Dãy Số Bị Chặn Là Gì? Cách Xác Định Dãy Số Bị Chặn Chi Tiết
  1. Home
  2. Câu Hỏi
  3. Dãy Số Bị Chặn Là Gì? Cách Xác Định Dãy Số Bị Chặn Chi Tiết
admin 8 giờ trước

Dãy Số Bị Chặn Là Gì? Cách Xác Định Dãy Số Bị Chặn Chi Tiết

Tìm hiểu định nghĩa Dãy Số Bị Chặn, các phương pháp xác định và ví dụ minh họa chi tiết. CAUHOI2025.EDU.VN giúp bạn nắm vững kiến thức về dãy số bị chặn.

Bạn đang gặp khó khăn trong việc xác định một dãy số có bị chặn hay không? Đừng lo lắng! Bài viết này của CAUHOI2025.EDU.VN sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức toàn diện và dễ hiểu nhất về dãy số bị chặn, từ định nghĩa, các phương pháp chứng minh, đến các ví dụ minh họa cụ thể. Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những thông tin chính xác, đáng tin cậy và hữu ích, giúp bạn tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan đến dãy số bị chặn.

1. Dãy Số Bị Chặn Là Gì? Định Nghĩa Và Ý Nghĩa

1.1. Định Nghĩa Dãy Số Bị Chặn

Một dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un ≤ M với mọi n thuộc tập số tự nhiên N. Số M được gọi là một chặn trên của dãy số.

Một dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un ≥ m với mọi n thuộc tập số tự nhiên N. Số m được gọi là một chặn dưới của dãy số.

Một dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Điều này có nghĩa là tồn tại các số m và M sao cho m ≤ un ≤ M với mọi n thuộc tập số tự nhiên N.

1.2. Ý Nghĩa Của Dãy Số Bị Chặn

Tính bị chặn của dãy số là một khái niệm quan trọng trong giải tích, đặc biệt là khi xét sự hội tụ của dãy số. Theo một định lý cơ bản, mọi dãy số hội tụ đều bị chặn. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng, tức là một dãy số bị chặn không nhất thiết phải hội tụ.

Ví dụ, dãy số un = (-1)n bị chặn (vì -1 ≤ un ≤ 1 với mọi n), nhưng nó không hội tụ.

1.3. Dấu Hiệu Nhận Biết Dãy Số Bị Chặn

Để nhận biết một dãy số có bị chặn hay không, ta có thể dựa vào một số dấu hiệu sau:

  • Dãy số cho bởi công thức tường minh: Ta có thể đánh giá trực tiếp các số hạng của dãy số để tìm ra chặn trên và chặn dưới.
  • Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi: Ta có thể dự đoán chặn trên và chặn dưới, sau đó chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
  • Dãy số là tổng của các số hạng: Ta có thể chặn từng số hạng, sau đó chặn tổng.

2. Các Phương Pháp Xác Định Dãy Số Bị Chặn

2.1. Phương Pháp Đánh Giá Trực Tiếp

Phương pháp này áp dụng cho các dãy số được cho bởi công thức tường minh. Ta sẽ tìm cách đánh giá các số hạng của dãy số để tìm ra chặn trên và chặn dưới.

Ví dụ: Xét dãy số un = sin(n) / (n2 + 1).

Ta có: -1 ≤ sin(n) ≤ 1 và n2 + 1 ≥ 1 với mọi n.

Suy ra: -1 / (n2 + 1) ≤ un ≤ 1 / (n2 + 1).

Do đó: -1 ≤ un ≤ 1 với mọi n. Vậy dãy số (un) bị chặn.

2.2. Phương Pháp Quy Nạp

Phương pháp này áp dụng cho các dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi. Ta sẽ dự đoán chặn trên và chặn dưới, sau đó chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Ví dụ: Xét dãy số u1 = 1, un+1 = √(2 + un).

Ta dự đoán dãy số bị chặn trên bởi 2, tức là un ≤ 2 với mọi n.

  • Bước 1: Với n = 1, ta có u1 = 1 ≤ 2.
  • Bước 2: Giả sử uk ≤ 2 với k ≥ 1.
  • Bước 3: Ta cần chứng minh uk+1 ≤ 2. Thật vậy, uk+1 = √(2 + uk) ≤ √(2 + 2) = 2.

Vậy, theo nguyên lý quy nạp, un ≤ 2 với mọi n.

Tiếp theo, ta chứng minh dãy số bị chặn dưới bởi 1, tức là un ≥ 1 với mọi n.

  • Bước 1: Với n = 1, ta có u1 = 1 ≥ 1.
  • Bước 2: Giả sử uk ≥ 1 với k ≥ 1.
  • Bước 3: Ta cần chứng minh uk+1 ≥ 1. Thật vậy, uk+1 = √(2 + uk) ≥ √(2 + 1) = √3 > 1.

Vậy, theo nguyên lý quy nạp, un ≥ 1 với mọi n.

Do đó, 1 ≤ un ≤ 2 với mọi n. Vậy dãy số (un) bị chặn.

2.3. Phương Pháp Sử Dụng Tính Đơn Điệu

Nếu một dãy số là đơn điệu (tăng hoặc giảm) và bị chặn trên hoặc chặn dưới, thì nó sẽ hội tụ. Điều này cũng cho thấy tính bị chặn của dãy số.

Ví dụ: Xét dãy số un = 1 + 1/22 + 1/32 + … + 1/n2.

Ta thấy dãy số này tăng (vì mỗi số hạng đều dương).

Ta sẽ chứng minh dãy số bị chặn trên bởi 2.

Ta có: 1/k2 ≤ 1/(k(k-1)) = 1/(k-1) – 1/k với k ≥ 2.

Do đó: un = 1 + 1/22 + 1/32 + … + 1/n2 ≤ 1 + (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + … + (1/(n-1) – 1/n) = 2 – 1/n < 2.

Vậy, dãy số (un) tăng và bị chặn trên, do đó nó hội tụ và bị chặn.

3. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết Về Dãy Số Bị Chặn

3.1. Ví Dụ 1: Dãy Số un = (n + 1) / (2n + 1)

Bài toán: Xét tính bị chặn của dãy số un = (n + 1) / (2n + 1).

Giải:

Ta có: un = (n + 1) / (2n + 1) = (1/2) (2n + 2) / (2n + 1) = (1/2) (2n + 1 + 1) / (2n + 1) = 1/2 + 1 / (2 * (2n + 1)).

Vì n ≥ 1, nên 2n + 1 ≥ 3, suy ra 1 / (2 * (2n + 1)) ≤ 1/6.

Do đó: un ≤ 1/2 + 1/6 = 2/3. Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2/3.

Mặt khác, vì n ≥ 1, nên un = (n + 1) / (2n + 1) > 0. Vậy dãy số bị chặn dưới bởi 0.

Vậy dãy số (un) bị chặn.

3.2. Ví Dụ 2: Dãy Số un = (-1)n * n / (n + 1)

Bài toán: Xét tính bị chặn của dãy số un = (-1)n * n / (n + 1).

Giải:

Ta có: |un| = |(-1)n * n / (n + 1)| = n / (n + 1) = (n + 1 – 1) / (n + 1) = 1 – 1 / (n + 1).

Vì n ≥ 1, nên 1 / (n + 1) > 0, suy ra |un| < 1.

Do đó: -1 < un < 1 với mọi n. Vậy dãy số (un) bị chặn.

3.3. Ví Dụ 3: Dãy Số u1 = 1, un+1 = (un + 3) / 4

Bài toán: Xét tính bị chặn của dãy số u1 = 1, un+1 = (un + 3) / 4.

Giải:

Ta dự đoán dãy số bị chặn trên bởi 1, tức là un ≤ 1 với mọi n.

  • Bước 1: Với n = 1, ta có u1 = 1 ≤ 1.
  • Bước 2: Giả sử uk ≤ 1 với k ≥ 1.
  • Bước 3: Ta cần chứng minh uk+1 ≤ 1. Thật vậy, uk+1 = (uk + 3) / 4 ≤ (1 + 3) / 4 = 1.

Vậy, theo nguyên lý quy nạp, un ≤ 1 với mọi n.

Tiếp theo, ta chứng minh dãy số bị chặn dưới bởi 3/4, tức là un ≥ 3/4 với mọi n.

  • Bước 1: Với n = 1, ta có u1 = 1 ≥ 3/4.
  • Bước 2: Giả sử uk ≥ 3/4 với k ≥ 1.
  • Bước 3: Ta cần chứng minh uk+1 ≥ 3/4. Thật vậy, uk+1 = (uk + 3) / 4 ≥ (3/4 + 3) / 4 = 15/16 > 3/4.

Tuy nhiên, chứng minh trên không đúng. Ta cần chứng minh lại. Ta dự đoán dãy số bị chặn dưới bởi 3/4.

Xét hiệu: un+1 – 3/4 = (un + 3) / 4 – 3/4 = (un – 3/4) / 4.

Ta có: u1 = 1 > 3/4. Giả sử uk > 3/4, suy ra uk+1 > 3/4.

Vậy, theo nguyên lý quy nạp, un > 3/4 với mọi n.

Do đó, 3/4 < un ≤ 1 với mọi n. Vậy dãy số (un) bị chặn.

4. Bài Tập Vận Dụng Về Dãy Số Bị Chặn

Bài 1: Xét tính bị chặn của dãy số un = (2n – 1) / (n + 1).

Bài 2: Xét tính bị chặn của dãy số un = cos(n) / n.

Bài 3: Xét tính bị chặn của dãy số u1 = 2, un+1 = (un2 + 1) / (2un).

Bài 4: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un+1 = un + 1/(n(n+1)) với mọi n ≥ 1. Chứng minh rằng dãy số (un) bị chặn trên.

Bài 5: Chứng minh rằng dãy số (xn) xác định bởi x1 = 2 và xn+1 = (xn + 3)/4 là dãy số bị chặn.

5. Câu Hỏi Thường Gặp Về Dãy Số Bị Chặn (FAQ)

1. Dãy số hội tụ thì có bị chặn không?

  • Trả lời: Có. Mọi dãy số hội tụ đều bị chặn. Đây là một định lý quan trọng trong giải tích.

2. Dãy số bị chặn thì có hội tụ không?

  • Trả lời: Không nhất thiết. Một dãy số bị chặn có thể hội tụ hoặc không hội tụ. Ví dụ, dãy số un = (-1)n bị chặn nhưng không hội tụ.

3. Làm thế nào để chứng minh một dãy số bị chặn?

  • Trả lời: Có nhiều phương pháp để chứng minh một dãy số bị chặn, bao gồm: đánh giá trực tiếp, quy nạp, sử dụng tính đơn điệu.

4. Tại sao cần xét tính bị chặn của dãy số?

  • Trả lời: Tính bị chặn của dãy số là một yếu tố quan trọng trong việc xét sự hội tụ của dãy số. Nó cũng giúp ta hiểu rõ hơn về tính chất của dãy số.

5. Dãy số bị chặn trên là gì?

  • Trả lời: Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un ≤ M với mọi n.

6. Dãy số bị chặn dưới là gì?

  • Trả lời: Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un ≥ m với mọi n.

7. Dãy số không bị chặn là gì?

  • Trả lời: Dãy số không bị chặn là dãy số không bị chặn trên hoặc không bị chặn dưới.

8. Làm sao để nhận biết một dãy số có bị chặn hay không?

  • Trả lời: Ta có thể dựa vào công thức của dãy số, hệ thức truy hồi, hoặc tính đơn điệu để nhận biết.

9. Phương pháp quy nạp có thể dùng để chứng minh dãy số bị chặn không?

  • Trả lời: Có. Phương pháp quy nạp là một công cụ hiệu quả để chứng minh tính bị chặn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.

10. Nếu một dãy số tăng và bị chặn trên thì nó có hội tụ không?

  • Trả lời: Có. Nếu một dãy số tăng và bị chặn trên, thì nó sẽ hội tụ. Đây là một định lý quan trọng trong giải tích.

6. Kết Luận

Hiểu rõ về dãy số bị chặn là một phần quan trọng trong chương trình toán học phổ thông và cao cấp. Hy vọng với những kiến thức và ví dụ mà CAUHOI2025.EDU.VN cung cấp, bạn đã có thể tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Nếu bạn còn bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại truy cập CAUHOI2025.EDU.VN để tìm kiếm thêm thông tin hoặc đặt câu hỏi trực tiếp cho đội ngũ chuyên gia của chúng tôi.

Tại CAUHOI2025.EDU.VN, chúng tôi luôn nỗ lực cung cấp những thông tin chính xác, dễ hiểu và hữu ích nhất, giúp bạn vượt qua mọi thử thách trong học tập và cuộc sống. Hãy để CAUHOI2025.EDU.VN trở thành người bạn đồng hành tin cậy của bạn trên con đường chinh phục tri thức!

Liên hệ với chúng tôi:

  • Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam
  • Số điện thoại: +84 2435162967
  • Trang web: CauHoi2025.EDU.VN
0 lượt xem | 0 bình luận

Avatar

Cloud