Phương Trình Chính Tắc Của Elip Là Gì? Chứng Minh Chi Tiết

Bạn đang gặp khó khăn trong việc hiểu và Chứng Minh Phương Trình Chính Tắc Của Elip? Bài viết này của CAUHOI2025.EDU.VN sẽ cung cấp cho bạn lời giải đáp chi tiết, dễ hiểu, cùng các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng. Khám phá ngay để nắm vững kiến thức quan trọng này!

Mục lục

1. Định nghĩa Elip
2. Chứng minh phương trình chính tắc của Elip
3. Các yếu tố của Elip
4. Ứng dụng và bài tập vận dụng
5. Câu hỏi thường gặp (FAQ)
6. Kết luận

1. Định Nghĩa Elip

Elip là gì? Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ gọi là các tiêu điểm. Elip là tập hợp các điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm là một hằng số: $MF_1 + MF_2 = 2a$, trong đó a là một số dương cho trước.

Khoảng cách giữa hai tiêu điểm $F_1F_2 = 2c$ được gọi là tiêu cự của elip, với c là một số dương.

2. Chứng Minh Phương Trình Chính Tắc Của Elip

2.1. Thiết Lập Hệ Tọa Độ

Để chứng minh phương trình chính tắc của elip, ta thực hiện như sau:

• Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho hai tiêu điểm $F_1$ và $F_2$ nằm trên trục Ox, và gốc O là trung điểm của đoạn $F_1F_2$.
• Khi đó, tọa độ của các tiêu điểm là $F_1(-c; 0)$ và $F_2(c; 0)$.

2.2. Thiết Lập Phương Trình

Gọi M(x; y) là một điểm bất kỳ thuộc elip. Theo định nghĩa, ta có:

$MF_1 + MF_2 = 2a$

Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, ta có:

$sqrt{(x + c)^2 + y^2} + sqrt{(x – c)^2 + y^2} = 2a$

Để đơn giản hóa phương trình, ta chuyển một căn sang vế phải và bình phương hai vế:

$(x + c)^2 + y^2 = 4a^2 – 4asqrt{(x – c)^2 + y^2} + (x – c)^2 + y^2$

Rút gọn, ta được:

$4cx – 4a^2 = -4asqrt{(x – c)^2 + y^2}$

Chia cả hai vế cho -4a và bình phương lại, ta có:

$(cx – a^2)^2 = a^2[(x – c)^2 + y^2]$

$c^2x^2 – 2a^2cx + a^4 = a^2x^2 – 2a^2cx + a^2c^2 + a^2y^2$

Sắp xếp lại, ta được:

$a^2x^2 – c^2x^2 + a^2y^2 = a^4 – a^2c^2$

$(a^2 – c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 – c^2)$

2.3. Đặt $b^2 = a^2 – c^2$

Vì $2a > 2c$ (tổng hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba trong tam giác $MF_1F_2$), nên $a > c$, suy ra $a^2 – c^2 > 0$. Đặt $b^2 = a^2 – c^2$, ta có:

$b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2$

Chia cả hai vế cho $a^2b^2$, ta được phương trình chính tắc của elip:

$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$

Trong đó:

• a là độ dài bán trục lớn.
• b là độ dài bán trục bé.
• c là tiêu cự, với $c^2 = a^2 – b^2$.

Phương trình này cho thấy mối liên hệ giữa tọa độ (x, y) của mọi điểm nằm trên elip và các tham số a, b đặc trưng cho hình dạng của elip.

3. Các Yếu Tố Của Elip

3.1. Trục Đối Xứng và Tâm Đối Xứng

• Elip có hai trục đối xứng là trục Ox và trục Oy.
• Elip có tâm đối xứng là gốc tọa độ O.

Nếu điểm M(x; y) thuộc elip (E), thì các điểm $M_1$(-x; y), $M_2$(x; -y) cũng thuộc (E). Điều này chứng tỏ tính đối xứng của elip qua các trục tọa độ.

3.2. Các Đỉnh Của Elip

• Elip cắt trục Ox tại hai điểm $A_1(-a; 0)$ và $A_2(a; 0)$.
• Elip cắt trục Oy tại hai điểm $B_1(0; -b)$ và $B_2(0; b)$.

Các điểm $A_1, A_2, B_1, B_2$ được gọi là các đỉnh của elip.

• Đoạn thẳng $A_1A_2$ là trục lớn của elip, có độ dài bằng 2a.
• Đoạn thẳng $B_1B_2$ là trục bé của elip, có độ dài bằng 2b.

3.3. Tiêu Điểm và Tiêu Cự

• Elip có hai tiêu điểm là $F_1(-c; 0)$ và $F_2(c; 0)$.
• Khoảng cách giữa hai tiêu điểm $F_1F_2 = 2c$ được gọi là tiêu cự của elip.

3.4. Tâm Sai Của Elip

Tâm sai của elip, ký hiệu là e, được định nghĩa là tỷ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn:

$e = frac{c}{a}$

Vì $c < a$, nên $0 < e < 1$. Tâm sai đặc trưng cho độ “dẹt” của elip. Khi e càng gần 0, elip càng giống đường tròn. Khi e càng gần 1, elip càng dẹt.

Ví dụ:

Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và vẽ elip (E) có phương trình: $frac{x^2}{25} + frac{y^2}{9} = 1$

Giải:

• Từ phương trình, ta có $a^2 = 25$ và $b^2 = 9$, suy ra $a = 5$ và $b = 3$.
• Tính $c = sqrt{a^2 – b^2} = sqrt{25 – 9} = 4$.

Vậy (E) có:

• Trục lớn: $A_1A_2 = 2a = 10$
• Trục bé: $B_1B_2 = 2b = 6$
• Hai tiêu điểm: $F_1(-4; 0), F_2(4; 0)$
• Bốn đỉnh: $A_1(-5; 0), A_2(5; 0), B_1(0; -3), B_2(0; 3)$

4. Ứng Dụng Và Bài Tập Vận Dụng

Elip có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các bài toán hình học. Dưới đây là một số ví dụ và bài tập vận dụng:

4.1. Ứng Dụng Thực Tế

• Thiên văn học: Quỹ đạo của các hành tinh quanh Mặt Trời có dạng elip, với Mặt Trời là một trong hai tiêu điểm.
• Kiến trúc: Nhiều công trình kiến trúc sử dụng hình dạng elip để tạo sự độc đáo và tính thẩm mỹ, ví dụ như các mái vòm elip.
• Cơ học: Elip xuất hiện trong các bài toán về chuyển động của vật thể dưới tác dụng của lực hấp dẫn.

4.2. Bài Tập Vận Dụng

Câu 1: Cho elip (E): $frac{x^2}{16} + frac{y^2}{12} = 1$ và điểm M nằm trên (E). Giả sử điểm M có hoành độ bằng 1, tính khoảng cách từ M tới hai tiêu điểm của (E).

Giải:

• Ta có $a^2 = 16, b^2 = 12$, suy ra $c^2 = a^2 – b^2 = 4 Rightarrow a = 4; c = 2$.
• Hai tiêu điểm là $F_1(-2; 0); F_2(2; 0)$.
• Điểm M thuộc (E) và $x_M = 1 Rightarrow y_M = pm frac{3sqrt{5}}{2}$.
• Tâm sai của elip $e = frac{c}{a} = frac{2}{4} = frac{1}{2}$.
• $MF_1 = a + ex_M = 4 + 0.5 = 4.5$
• $MF_2 = a – ex_M = 4 – 0.5 = 3.5$

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm sai bằng $frac{sqrt{3}}{3}$ và độ dài đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng $2sqrt{5}$.

Giải:

• Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2}$ với a > b > 0.
• Tâm sai $e = frac{c}{a} = frac{sqrt{3}}{3} Leftrightarrow c^2 = frac{a^2}{3}$.
• Độ dài đường chéo hình chữ nhật $sqrt{(2a)^2 + (2b)^2} = 2sqrt{5} Leftrightarrow a^2 + b^2 = 5 Leftrightarrow b^2 = 5 – a^2$.
• Khi đó: $a^2 = b^2 + c^2 Leftrightarrow a^2 = 5 – a^2 + frac{a^2}{3} Leftrightarrow a^2 = 3 Rightarrow b^2 = 2$.
• Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: $frac{x^2}{3} + frac{y^2}{2} = 1$

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng elip (E) có hai tiêu điểm $F_1, F_2$, với $F_1(-sqrt{3}; 0)$ và có một điểm M thuộc (E) để tam giác $F_1MF_2$ vuông tại M và có $S = 1$.

Giải:

• Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2}$ với a > b > 0.
• Với $F_1(-sqrt{3}; 0)$, suy ra $c = sqrt{3} Rightarrow a^2 – b^2 = c^2 = 3$ hay $a^2 = b^2 + 3$ (1).
• Gọi $M(x_0; y_0) Rightarrow begin{cases} overrightarrow{MF_1} = (-sqrt{3} – x_0; -y_0) overrightarrow{MF_2} = (sqrt{3} – x_0; -y_0) end{cases}$.
• Khi đó: $widehat{F_1MF_2} = 90^circ Leftrightarrow overrightarrow{MF_1}.overrightarrow{MF_2} = 0 Leftrightarrow x_0^2 – 3 + y_0^2 = 0 Leftrightarrow x_0^2 + y_0^2 = 3$.
• Ta có: $S_{F_1MF_2} = frac{1}{2}d(M, Ox).F_1F_2 = frac{1}{2}|y_0|.2sqrt{3} = sqrt{3}|y_0| = 1 Leftrightarrow y_0^2 = frac{1}{3} Rightarrow x_0^2 = frac{8}{3}$.
• Mặt khác $M(x_0; y_0) in (E) Leftrightarrow frac{x_0^2}{a^2} + frac{y_0^2}{b^2} = 1 Leftrightarrow frac{8}{3a^2} + frac{1}{3b^2} = 1$ (2).
• Thay (1) vào (2) ta được: $frac{8}{3(b^2 + 3)} + frac{1}{3b^2} = 1 Leftrightarrow 3b^4 = 3 Leftrightarrow b = 1$ (do b > 0) $Rightarrow a^2 = 4$.
• Vậy phương trình chính tắc của elip (E) cần lập là: $frac{x^2}{4} + y^2 = 1$

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): $x^2 + y^2 = 8$. Biết (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông. Hãy viết phương trình chính tắc elip (E).

Giải:

• Ta có phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$.
• (E) có độ dài trục lớn bằng 8 nên suy ra $2a = 8 Rightarrow a = 4$.
• (E) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt tạo thành 4 đỉnh của một hình vuông $Rightarrow$ 4 đỉnh nằm trên hai đường phân giác thuộc góc phần tư thứ nhất và thứ hai.

• Ta giả sử A là một giao điểm của (E) và (C) thuộc đường phân giác $Delta$: y = x.
• Gọi $A(t; t) in Delta$ (t > 0). Ta có: $A in (C) Rightarrow t^2 + t^2 = 8 Leftrightarrow t = 2$ (vì t > 0) $Rightarrow A(2; 2)$.
• Mà $A in (E) Rightarrow frac{2^2}{4^2} + frac{2^2}{b^2} = 1 Rightarrow b^2 = frac{16}{3}$.
• Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: $frac{x^2}{16} + frac{y^2}{frac{16}{3}} = 1$

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm $F_1(-sqrt{3}; 0), F_2(sqrt{3}; 0)$ và đi qua điểm $A(sqrt{3}; frac{1}{2})$. Hãy lập phương trình chính tắc của (E) và với mỗi điểm M thuộc (E), hãy tính giá trị biểu thức: $P = MF_1^2 + MF_2^2 – 3OM^2 – MF_1MF_2$.

Giải:

• Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$ với a > b > 0.
• (E) có hai tiêu điểm $F_1(-sqrt{3}; 0), F_2(sqrt{3}; 0)$ suy ra $c = sqrt{3}$.
• Khi đó $a^2 – b^2 = c^2 = 3 Rightarrow a^2 = b^2 + 3 Rightarrow (E): frac{x^2}{b^2 + 3} + frac{y^2}{b^2} = 1$.
• Với $A(sqrt{3}; frac{1}{2}) in (E) Rightarrow frac{3}{b^2 + 3} + frac{1}{4b^2} = 1 Leftrightarrow 4b^4 – b^2 – 3 = 0 Leftrightarrow (4b^2 + 3)(b^2 – 1) = 0 Leftrightarrow b^2 = 1 Rightarrow a^2 = 4$.
• Vậy phương trình chính tắc của (E) là: $frac{x^2}{4} + y^2 = 1$.

$M(x_0; y_0) in (E) Rightarrow begin{cases} MF_1 = a + frac{c}{a}x_0; MF_2 = a – frac{c}{a}x_0 OM^2 = x_0^2 + y_0^2; frac{x_0^2}{4} + y_0^2 = 1 end{cases}$.

Khi đó:

$P = (a + frac{c}{a}x_0)^2 + (a – frac{c}{a}x_0)^2 – 3(x_0^2 + y_0^2) – (a + frac{c}{a}x_0)(a – frac{c}{a}x_0)$

$= a^2 + frac{c^2}{a^2}x_0^2 – 3(x_0^2 + y_0^2)$

$= 4 + frac{3}{4}x_0^2 – 3(x_0^2 + y_0^2)$

$= 4 – 3(frac{x_0^2}{4} + y_0^2)$

$= 4 – 3 = 1$

Vậy P = 1

Các bài tập này giúp bạn làm quen với việc áp dụng phương trình chính tắc của elip để giải quyết các bài toán hình học, tính toán khoảng cách và tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của elip.

5. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)

1. Phương trình chính tắc của elip dùng để làm gì?

Phương trình chính tắc của elip cho phép bạn mô tả hình dạng và vị trí của elip trong mặt phẳng tọa độ. Nó cũng được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến elip, chẳng hạn như tìm khoảng cách từ một điểm đến tiêu điểm, tính diện tích hình elip, hoặc xác định các yếu tố của elip khi biết phương trình.

2. Làm thế nào để nhận biết một phương trình là phương trình của elip?

Một phương trình có dạng $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$ là phương trình của elip nếu $a > 0$ và $b > 0$.

3. Nếu a = b trong phương trình chính tắc của elip thì sao?

Nếu a = b, phương trình trở thành $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{a^2} = 1$, tương đương với $x^2 + y^2 = a^2$. Đây là phương trình của một đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng a.

4. Tiêu cự của elip có ảnh hưởng đến hình dạng của elip như thế nào?

Tiêu cự càng lớn (tức là c càng lớn), elip càng dẹt. Ngược lại, tiêu cự càng nhỏ (tức là c càng nhỏ), elip càng tròn hơn.

5. Tâm sai của elip có giá trị như thế nào?

Tâm sai của elip có giá trị nằm trong khoảng từ 0 đến 1 (0 < e < 1).

6. Làm thế nào để tìm tọa độ tiêu điểm của elip khi biết phương trình chính tắc?

Từ phương trình chính tắc $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$, bạn tính $c = sqrt{a^2 – b^2}$. Tọa độ các tiêu điểm là $F_1(-c; 0)$ và $F_2(c; 0)$.

7. Có những loại bài tập nào thường gặp về elip?

Các loại bài tập thường gặp về elip bao gồm:

• Viết phương trình chính tắc của elip khi biết các yếu tố như độ dài trục lớn, trục bé, tiêu cự, tâm sai.
• Tìm các yếu tố của elip khi biết phương trình chính tắc.
• Tính khoảng cách từ một điểm đến tiêu điểm của elip.
• Tìm giao điểm của elip với đường thẳng hoặc đường tròn.
• Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của elip.

8. Tại sao elip lại quan trọng trong thiên văn học?

Elip quan trọng trong thiên văn học vì quỹ đạo của các hành tinh quanh Mặt Trời có dạng elip. Điều này được Johannes Kepler phát hiện vào đầu thế kỷ 17 và là một trong những định luật cơ bản của chuyển động hành tinh.

9. Ngoài thiên văn học, elip còn có ứng dụng nào khác không?

Ngoài thiên văn học, elip còn có ứng dụng trong kiến trúc (thiết kế mái vòm, cầu), quang học (thiết kế gương phản xạ), và cơ khí (thiết kế các bộ phận máy móc).

10. Làm thế nào để vẽ một elip?

Có nhiều cách để vẽ elip, một trong những cách đơn giản nhất là sử dụng hai đinh ghim, một sợi dây và một cây bút chì. Cắm hai đinh ghim tại hai tiêu điểm của elip, buộc hai đầu sợi dây vào hai đinh ghim sao cho độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai đinh ghim. Kéo căng sợi dây bằng bút chì và di chuyển bút chì xung quanh hai đinh ghim, bút chì sẽ vẽ nên hình elip.

6. Kết Luận

Hiểu rõ về phương trình chính tắc của elip là nền tảng quan trọng để nắm vững kiến thức về hình học giải tích và ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau. CAUHOI2025.EDU.VN hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những thông tin chi tiết và dễ hiểu nhất về chủ đề này.

Nếu bạn vẫn còn bất kỳ thắc mắc nào hoặc muốn tìm hiểu thêm về các chủ đề toán học khác, đừng ngần ngại truy cập CAUHOI2025.EDU.VN để khám phá thêm nhiều kiến thức hữu ích. Bạn cũng có thể liên hệ với chúng tôi qua địa chỉ 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam hoặc số điện thoại +84 2435162967 để được tư vấn và hỗ trợ tốt nhất.

CauHoi2025.EDU.VN luôn sẵn sàng đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục tri thức!