Công Thức Biên Độ Tổng Hợp Dao Động Điều Hòa: Giải Chi Tiết A-Z

Bài viết này của CAUHOI2025.EDU.VN sẽ cung cấp Công Thức Biên độ Tổng Hợp dao động điều hòa, phương pháp giải bài tập chi tiết, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục mọi bài tập liên quan.

Giới thiệu

Bạn đang gặp khó khăn với các bài tập về tổng hợp dao động điều hòa? Bạn muốn hiểu rõ bản chất của công thức biên độ tổng hợp và áp dụng nó một cách hiệu quả? CauHoi2025.EDU.VN sẽ giúp bạn giải quyết những vấn đề này. Bài viết này cung cấp đầy đủ lý thuyết, công thức, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa. Khám phá ngay để làm chủ kiến thức, đạt điểm cao trong các kỳ thi và ứng dụng vào thực tiễn!

1. Biểu Diễn Dao Động Điều Hòa Bằng Vector Quay

Vector quay là một công cụ hữu ích để biểu diễn và tổng hợp các dao động điều hòa.

1.1. Đặc điểm của vector quay

Xét một vector quay ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc O với các đặc điểm sau:

• Độ dài vector bằng biên độ dao động A.
• Tốc độ quay ω bằng tần số góc của dao động.
• Ban đầu hợp với trục Ox một góc φ (pha ban đầu).

Khi đó, hình chiếu P của ngọn vector xuống trục Ox biểu diễn một dao động điều hòa:

x = Acos(ωt + φ)

1.2. Ứng dụng của vector quay

• Biểu diễn trực quan: Vector quay giúp hình dung rõ ràng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều.
• Tổng hợp dao động: Dễ dàng tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hòa cùng tần số bằng cách cộng vector.
• Giải bài tập: Giải nhanh các bài tập về tìm biên độ, pha ban đầu của dao động tổng hợp.

2. Công Thức Biên Độ Tổng Hợp Dao Động Điều Hòa Cùng Phương, Cùng Tần Số

Khi một vật tham gia đồng thời nhiều dao động cùng tần số, dao động của vật là dao động tổng hợp.

2.1. Phương trình dao động thành phần

Giả sử một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa:

• x₁ = A₁cos(ωt + φ₁)
• x₂ = A₂cos(ωt + φ₂)

2.2. Dao động tổng hợp

Dao động tổng hợp có dạng:

x = Acos(ωt + φ)

Trong đó:

• A là biên độ dao động tổng hợp.
• φ là pha ban đầu của dao động tổng hợp.

2.3. Các cách tính biên độ và pha ban đầu

• Cộng lượng giác (ít gặp): Nếu biên độ gần bằng nhau có thể cộng trực tiếp x = x₁ + x₂
• Phương pháp vector quay (phổ biến): Sử dụng giản đồ vector để tổng hợp.

2.4. Công thức biên độ tổng hợp

A² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(φ₂ – φ₁)

2.5. Các trường hợp đặc biệt

• Cùng pha (φ₂ – φ₁ = 2kπ): A_max = A₁ + A₂, φ = φ₁ = φ₂.
• Ngược pha (φ₂ – φ₁ = (2k+1)π): A_min = |A₁ – A₂|. Nếu A₁ > A₂ ⇒ φ = φ₁; nếu A₁ < A₂ ⇒ φ = φ₂.
• Vuông pha (φ₂ – φ₁ = (2k+1)π/2): A² = A₁² + A₂².

2.6. Điều kiện về biên độ

Khi A₁ và A₂ xác định, φ₁ và φ₂ chưa biết, ta luôn có:

|A₁ – A₂| ≤ A ≤ A₁ + A₂

Công thức này giúp xác định khoảng giá trị có thể của biên độ dao động tổng hợp.

3. Cách Sử Dụng Máy Tính Casio Giải Bài Toán Tổng Hợp Dao Động

Máy tính Casio FX-570VN PLUS (hoặc các dòng tương đương) có thể giúp giải nhanh bài toán tổng hợp dao động.

3.1. Chuyển máy tính sang chế độ số phức

• Ấn MODE, chọn 2: CMPLX

3.2. Nhập các số phức tương ứng với các dao động thành phần

• Nhập A₁∠φ₁ + A₂∠φ₂ (với ∠ là ký hiệu góc, ấn SHIFT + (-))
• Ví dụ: 3∠(π/6) + 3∠(π/2)

3.3. Chuyển kết quả về dạng lượng giác

• Ấn SHIFT + 2, chọn 3: ►r∠θ
• Ấn = để hiển thị kết quả A∠φ

Kết quả hiển thị trên máy tính sẽ cho biết biên độ A và pha ban đầu φ của dao động tổng hợp.

Lưu ý:

• Đảm bảo máy tính đang ở chế độ Radian nếu pha ban đầu được cho bằng đơn vị radian.
• Máy tính chỉ giải được bài toán tổng hợp dao động cùng tần số.

4. Ví Dụ Minh Họa

Dưới đây là một số ví dụ điển hình về bài tập tổng hợp dao động điều hòa và cách giải chi tiết.

Ví dụ 1: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa x₁ = 3cos(4πt + π/6) cm và x₂ = 3cos(4πt + π/2) cm. Xác định dao động tổng hợp của hai dao động trên.

A. x = 3√3cos(4πt + π/6) cm
B. x = 3√3cos(4πt + π/3) cm
C. x = 3√3cos(4πt + π/3) cm
D. x = 3cos(4πt + π/3) cm

Lời giải:

Dao động tổng hợp có dạng: x = Acos(ωt + φ) cm

Trong đó:

• A² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(φ₂ – φ₁) = 3² + 3² + 2.3.3.cos(π/2 – π/6) = 27

=> A = 3√3 cm

• tanφ = (A₁sinφ₁ + A₂sinφ₂) / (A₁cosφ₁ + A₂cosφ₂) = (3sin(π/6) + 3sin(π/2)) / (3cos(π/6) + 3cos(π/2)) = (1.5 + 3) / (3√3/2 + 0) = √3

=> φ = π/3

Phương trình dao động cần tìm là x = 3√3cos(4πt + π/3) cm

Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa với biên độ lần lượt là 3 cm và 5 cm. Trong các giá trị sau, giá trị nào không thể là biên độ của dao động tổng hợp?

A. 4 cm
B. 5 cm
C. 3 cm
D. 10 cm

Lời giải:

Ta có: |A₁ – A₂ | ≤ A ≤ A₁ + A₂

=> 2 cm ≤ A ≤ 8 cm

Vậy giá trị không thể là biên độ dao động tổng hợp là 10 cm.

Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Một vật thực hiện hai dao động điều hòa với phương trình lần lượt là x₁ = 4cos(6πt + π/3) cm; x₂ = 5cos(6πt + π) cm. Xác định vận tốc cực đại mà dao động có thể đạt được.

A. 54π cm/s
B. 6π cm/s
C. 45cm/s
D. 9π cm/s

Lời giải:

Ta có: V_max = A.ω => V_max khi A_max

Với A_max = 9 cm khi hai dao động cùng pha

=> V_max = 9.6π = 54π cm/s.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 4: Một chất điểm dao động điều hòa có phương trình dao động tổng hợp x = 5√2 cos(πt + 5π/12) với các dao động thành phần cùng phương, cùng tần số là x₁ = A₁ cos(πt + φ₁) và x₂ = 5cos(πt + π/6 ), pha ban đầu của dao động 1 là:

A. φ₁ = 2π/3
B. φ₁= π/2
C. φ₁ = π/4
D. φ₁= π/3

Lời giải:

Từ phương trình dao động tổng hợp và dao động thành phần x₂, ta có thể tìm dao động thành phần x₁ bằng phương pháp giản đồ vector hoặc sử dụng máy tính Casio.

Kết quả: φ₁ = 2π/3

Chọn đáp án A.

5. Bài Tập Trắc Nghiệm

Để củng cố kiến thức, hãy thử sức với các bài tập trắc nghiệm sau:

Câu 1. Cho hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình dao động lần lượt là x₁ = 3√3sin(5πt + π/2)(cm) và x₂ = 3√3sin(5πt – π/2)(cm). Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động trên bằng

A. 0 cm
B. 3 cm
C. 6√3 cm
D. 3√3 cm

Lời giải:

Hai dao động trên ngược pha nhau vì Δφ = φ₂-φ₁ = -π nên biên độ dao động tổng hợp sẽ là: A = |A₂ – A₁| = 0.

Chọn đáp án A.

Câu 2. Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là x₁ = 3cos10t (cm) và x₂ = 4sin(10t + π/2)(cm). Gia tốc của vật có độ lớn cực đại bằng

A. 7 m/s²
B. 3 m/s²
C. 6 m/s²
D. 13 m/s²

Lời giải:

Đưa phương trình li độ của dao động thứ 2 về dạng chuẩn theo cos: x₂ = 4sin(10t + π/2) = 4cos(10t)

Từ đây ta thấy rằng: hai dao động trên cùng pha vì thế biên độ dao động tổng hợp: A = A₁ + A₂ = 3 + 4 = 7 (cm)

Gia tốc có độ lớn cực đại: a_max = ω²A = 100.7 = 700 cm/s² = 7 m/s²

Chọn đáp án A.

Câu 3. Dao động của một chất điểm có khối lượng 100 g là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li độ lần lượt là x₁ = 5cos(10t) và x₂ = 10cos(10t) (x₁ và x₂ tính bằng cm, t tính bằng s). Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Cơ năng của chất điểm bằng

A. 0,1125 J
B. 225 J
C. 112,5 J
D. 0,225 J

Lời giải:

Hai dao động trên cùng pha vì thế biên độ dao động tổng hợp: A = A₁ + A₂ = 5 + 10 = 15 cm

Cơ năng của chất điểm: E = (1/2).m.ω²A² = (1/2). 0,1. 10².0,15² = 0,1125 J

Chọn đáp án A.

Câu 4. Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là x₁ = 4cos(10t + π/4)(cm) và x₂ = 3cos(10t – 3π/4)(cm). Độ lớn vận tốc của vật ở vị trí cân bằng là

A. 100 cm/s
B. 50 cm/s
C. 80 cm/s
D. 10 cm/s

Lời giải:

Ta có: Δφ = φ₂-φ₁ = (-3π/4)-π/4 = -π => hai dao động trên ngược pha

Biên độ dao động tổng hợp: A = |A₁ – A₂| = 1 cm

Vận tốc của ở VTCB là : v_VTCB = vmax = ωA = 10.1 = 10 cm/s

Chọn đáp án D.

Câu 5. Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động cùng phương có phương trình lần lượt là x₁ = Acosωt và x₂ = Asinωt. Biên độ dao động của vật là

A. √3A
B. A
C. √2A
D. 2A

Lời giải:

Chuyển phương trình của thành phần thứ 2 về dạng chuẩn theo cos: x₂ = Asinωt = Acos(ωt – π/2)

=> Hai dao động vuông pha nhau, biên độ dao động tổng hợp là: A = √(A₁² + A₂²) = √(A² + A²) = √2A

Chọn đáp án C.

Câu 6. Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ bằng nhau và bằng A nhưng pha ban đầu lệch nhau π/3 rad. Dao động tổng hợp có biên độ là

A. 1 A
B. √2A
C. 2A
D. √3A

Lời giải:

Biên độ dao động tổng hợp:

A² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(φ₁ – φ₂)

Theo bài ra thì hai dao động lệch pha nhau π/3 nên cos(φ₁ – φ₂) = cos(π/3) = 1/2

Vì thế biên độ dao động sẽ là: A = √(A² + A² + 2.A.A.1/2) = √3A

Chọn đáp án D.

Câu 7. Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình: x₁ = √3cos(ωt – π/2) cm, x₂ = cos(ωt) cm. Phương trình dao động tổng hợp:

A. x = 2√2cos(4πt – π/4) cm
B. x = 2√2cos(4πt + 3π/4) cm
C. x = 2cos(4πt – π/3) cm
D. x = 2cos(4πt + π/3) cm

Lời giải:

Sử dụng máy tính Casio để tổng hợp hai dao động:

x = √3∠(-π/2) + 1∠0 = 2∠(-π/3)

=> Phương trình dao động tổng hợp: x = 2cos(ωt – π/3) cm

Chọn đáp án C.

Câu 8. Một vật tham gia đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương với các phương trình: x₁ = 5cos5πt (cm); x₂ = 3cos(5πt + π/2) (cm) và x₃ = 8cos(5πt – π/2) (cm). Xác định phương trình dao động tổng hợp của vật.

A. x = 5√2cos(5πt – π/4) cm
B. x = 5√2cos(5πt + 3π/4) cm
C. x = 5cos(5πt – π/3) cm
D. x = 5cos(5πt + 2π/3) cm

Lời giải:

Cách 1: Ta có: x₁ = 3sin(5πt + π/2) (cm) = 3cos5πt (cm)

x₂ và x₃ ngược pha nên: A₂₃ = 8 – 3 = 5 => x₂₃ = 5cos(5πt – π/2) (cm)

x₁ và x₂₃ vuông pha. Vậy: x = x₁ + x₂ + x₃ = 5√2cos(5πt – π/4) (cm)

Cách 2: Với máy FX570ES:

Chuyển sang chế độ CMPLX, nhập 5∠0 + 3∠(π/2) + 8∠(-π/2) => Kết quả: 5√2∠(-π/4)

=> Phương trình dao động tổng hợp: x = 5√2cos(5πt – π/4) (cm)

Chọn đáp án A.

Câu 9. Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có biểu thức x = 5√3cos(6πt + π/2) (cm). Dao động thứ nhất có biểu thức là x₁ = 5cos(6πt + π/3)(cm). Tìm biểu thức của dao động thứ hai.

A. x₂ = 5√2cos(6πt – π/4) cm
B. x₂ = 5√2cos(6πt + 3π/4) cm
C. x₂ = 5cos(6πt – π/3) cm
D. x₂ = 5cos(6πt + 2π/3) cm

Lời giải:

Cách 1:

Sử dụng công thức ngược để tìm dao động thành phần:

A₂² = A² + A₁² – 2AA₁cos(φ – φ₁) = (5√3)² + 5² – 2.5√3.5.cos(π/2 – π/3) = 50

=> A₂ = 5√2 cm

tanφ₂ = (Asinφ – A₁sinφ₁) / (Acosφ – A₁cosφ₁) = (5√3sin(π/2) – 5sin(π/3)) / (5√3cos(π/2) – 5cos(π/3)) = (5√3 – 5√3/2) / (0 – 5/2) = -√3

=> φ₂ = 2π/3

=> x₂ = 5√2cos(6πt + 2π/3) cm

Cách 2: Với máy FX570ES :

Chuyển sang chế độ CMPLX, nhập 5√3∠(π/2) – 5∠(π/3) => Kết quả: 5√2∠(2π/3)

Chọn đáp án D.

Câu 10. Một chất điểm tham gia đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương trên trục Ox có phương trình x₁ = 2√3sinωt (cm) và x₂ = A₂cos(ωt + φ₂) (cm). Phương trình dao động tổng hợp x = 2cos(ωt + φ)(cm), với φ₂ – φ = π/3. Biên độ và pha ban đầu của dao động thành phần 2 là :

A. A₂ = 4 cm; φ₂ = π/6
B. A₂ = 4 cm; φ₂ = π/3
C. A₂ = 2√3 cm; φ₂ = π/4
D. A₂ = 4√3 cm; φ₂ = π/3

Lời giải:

Viết lại phương trình dao động của thành phần 1:

x₁ = 2√3sinωt = 2√3cos(ωt – π/2) (cm)

Áp dụng công thức:

A₂² = A² + A₁² – 2AA₁cos(φ – φ₁) = 2² + (2√3)² – 2.2.2√3.cos(φ + π/2)

Mà φ₂ – φ = π/3 => φ = φ₂ – π/3

=> A₂² = 4 + 12 – 8√3cos(φ₂ – π/3 + π/2) = 16 – 8√3cos(φ₂ + π/6)

Mà A₂ = 2cos(ωt + φ₂) => φ₂ = π/6 => A₂ = 4 cm

Chọn đáp án A.

Câu 11. Cho hai dao động điều hòa cùng phương: x₁ = 2cos(4t + φ₁)cm và x₂ = 2cos(4t + φ₂)cm. Với 0 ≤ φ₂ – φ₁ ≤ π. Biết phương trình dao động tổng hợp x = 2 cos (4t + π/6) cm. Pha ban đầu φ₁ là :

A. π/2
B. -π/3
C. π/6
D. -π/6

Lời giải:

Áp dụng công thức tổng hợp dao động và điều kiện 0 ≤ φ₂ – φ₁ ≤ π, ta có:

φ₁ = -π/6

Chọn đáp án D.

Câu 12. Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li độ x = 3cos(πt – 5π/6) (cm). Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ x₁ = 5cos(πt + π/6) (cm). Dao động thứ hai có phương trình li độ là

A. x₂ = 8cos(πt + π/6) cm
B. x₂ = 2cos(πt + π/6) cm
C. x₂ = 2cos(πt – 5π/6) cm
D. x₂ = 8cos(πt – 5π/6) cm

Lời giải:

Nhận xét: ta thấy biên độ và pha đều cho rõ ràng nên cách giải nhanh nhất là dùng máy tính.

x₂ = x – x₁ = 3∠(-5π/6) – 5∠(π/6) = 2∠(-5π/6)

=> x₂ = 2cos(πt – 5π/6) cm

Chọn đáp án C.

Câu 13. Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động có các phương trình: x₁ = A₁cos(ωt + π/2) (cm); x₂ = 5 cos(ωt + φ)(cm). Phương trình dao động tổng hợp là x = 5√3cos(ωt + π/3). Giá trị của A₁ bằng

A. 5,0 cm hoặc 2,5 cm.
B. 2,5√3 cm hoặc 2,5 cm
C. 5,0 cm hoặc 10 cm
D. 2,5√3 cm hoặc 10 cm

Lời giải:

Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác OA₁A:

A² = A₁² + A₂² – 2A₁A₂cos(π – φ)

(5√3)² = A₁² + 5² – 2A₁.5.cos(π – φ)

=> 75 = A₁² + 25 + 10A₁cosφ

Mà cos(φ – π/2) = 5√3 / A => cosφ = 5√3 / A => A₁ = 5 hoặc A₁ = 10

Chọn đáp án C.

Câu 14. Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động có các phương trình: x₁ = A₁cos(ωt + π/2) (cm); x₂ = 5 cos(ωt + φ)(cm). Phương trình dao động tổng hợp là x = 5√3cos(ωt + π/3). Giá trị của A₁ bằng

A. 5,0 cm hoặc 2,5 cm.
B. 2,5√3 cm hoặc 2,5 cm
C. 5,0 cm hoặc 10 cm
D. 2,5√3 cm hoặc 10 cm

Lời giải:

(Giải tương tự câu 13)

Chọn đáp án C.

Câu 15. Cho hai dao động điều hòa cùng phương: x₁ = 2cos(4t + φ₁)cm và x₂ = 2cos(4t + φ₂)cm. Với 0 ≤ φ₂ – φ₁ ≤ π. Biết phương trình dao động tổng hợp x = 2cos(4t + π/6) cm. Pha ban đầu φ₁ là :

A. π/2
B. -π/3
C. π/6
D. -π/6

Lời giải:

(Giải tương tự câu 11)

Chọn đáp án D.

6. Bài Tập Bổ Sung

Tiếp tục luyện tập với các bài tập bổ sung sau để nâng cao kỹ năng giải bài tập tổng hợp dao động:

Câu 1: Xét 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động x₁=5cos(3πt+0,75π) cm, x₂=5sin(3πt-0,25π) cm. Pha ban đầu của dao động tổng hợp là:

A. 0,5π
B. 0
C. -0,5π
D. π

Câu 2: Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động cùng phương có phương trình lần lượt là x₁ = Acosωt và x₂ = Asinωt. Biên độ dao động của vật là

A. √3 A
B. 1 A
C. √2 A
D. 2 A

Câu 3: Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, lệch pha nhau π/2 với biên độ A₁ và A₂. Dao động tổng hợp của hai dao động trên có biên độ là

A. √|A₁² – A₂²|
B. √A₁² + A₂²
C. A₁ + A₂
D. |A₁ – A₂|

Câu 4: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ lần lượt là 6cm và 10cm. Biên độ dao động tổng hợp có thể là :

A. 2cm
B. 3cm
C. 5cm
D. 19cm

Câu 5: Hai