admin 1 ngày trước

Cộng Hai Vecto: Định Nghĩa, Tính Chất và Bài Tập Áp Dụng

Mục lục

Bạn đang gặp khó khăn với Cộng Hai Vecto? Bài viết này của CAUHOI2025.EDU.VN sẽ cung cấp cho bạn định nghĩa chi tiết, các tính chất quan trọng, quy tắc hình bình hành và các dạng bài tập áp dụng thường gặp, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết mọi bài toán. Cùng khám phá nhé!

1. Tổng và Hiệu của Hai Vecto

1.1. Tổng của Hai Vecto

1.1.1. Định Nghĩa Tổng của Hai Vecto

Tổng của hai vecto là một vecto mới được tạo thành từ hai vecto ban đầu.

Cách xác định:
1. Chọn một điểm A bất kỳ.
2. Vẽ vecto AB bằng vecto a (AB = a).
3. Từ điểm B, vẽ vecto BC bằng vecto b (BC = b).
4. Vecto AC chính là tổng của hai vecto a và b (AC = a + b).

Định nghĩa: Cho hai vecto $vec{a}$ và $vec{b}$. Lấy một điểm A, vẽ $vec{AB}=vec{a}$, $vec{BC}=vec{b}$. Vecto $vec{AC}$ được gọi là tổng của hai vecto $vec{a}$ và $vec{b}$, hay $vec{AB}$ và $vec{BC}$. Do đó, $vec{AC}=vec{a}+vec{b}$.

**Trong Các Phép Biến Hình Sau Phép Nào Không Phải Là Phép Dời Hình?**

Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD, tính:

a. $vec{AB}+vec{BC}$
b. $vec{AB}+vec{CD}$
c. $vec{AB}+vec{DC}$

Lời giải:

a. $vec{AB}+vec{BC}=vec{AC}$
b. $vec{AB}+vec{CD}=vec{AB}+vec{BA}=vec{AA}=vec{0}$
c. Dựng $vec{BE}=vec{DC}$, khi đó B là trung điểm AE. Vậy $vec{AB}+vec{DC}=vec{AB}+vec{BE}=vec{AE}$

**Trong Các Phép Biến Hình Sau Phép Nào Không Phải Là Phép Dời Hình?**

1.1.2. Tính Chất của Tổng Các Vecto

Với các vecto $vec{a}$, $vec{b}$, $vec{c}$ tùy ý, ta có:

Tính chất giao hoán: $vec{a}+vec{b}=vec{b}+vec{a}$
Tính chất kết hợp: $(vec{a}+vec{b})+vec{c}=vec{a}+(vec{b}+vec{c})$
Tính chất của vecto không: $vec{a}+vec{0}=vec{0}+vec{a}=vec{a}$

1.1.3. Quy Tắc Hình Bình Hành

1.1.3.1. Quy Tắc

Nếu ABCD là hình bình hành, thì $vec{AB}+vec{AD}=vec{AC}$.

**Trong Các Phép Biến Hình Sau Phép Nào Không Phải Là Phép Dời Hình?**

1.1.3.2. Ví Dụ

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD (đáy ABCD là hình bình hành). Chứng minh: $vec{SA}+vec{SC}=vec{SB}+vec{SD}$

Lời giải:

$vec{SA}+vec{SC} = (vec{SO} + vec{OA}) + (vec{SO} + vec{OC}) = 2vec{SO} + (vec{OA} + vec{OC})$

Vì O là trung điểm AC nên $vec{OA} + vec{OC} = vec{0}$.
$Rightarrow vec{SA}+vec{SC}=2vec{SO}$

Tương tự, $vec{SB}+vec{SD} = 2vec{SO}$.

Vậy $vec{SA}+vec{SC}=vec{SB}+vec{SD}$ (điều phải chứng minh).

**Trong Các Phép Biến Hình Sau Phép Nào Không Phải Là Phép Dời Hình?**

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD tâm I. Khẳng định nào sau đây là sai?

$vec{IA}+vec{IC}=0$
$vec{AB}=vec{DC}$
$vec{AC}=vec{BD}$
$vec{AB}+vec{AD}=vec{AC}$

Lời giải:

Đáp án sai là 3. $vec{AC}=vec{BD}$ vì hai vecto này không cùng phương và không cùng độ dài.

**Trong Các Phép Biến Hình Sau Phép Nào Không Phải Là Phép Dời Hình?**

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H lên AB và AC. Khẳng định nào sau đây là sai?

$vec{AH}=vec{AI}+vec{AK}$
$vec{AH}=vec{KH}+vec{AK}$
$vec{AH}=vec{IH}+vec{AI}$
$vec{AH}=vec{AB}+vec{AK}$

Lời giải:

Đáp án sai là 4. $vec{AH}=vec{AB}+vec{AK}$. Vì AIHK là hình chữ nhật nên $vec{AH}=vec{AI}+vec{AK}$.

**Trong Các Phép Biến Hình Sau Phép Nào Không Phải Là Phép Dời Hình?**

Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD (E là trung điểm AD, F là trung điểm BC). Khẳng định sai là?

$vec{BD}=vec{BA}+vec{BC}$
$vec{BD}=vec{BE}+vec{BF}$
$vec{BD}=vec{AC}$
$vec{BD}=vec{CD}+vec{AD}$

Lời giải:

Đáp án sai là 3. $vec{BD}=vec{AC}$.

**Trong Các Phép Biến Hình Sau Phép Nào Không Phải Là Phép Dời Hình?**

1.2. Hiệu của Hai Vecto

1.2.1. Vecto Đối

Vecto đối của vecto $vec{a}$ là vecto có cùng độ dài và ngược hướng với $vec{a}$, ký hiệu $-vec{a}$. Vecto đối của vecto $vec{0}$ là chính vecto $vec{0}$.

1.2.2. Hiệu của Hai Vecto

Hiệu của hai vecto $vec{a}$ và $vec{b}$, ký hiệu $vec{a}-vec{b}$, là tổng của vecto $vec{a}$ và vecto đối của $vec{b}$, tức là $vec{a}+(-vec{b})$.

Vậy, $vec{a}-vec{b}=vec{a}+(-vec{b})$.

Quy tắc hiệu vecto: Với vecto $vec{AB}$ đã cho và một điểm O bất kỳ, ta luôn có: $vec{AB}=vec{OB}-vec{OA}$.

**Trong Các Phép Biến Hình Sau Phép Nào Không Phải Là Phép Dời Hình?**

Ví dụ 6: Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Chứng minh rằng: $vec{AB}-vec{AD}=vec{DC}-vec{BC}$

Lời giải:

Ta có: $vec{AB}-vec{AD}=vec{DB}$ (1) (áp dụng quy tắc hiệu hai vecto)

Lại có: $vec{DC}-vec{BC}=vec{DC}+(-vec{BC})=vec{DC}+vec{CB}=vec{DB}$ (2) (áp dụng quy tắc ba điểm về tổng hai vecto)

Từ (1) và (2) => $vec{AB}-vec{AD}=vec{DC}-vec{BC}$ (điều phải chứng minh).

Ví dụ 7: Tính $vec{MN}-vec{QP}+vec{RN}-vec{PN}+vec{QR}$

Lời giải:

$vec{MN}-vec{QP}+vec{RN}-vec{PN}+vec{QR} = vec{MN} + vec{PQ} + vec{RN} + vec{NP} + vec{QR} = (vec{MN} + vec{NP}) + (vec{PQ} + vec{QR}) + vec{RN} = vec{MP} + vec{PR} + vec{RN} = vec{MR} + vec{RN} = vec{MN}$

**Trong Các Phép Biến Hình Sau Phép Nào Không Phải Là Phép Dời Hình?**

2. Ứng Dụng của Tổng và Hiệu Hai Vecto

Trung điểm của đoạn thẳng: I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $vec{IA}+vec{IB}=vec{0}$.
Trọng tâm của tam giác: Với G là trọng tâm của tam giác MNP, ta có $vec{GM}+vec{GN}+vec{GP}=vec{0}$.
Tính chất của vecto không: $vec{AB}+vec{0}=vec{0}+vec{AB}=vec{AB}$.

3. Các Dạng Bài Tập về Tổng và Hiệu của Hai Vecto

3.1. Xác Định Độ Dài Tổng và Hiệu của 2 Vecto

3.1.1. Phương Pháp Giải

Đưa tổng hoặc hiệu của các vecto về một vecto có độ dài là một cạnh của đa giác để tính độ dài của vecto đó.

3.1.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 8: Cho hình chữ nhật ABCD. Biết AB = 4a, AD = 2a. Tính: $left | vec{AB}+vec{AD}right |$

Lời giải:

$vec{AB}+vec{AD}=vec{AC}$ (quy tắc hình bình hành)

$Rightarrow left | vec{AB}+vec{AD}right|=left | vec{AC} right |=AC$

Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC = AD = 2a.

Xét tam giác ABC vuông tại B, áp dụng định lý Py-ta-go:

$AC^{2}=left ( 4a right )^{2}+left ( 2a right )^{2}=20a^{2}$
$Rightarrow AC=sqrt{20a^{2}}=2sqrt{5}a$

Ví dụ 9: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính $left | vec{CA}-vec{BA}right |$

**Trong Các Phép Biến Hình Sau Phép Nào Không Phải Là Phép Dời Hình?**

Lời giải:

Vì $vec{BA}=-vec{AB}$ nên ta có:

$vec{CA}-vec{BA}=vec{CA}+vec{AB}=vec{CB}$

$Rightarrow left | vec{CA}-vec{BA}right |=left | vec{CB} right |=CB=a$

Ví dụ 10: Cho hình vuông ABCD cạnh a, M là một điểm bất kỳ. Tính $left | vec{MA}-vec{MB}-vec{MC}+vec{MD}right |$

Lời giải:

$vec{MA}-vec{MB}-vec{MC}+vec{MD} = (vec{MA} + vec{MD}) – (vec{MB} + vec{MC}) = vec{ME} – vec{MF}$, với E, F lần lượt là trung điểm AD và BC.
$Rightarrow vec{ME} – vec{MF} = vec{FE} = vec{AB}$
$Rightarrow left | vec{MA}-vec{MB}-vec{MC}+vec{MD}right | = a$

**Trong Các Phép Biến Hình Sau Phép Nào Không Phải Là Phép Dời Hình?**

3.2. Chứng Minh Các Đẳng Thức Vecto Từ Việc Biến Đổi

3.2.1. Phương Pháp Giải

Áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trọng tâm, trung điểm để biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức, hoặc biến đổi cả hai vế để được hai vế bằng nhau. Hoặc biến đổi đẳng thức vecto cần chứng minh tương đương với một đẳng thức vecto đã được công nhận là đúng.

3.2.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 11: Cho sáu điểm tùy ý A, B, C, D, E, F. Chứng minh đẳng thức sau:

$vec{AD}+vec{BE}+vec{CF}=vec{AE}+vec{BF}+vec{CD}$

Lời giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có: $vec{AD}=vec{AC}+vec{CD}$

Vế trái: $vec{AD}+vec{BE}+vec{CF}=vec{AC}+vec{CD}+vec{BE}+vec{CF} = (vec{AC}+vec{CF})+vec{CD}+vec{BE}=vec{AF}+vec{CD}+vec{BE}$

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có: $vec{AF}=vec{AE}+vec{EF}$

Vế phải: $vec{AE}+vec{BF}+vec{CD}=vec{AE}+(vec{BE}+vec{EF})+vec{CD}=vec{AE}+vec{BF}+vec{CD}$ = Vế trái (điều phải chứng minh).

Ví dụ 12: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC. Điểm O bất kỳ. Chứng minh đẳng thức: $vec{OA}+vec{OB}+vec{OC}=vec{OM}+vec{ON}+vec{OP}$

**Trong Các Phép Biến Hình Sau Phép Nào Không Phải Là Phép Dời Hình?**

Lời giải:

Giả sử $vec{OA}+vec{OB}+vec{OC}=vec{OM}+vec{ON}+vec{OP}$ là đúng.

$Rightarrow vec{OM}-vec{OA} + vec{ON} – vec{OB} + vec{OP} – vec{OC} = vec{0}$

$Rightarrow (vec{OA} + vec{AM}) – vec{OA} + (vec{OC} + vec{CN}) – vec{OB} + (vec{OB} + vec{BP}) – vec{OC} = vec{0}$

$Rightarrow vec{AM} + vec{CN} + vec{BP} = vec{0}$

Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC nên:
$vec{AM} = 1/2 vec{AB}$
$vec{CN} = 1/2 vec{CA}$
$vec{BP} = 1/2 vec{BC}$
$Rightarrow 1/2(vec{AB} + vec{CA} + vec{BC}) = 1/2 (vec{0}) = vec{0}$ (đpcm)

**Trong Các Phép Biến Hình Sau Phép Nào Không Phải Là Phép Dời Hình?**

Ví dụ 13: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn $vec{AB}+vec{AC}=vec{AB}-vec{AC}$ thì tam giác ABC là tam giác vuông.

Lời giải:

$vec{AB}+vec{AC}=vec{AB}-vec{AC}$
$Rightarrow vec{AC} = -vec{AC}$
$Rightarrow 2vec{AC} = vec{0}$
$Rightarrow vec{AC} = vec{0}$
Điều này chỉ xảy ra khi A trùng với C, tức là tam giác ABC suy biến thành một đoạn thẳng, không thỏa mãn là tam giác vuông.

Lưu ý: Đề bài có thể có sai sót. Nếu đề bài là $left | vec{AB}+vec{AC} right | = left | vec{AB}-vec{AC} right |$ thì giải như sau:

Gọi M là trung điểm BC.
$Rightarrow vec{AB} + vec{AC} = 2vec{AM}$
$left | vec{AB} + vec{AC} right | = left | 2vec{AM} right | = 2AM$
Mặt khác, $vec{AB} – vec{AC} = vec{CB}$
$left | vec{AB} – vec{AC} right | = left | vec{CB} right | = CB$
$Rightarrow 2AM = CB$
Mà $CM = MB = CB/2$
$Rightarrow AM = CM = MB$
$Rightarrow $ Tam giác ABC vuông tại A (trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).

**Trong Các Phép Biến Hình Sau Phép Nào Không Phải Là Phép Dời Hình?**

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã có thể hiểu rõ hơn về cộng hai vecto và các ứng dụng của nó. Nếu bạn vẫn còn thắc mắc, đừng ngần ngại truy cập CAUHOI2025.EDU.VN để được giải đáp chi tiết hơn nhé!

Bạn muốn khám phá thêm nhiều kiến thức bổ ích và nhận được sự tư vấn tận tình? Hãy truy cập CAUHOI2025.EDU.VN ngay hôm nay! Tại đây, bạn có thể đặt câu hỏi, tìm kiếm thông tin và kết nối với đội ngũ chuyên gia để được hỗ trợ tốt nhất. Chúng tôi luôn sẵn sàng đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục tri thức!

Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam

Số điện thoại: +84 2435162967

Trang web: CauHoi2025.EDU.VN

FAQ – Câu Hỏi Thường Gặp về Cộng Hai Vecto

Cộng hai vecto là gì?
- Cộng hai vecto là phép toán tạo ra một vecto mới từ hai vecto ban đầu, thể hiện sự kết hợp của hai chuyển động hoặc lực tác động.
Làm thế nào để cộng hai vecto bằng quy tắc hình bình hành?
- Dựng hình bình hành có hai cạnh là hai vecto cần cộng. Vecto đường chéo xuất phát từ gốc chung của hai vecto là tổng của chúng.
Tính chất giao hoán của phép cộng vecto là gì?
- Tính chất giao hoán nói rằng thứ tự cộng hai vecto không ảnh hưởng đến kết quả: $vec{a}+vec{b}=vec{b}+vec{a}$.
Vecto không có vai trò gì trong phép cộng vecto?
- Vecto không là phần tử trung hòa của phép cộng vecto: $vec{a}+vec{0}=vec{a}$.
Hiệu của hai vecto được định nghĩa như thế nào?
- Hiệu của hai vecto là tổng của vecto thứ nhất và vecto đối của vecto thứ hai: $vec{a}-vec{b}=vec{a}+(-vec{b})$.
Vecto đối là gì?
- Vecto đối của một vecto có cùng độ dài nhưng ngược hướng với vecto đó.
Làm thế nào để xác định độ dài của tổng hai vecto?
- Sử dụng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác để đưa về một vecto duy nhất, sau đó tính độ dài của vecto đó.
Ứng dụng của phép cộng vecto trong vật lý là gì?
- Phép cộng vecto được sử dụng để tính hợp lực của nhiều lực tác động lên một vật, hoặc để tính vận tốc tổng hợp của một vật chuyển động.
Trọng tâm của tam giác có liên quan gì đến phép cộng vecto?
- Nếu G là trọng tâm tam giác ABC, thì $vec{GA}+vec{GB}+vec{GC}=vec{0}$.
Làm thế nào để chứng minh một đẳng thức vecto?
- Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vecto, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm để biến đổi một vế thành vế kia, hoặc biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức.