3.1. Giải Bất Phương Trình Bậc Hai

Điều kiện $f(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$ được sử dụng để giải các bất phương trình bậc hai. Nếu ta biết một tam thức bậc hai luôn dương, ta có thể sử dụng nó để đơn giản hóa hoặc giải các bất phương trình phức tạp hơn.

Ví dụ: Giải bất phương trình $frac{x^2 + 2x + 5}{x^2 + 1} > 0$.

• Ta đã biết $x^2 + 2x + 5 > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$ (từ ví dụ 2.1).
• $x^2 + 1 > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$ (vì $a = 1 > 0$ và $Delta = 0^2 – 4 cdot 1 cdot 1 = -4 < 0$).

Do đó, $frac{x^2 + 2x + 5}{x^2 + 1} > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$.

3.2. Chứng Minh Bất Đẳng Thức

Điều kiện này cũng được sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức. Nếu ta có thể chứng minh một biểu thức luôn dương, ta có thể sử dụng nó để chứng minh các bất đẳng thức khác.

Ví dụ: Chứng minh rằng $x^2 + y^2 geq -2xy$ với mọi số thực $x$ và $y$.

• Ta có $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 geq 0$ với mọi $x$ và $y$.
• Do đó, $x^2 + y^2 geq -2xy$ với mọi $x$ và $y$.

3.3. Tìm Điều Kiện Cho Tham Số

Trong nhiều bài toán, ta cần tìm điều kiện của tham số để một biểu thức luôn dương. Điều kiện $f(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$ là một công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán này.

Ví dụ: Tìm các giá trị của $m$ để $x^2 + 2mx + m + 2 > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$.

• Bước 1: Xác định hệ số

  • $a = 1$
  • $b = 2m$
  • $c = m + 2$

• Bước 2: Kiểm tra điều kiện a > 0

  • $a = 1 > 0$ (thỏa mãn)

• Bước 3: Tính delta

  • $Delta = b^2 – 4ac = (2m)^2 – 4 cdot 1 cdot (m + 2) = 4m^2 – 4m – 8$

• Bước 4: Kiểm tra điều kiện Δ < 0

  • $4m^2 – 4m – 8 < 0$
  • $m^2 – m – 2 < 0$
  • $(m – 2)(m + 1) < 0$
  • $-1 < m < 2$

Vậy, để $x^2 + 2mx + m + 2 > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$, thì $-1 < m < 2$.

4. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp

4.1. Bài Tập Xét Dấu Tam Thức Bậc Hai

Đề bài: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

• $f(x) = 2x^2 – 5x + 2$
• $g(x) = -x^2 + 3x – 4$
• $h(x) = x^2 + 4x + 4$

Hướng dẫn giải:

1. Tính delta ($Delta$) cho mỗi tam thức.
2. Xác định nghiệm (nếu có) của tam thức.
3. Lập bảng xét dấu dựa trên nghiệm và hệ số $a$.

4.2. Bài Tập Tìm Điều Kiện Của Tham Số

Đề bài: Tìm các giá trị của $m$ để các bất phương trình sau đúng với mọi $x$ thuộc $R$:

• $x^2 + (m + 1)x + m + 4 > 0$
• $-x^2 + 2mx – m^2 – 1 < 0$

Hướng dẫn giải:

1. Xác định hệ số $a, b, c$ của tam thức bậc hai.
2. Đặt điều kiện $a > 0$ (nếu cần) và $Delta < 0$.
3. Giải bất phương trình để tìm giá trị của $m$.

4.3. Bài Tập Chứng Minh Bất Đẳng Thức

Đề bài: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

• $x^2 + y^2 + 1 geq xy + x + y$
• $a^2 + b^2 + c^2 geq ab + bc + ca$

Hướng dẫn giải:

1. Biến đổi bất đẳng thức về dạng tam thức bậc hai.
2. Sử dụng điều kiện $f(x) > 0$ để chứng minh bất đẳng thức.

5. Mở Rộng

5.1. Trường Hợp f(x) ≥ 0 Với Mọi x Thuộc R

Để $f(x) = ax^2 + bx + c geq 0$ với mọi $x$ thuộc $R$, cần có:

1. $a > 0$
2. $Delta = b^2 – 4ac leq 0$

5.2. Ứng Dụng Trong Các Bài Toán Thực Tế

Trong thực tế, việc xác định dấu của một hàm số có thể giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến tối ưu hóa, mô hình hóa và dự đoán.

Ví dụ: Trong kinh tế, một hàm lợi nhuận có thể được mô tả bằng một tam thức bậc hai. Việc xác định điều kiện để hàm lợi nhuận luôn dương có thể giúp doanh nghiệp đảm bảo hoạt động kinh doanh có lãi.

6. FAQ – Các Câu Hỏi Thường Gặp

Câu 1: Điều gì xảy ra nếu a = 0?

Nếu $a = 0$, $f(x)$ trở thành hàm số bậc nhất $f(x) = bx + c$. Khi đó, $f(x)$ không thể luôn dương trên $R$ vì nó sẽ đổi dấu tại $x = -frac{c}{b}$ (nếu $b neq 0$).

Câu 2: Làm thế nào để giải bài toán tìm m khi có thêm điều kiện khác?

Nếu bài toán yêu cầu thêm các điều kiện khác (ví dụ: $f(x) > 0$ chỉ trên một khoảng cụ thể), bạn cần kết hợp điều kiện $a > 0$ và $Delta < 0$ với các điều kiện bổ sung đó để giải bài toán.

Câu 3: Tại sao điều kiện Δ < 0 lại đảm bảo f(x) không có nghiệm thực?

Delta ($Delta$) là biểu thức dưới dấu căn trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nếu $Delta < 0$, căn bậc hai của một số âm không phải là số thực, do đó phương trình không có nghiệm thực.

Câu 4: Khi nào thì sử dụng điều kiện f(x) ≥ 0 thay vì f(x) > 0?

Sử dụng điều kiện $f(x) geq 0$ khi bài toán yêu cầu $f(x)$ không âm (có thể bằng 0) với mọi $x$ thuộc $R$. Khi đó, điều kiện là $a > 0$ và $Delta leq 0$.

Câu 5: Làm thế nào để kiểm tra lại kết quả sau khi giải một bài toán tìm m?

Sau khi tìm được giá trị của $m$, hãy thay giá trị đó vào $f(x)$ và kiểm tra xem $f(x) > 0$ (hoặc $f(x) geq 0$) có đúng với mọi $x$ thuộc $R$ không. Bạn có thể thử một vài giá trị của $x$ hoặc vẽ đồ thị của hàm số để kiểm tra.

Câu 6: Tại sao điều kiện a > 0 lại quan trọng?

Điều kiện $a > 0$ đảm bảo rằng parabol hướng lên trên. Nếu $a < 0$, parabol sẽ hướng xuống dưới, và khi $x$ tiến đến $pm infty$, $f(x)$ sẽ tiến đến $-infty$, do đó không thể luôn dương trên $R$.

Câu 7: Làm thế nào để nhớ các điều kiện này một cách dễ dàng?

Bạn có thể nhớ các điều kiện này bằng cách hình dung đồ thị của hàm số bậc hai. Để $f(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$, parabol phải nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, tức là hướng lên trên ($a > 0$) và không cắt trục hoành ($Delta < 0$).

Câu 8: Có thể sử dụng máy tính để kiểm tra điều kiện này không?

Có, bạn có thể sử dụng máy tính để vẽ đồ thị của hàm số và kiểm tra xem nó có nằm hoàn toàn phía trên trục hoành hay không. Bạn cũng có thể sử dụng máy tính để tính delta và kiểm tra các điều kiện.

Câu 9: Điều kiện này có áp dụng cho các hàm số khác không?

Điều kiện này chỉ áp dụng cho tam thức bậc hai. Đối với các hàm số khác, bạn cần sử dụng các phương pháp khác để xác định dấu của hàm số.

Câu 10: Tại sao cần phải hiểu rõ về điều kiện này?

Hiểu rõ về điều kiện này giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến tam thức bậc hai một cách nhanh chóng và chính xác. Nó cũng là một kiến thức cơ bản quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác.

7. Kết Luận

Nắm vững điều kiện “$f(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc $R$” là một kỹ năng quan trọng trong giải toán. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức và công cụ để giải quyết các bài toán liên quan.

Nếu bạn còn bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại truy cập CAUHOI2025.EDU.VN để được giải đáp chi tiết. Tại đây, bạn sẽ tìm thấy nguồn tài liệu phong phú, các bài giảng chất lượng và đội ngũ chuyên gia sẵn sàng hỗ trợ bạn trên con đường chinh phục kiến thức.

CAUHOI2025.EDU.VN luôn đồng hành cùng bạn!

Bạn đang gặp khó khăn với các bài toán về hàm số và bất đẳng thức?

Hãy truy cập ngay CauHoi2025.EDU.VN để khám phá kho tài liệu phong phú, các bài giảng chi tiết và được hỗ trợ bởi đội ngũ chuyên gia tận tâm. Đừng bỏ lỡ cơ hội nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán của bạn!

Liên hệ với chúng tôi:

• Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam
• Số điện thoại: +84 2435162967
• Trang web: CAUHOI2025.EDU.VN