Định Lý Stewart Là Gì? Ứng Dụng Và Chứng Minh Chi Tiết

Đoạn giới thiệu: Bạn đang gặp khó khăn trong việc giải các bài toán hình học liên quan đến đường trung tuyến, đường cao, hay đường phân giác trong tam giác? Định lý Stewart chính là chìa khóa giúp bạn giải quyết vấn đề này một cách hiệu quả. CAUHOI2025.EDU.VN sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn toàn diện về định Lý Stewart, từ định nghĩa, công thức, chứng minh đến các ứng dụng thực tế, giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng thành công. Bài viết này còn đề cập đến các bài toán liên quan đến tính độ dài đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao trong tam giác, cùng các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, định lý Stewart sẽ giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài toán hình học.

1. Định Lý Stewart Là Gì?

Định lý Stewart là một định lý quan trọng trong hình học phẳng, cho phép tính độ dài của một đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với một điểm bất kỳ trên cạnh đối diện. Định lý này có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là các bài toán liên quan đến đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác.

Định nghĩa: Cho tam giác ABC, gọi D là một điểm nằm trên cạnh BC. Khi đó, ta có công thức Stewart như sau:

AB² DC + AC² BD = AD² BC + BD DC * BC

Trong đó:

• AB, AC, BC là độ dài các cạnh của tam giác ABC.
• AD là độ dài đoạn thẳng nối đỉnh A với điểm D trên cạnh BC.
• BD, DC là độ dài các đoạn thẳng mà điểm D chia cạnh BC thành.

2. Ứng Dụng Của Định Lý Stewart Trong Giải Toán Hình Học

Định lý Stewart là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết nhiều bài toán hình học khác nhau. Dưới đây là một số ứng dụng quan trọng của định lý này:

2.1. Tính Độ Dài Đường Trung Tuyến Của Tam Giác

Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Để tính độ dài đường trung tuyến bằng định lý Stewart, ta chỉ cần đặt điểm D là trung điểm của cạnh BC. Khi đó, BD = DC = BC/2. Thay vào công thức Stewart, ta có thể tính được độ dài đường trung tuyến AD.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 7, BC = 8. Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác.

Giải:

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra BM = MC = BC/2 = 4. Áp dụng định lý Stewart cho tam giác ABC với điểm M trên cạnh BC, ta có:

AB² MC + AC² BM = AM² BC + BM MC * BC

5² 4 + 7² 4 = AM² 8 + 4 4 * 8

100 + 196 = 8 * AM² + 128

8 * AM² = 168

AM² = 21

AM = √21

Vậy, độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC là √21.

2.2. Tính Độ Dài Đường Phân Giác Của Tam Giác

Đường phân giác của một góc trong tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với một điểm trên cạnh đối diện, sao cho đoạn thẳng này chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Để tính độ dài đường phân giác bằng định lý Stewart, ta cần sử dụng thêm tính chất của đường phân giác trong tam giác. Theo tính chất này, đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8, BC = 7. Tính độ dài đường phân giác AD của góc A.

Giải:

Gọi D là chân đường phân giác của góc A trên cạnh BC. Theo tính chất đường phân giác, ta có:

BD/DC = AB/AC = 6/8 = 3/4

Vì BD + DC = BC = 7, ta có thể giải hệ phương trình sau để tìm BD và DC:

BD = (3/7) BC = (3/7) 7 = 3

DC = (4/7) BC = (4/7) 7 = 4

Áp dụng định lý Stewart cho tam giác ABC với điểm D trên cạnh BC, ta có:

AB² DC + AC² BD = AD² BC + BD DC * BC

6² 4 + 8² 3 = AD² 7 + 3 4 * 7

144 + 192 = 7 * AD² + 84

7 * AD² = 252

AD² = 36

AD = 6

Vậy, độ dài đường phân giác AD của tam giác ABC là 6.

2.3. Tính Độ Dài Đường Cao Của Tam Giác

Đường cao của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh của tam giác và vuông góc với cạnh đối diện. Để tính độ dài đường cao bằng định lý Stewart, ta cần biết độ dài của cạnh đáy và độ dài của hai đoạn mà đường cao chia cạnh đáy thành.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 13, AC = 15, BC = 14. Tính độ dài đường cao AH của tam giác.

Giải:

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A xuống cạnh BC. Đặt BH = x, suy ra HC = BC – BH = 14 – x. Áp dụng định lý Pythagoras cho hai tam giác vuông ABH và ACH, ta có:

AB² = AH² + BH² => AH² = AB² – BH² = 13² – x² = 169 – x²

AC² = AH² + HC² => AH² = AC² – HC² = 15² – (14 – x)² = 225 – (196 – 28x + x²) = 29 + 28x – x²

Từ hai phương trình trên, ta có:

169 – x² = 29 + 28x – x²

28x = 140

x = 5

Vậy, BH = 5 và HC = 14 – 5 = 9. Thay x = 5 vào một trong hai phương trình trên để tính AH:

AH² = 169 – 5² = 169 – 25 = 144

AH = 12

Vậy, độ dài đường cao AH của tam giác ABC là 12.

Hoặc, ta có thể áp dụng định lý Stewart cho tam giác ABC với điểm H trên cạnh BC:

AB² HC + AC² BH = AH² BC + BH HC * BC

13² 9 + 15² 5 = AH² 14 + 5 9 * 14

1521 + 1125 = 14 * AH² + 630

14 * AH² = 2016

AH² = 144

AH = 12

Kết quả vẫn là 12.

3. Chứng Minh Định Lý Stewart

Có nhiều cách để chứng minh định lý Stewart. Dưới đây là một cách chứng minh phổ biến sử dụng định lý cosin:

Chứng minh:

Cho tam giác ABC, gọi D là một điểm nằm trên cạnh BC. Đặt AB = c, AC = b, BC = a, AD = d, BD = m, DC = n. Ta có a = m + n.

Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABD, ta có:

c² = m² + d² – 2 m d * cos(∠ADB)

Áp dụng định lý cosin cho tam giác ACD, ta có:

b² = n² + d² – 2 n d * cos(∠ADC)

Vì ∠ADB và ∠ADC là hai góc kề bù, nên cos(∠ADB) = -cos(∠ADC). Do đó, ta có:

c² = m² + d² – 2 m d * cos(∠ADB)

b² = n² + d² + 2 n d * cos(∠ADB)

Nhân phương trình thứ nhất với n, phương trình thứ hai với m, ta được:

c² n = m² n + d² n – 2 m n d * cos(∠ADB)

b² m = n² m + d² m + 2 m n d * cos(∠ADB)

Cộng hai phương trình trên, ta được:

c² n + b² m = m² n + n² m + d² * (m + n)

c² n + b² m = m n (m + n) + d² * a

c² n + b² m = d² a + m n * a

Vậy, AB² DC + AC² BD = AD² BC + BD DC * BC (đpcm)

4. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Về Định Lý Stewart

Định lý Stewart thường được áp dụng trong các bài toán hình học phẳng, đặc biệt là các bài toán liên quan đến tam giác. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:

• Dạng 1: Cho độ dài các cạnh của tam giác và độ dài một đoạn thẳng nối đỉnh với một điểm trên cạnh đối diện. Tính độ dài các đoạn còn lại trên cạnh đó.
• Dạng 2: Cho độ dài các cạnh của tam giác và tỉ lệ của các đoạn mà một điểm chia cạnh đối diện thành. Tính độ dài đoạn thẳng nối đỉnh với điểm đó.
• Dạng 3: Cho một số yếu tố của tam giác (ví dụ: đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác) và yêu cầu tính các yếu tố còn lại.

Để giải các bài tập này, bạn cần nắm vững định lý Stewart, các tính chất của tam giác (ví dụ: tính chất đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác) và kỹ năng biến đổi đại số.

5. Ví Dụ Minh Họa Và Bài Tập Tự Luyện

Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách áp dụng định lý Stewart, dưới đây là một số ví dụ minh họa và bài tập tự luyện:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, BC = 5. Gọi D là một điểm trên cạnh BC sao cho BD = 2. Tính độ dài đoạn thẳng AD.

Giải:

Ta có DC = BC – BD = 5 – 2 = 3. Áp dụng định lý Stewart cho tam giác ABC với điểm D trên cạnh BC, ta có:

AB² DC + AC² BD = AD² BC + BD DC * BC

4² 3 + 6² 2 = AD² 5 + 2 3 * 5

48 + 72 = 5 * AD² + 30

5 * AD² = 90

AD² = 18

AD = √18 = 3√2

Vậy, độ dài đoạn thẳng AD là 3√2.

Bài tập tự luyện:

1. Cho tam giác ABC có AB = 7, AC = 9, BC = 10. Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác.
2. Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8, BC = 7. Tính độ dài đường phân giác AD của góc A.
3. Cho tam giác ABC có AB = 13, AC = 15, BC = 14. Tính độ dài đường cao AH của tam giác.
4. Cho tam giác ABC có AB = AC = 5, BC = 6. Gọi D là trung điểm của BC. Tính độ dài AD.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4. Gọi AD là đường phân giác của góc A. Tính độ dài AD.

6. Lợi Ích Khi Sử Dụng CAUHOI2025.EDU.VN Để Tìm Hiểu Về Định Lý Stewart

CAUHOI2025.EDU.VN là một nguồn tài nguyên tuyệt vời để bạn tìm hiểu về định lý Stewart và các chủ đề toán học khác. Dưới đây là một số lợi ích khi sử dụng website của chúng tôi:

• Thông tin chính xác và đáng tin cậy: CAUHOI2025.EDU.VN cung cấp thông tin được kiểm chứng kỹ lưỡng từ các nguồn uy tín, giúp bạn yên tâm về chất lượng kiến thức.
• Giải thích dễ hiểu: Các khái niệm và định lý được trình bày một cách rõ ràng, dễ hiểu, phù hợp với mọi đối tượng, từ học sinh, sinh viên đến người tự học.
• Ví dụ minh họa và bài tập đa dạng: CAUHOI2025.EDU.VN cung cấp nhiều ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng thành công vào giải toán.
• Giao diện thân thiện và dễ sử dụng: Website của chúng tôi có giao diện thân thiện, dễ sử dụng, giúp bạn dễ dàng tìm kiếm thông tin và học tập hiệu quả.

7. Các Nguồn Tham Khảo Uy Tín Về Định Lý Stewart Tại Việt Nam

Để tìm hiểu sâu hơn về định lý Stewart, bạn có thể tham khảo các nguồn tài liệu sau:

• Sách giáo khoa Toán THPT: Sách giáo khoa Toán THPT cung cấp kiến thức cơ bản về định lý Stewart và các ứng dụng của nó.
• Các trang web giáo dục uy tín của Việt Nam: Các trang web như ViettelStudy, Hocmai.vn, Khan Academy Tiếng Việt cung cấp các bài giảng, bài tập và tài liệu tham khảo về định lý Stewart.
• Các diễn đàn toán học: Các diễn đàn như MathScope, Diễn đàn Toán học Việt Nam là nơi bạn có thể trao đổi kiến thức, thảo luận các bài toán liên quan đến định lý Stewart với các thành viên khác.
• Các bài báo khoa học: Bạn có thể tìm kiếm các bài báo khoa học về định lý Stewart trên các tạp chí toán học của Việt Nam hoặc trên các cơ sở dữ liệu khoa học trực tuyến.
• Thư viện các trường đại học: Thư viện của các trường đại học lớn như Đại học Quốc gia Hà Nội, Đại học Bách khoa Hà Nội, Đại học Sư phạm Hà Nội có nhiều sách và tài liệu tham khảo về toán học, bao gồm cả định lý Stewart.

8. FAQ – Các Câu Hỏi Thường Gặp Về Định Lý Stewart

1. Định lý Stewart áp dụng cho loại tam giác nào?

   • Định lý Stewart áp dụng cho mọi loại tam giác, bao gồm tam giác thường, tam giác vuông, tam giác cân và tam giác đều.

2. Công thức Stewart có dễ nhớ không?

   • Công thức Stewart có thể hơi khó nhớ lúc ban đầu, nhưng bạn có thể nhớ nó bằng cách liên tưởng đến việc chia cạnh BC thành hai đoạn BD và DC, sau đó áp dụng công thức một cách tuần tự.

3. Khi nào nên sử dụng định lý Stewart?

   • Bạn nên sử dụng định lý Stewart khi cần tính độ dài một đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với một điểm bất kỳ trên cạnh đối diện, đặc biệt là khi bạn đã biết độ dài các cạnh của tam giác và độ dài của một số đoạn thẳng liên quan.

4. Định lý Stewart có thể thay thế định lý Pythagoras không?

   • Định lý Stewart là một công thức tổng quát hơn định lý Pythagoras. Định lý Pythagoras chỉ áp dụng cho tam giác vuông, trong khi định lý Stewart áp dụng cho mọi loại tam giác.

5. Định lý Stewart có ứng dụng trong thực tế không?

   • Định lý Stewart có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như kiến trúc, kỹ thuật, và thiết kế đồ họa.

6. Có cách chứng minh nào khác cho định lý Stewart không?

   • Có nhiều cách chứng minh khác nhau cho định lý Stewart, bao gồm sử dụng định lý cosin, sử dụng vectơ, và sử dụng diện tích.

7. Làm thế nào để giải các bài toán phức tạp hơn về định lý Stewart?

   • Để giải các bài toán phức tạp hơn về định lý Stewart, bạn cần nắm vững các kiến thức cơ bản về hình học, đại số, và lượng giác. Bạn cũng cần rèn luyện kỹ năng giải toán và tư duy logic.

8. Tôi có thể tìm thêm bài tập về định lý Stewart ở đâu?

   • Bạn có thể tìm thêm bài tập về định lý Stewart trong sách giáo khoa, sách bài tập, và trên các trang web giáo dục uy tín.

9. Làm thế nào để nhớ công thức Stewart một cách dễ dàng?

   • Bạn có thể nhớ công thức Stewart bằng cách sử dụng các mẹo nhớ, chẳng hạn như liên tưởng đến việc chia cạnh BC thành hai đoạn BD và DC, sau đó áp dụng công thức một cách tuần tự. Bạn cũng có thể viết công thức ra giấy nhiều lần để ghi nhớ.

10. Định lý Stewart có liên quan gì đến các định lý khác trong hình học?

    • Định lý Stewart có liên quan đến nhiều định lý khác trong hình học, chẳng hạn như định lý Pythagoras, định lý cosin, và định lý đường trung tuyến.

9. Kết Luận

Định lý Stewart là một công cụ hữu ích trong hình học, giúp giải quyết các bài toán liên quan đến độ dài các đoạn thẳng trong tam giác. Hy vọng bài viết này của CAUHOI2025.EDU.VN đã cung cấp cho bạn cái nhìn tổng quan và sâu sắc về định lý Stewart, từ định nghĩa, công thức, chứng minh đến các ứng dụng thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng thành công vào giải toán.

Nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào hoặc muốn tìm hiểu thêm về các chủ đề toán học khác, đừng ngần ngại truy cập CAUHOI2025.EDU.VN để khám phá thêm nhiều kiến thức bổ ích và nhận được sự hỗ trợ tận tình từ đội ngũ chuyên gia của chúng tôi. Bạn cũng có thể liên hệ với chúng tôi qua địa chỉ 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam hoặc số điện thoại +84 2435162967. CauHoi2025.EDU.VN luôn sẵn sàng đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục tri thức!