admin 2 giờ trước

Cấp Số Nhân và Cấp Số Cộng Là Gì? Tổng Hợp Công Thức & Bài Tập

Mục lục

Bạn đang gặp khó khăn trong việc phân biệt và áp dụng công thức Cấp Số Nhân Và Cấp Số Cộng? CAUHOI2025.EDU.VN sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức về cấp số nhân và cấp số cộng, từ định nghĩa, công thức tổng quát đến các bài tập vận dụng chi tiết, giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài toán. Khám phá ngay để làm chủ kiến thức toán học quan trọng này!

1. Tổng Quan Về Cấp Số Nhân và Cấp Số Cộng

1.1. Cấp Số Nhân

Trong chương trình Toán THPT, cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện số thứ hai của dãy số đó là tích của số đứng trước với một số không đổi. Số không đổi này được gọi là công bội của cấp số nhân. Từ đó ta có định nghĩa về cấp số nhân như sau:

(un) là cấp số nhân tương đương với (u{n+1} = u_n . q), trong đó n ∈ N*.
q là công bội và q được tính: (q=frac{u_{n+1}}{u_n}).

Số hạng tổng quát:

Để có thể tính số hạng tổng quát của cấp số nhân, chúng ta áp dụng công thức sau:

(u_n = u_1 . q^{n-1})

Ví dụ: Cho cấp số nhân (u_n) có (u_1 = 3) và công bội (q = 2). Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân.

Giải: Áp dụng công thức, ta có: (u_5 = u_1 . q^{5-1} = 3 . 2^4 = 48).

Tính chất của cấp số nhân

Alt: Công thức và tính chất cơ bản của cấp số nhân trong toán học

Tổng n số hạng đầu:

Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân được tính theo công thức:

(S_n = u_1 * frac{1 – q^n}{1 – q}) (khi q ≠ 1)

Ví dụ: Tính tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân có (u_1 = 2) và (q = 3).

Giải: (S_5 = 2 frac{1 – 3^5}{1 – 3} = 2 frac{-242}{-2} = 242)

1.2. Cấp Số Cộng

Cấp số cộng được dùng để chỉ một dãy số thỏa mãn số đứng sau bằng tổng của số đứng trước với một số không đổi. Số không đổi này gọi là công sai. Dãy số cấp số cộng có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. Ví dụ như: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …

Từ đó chúng ta có định nghĩa:

(un) là cấp số cộng nếu: (u{n + 1} = u_n + d)

Trong đó có d là công sai = (u_{n + 1} – u_n)

Số hạng tổng quát:

Chúng ta tính được số hạng tổng quát bằng cách thông qua số hạng đầu và công sai có công thức như sau:

(u_n = u_1 + (n – 1)d)

Ví dụ: Cho cấp số cộng có (u_1 = 5) và công sai (d = 3). Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng.

Giải: Áp dụng công thức, ta có: (u_{10} = 5 + (10 – 1) * 3 = 5 + 27 = 32)

Tính chất cấp số cộng:

Các số hạng của cấp số cộng có mối liên hệ đặc biệt. Theo đó, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) bằng trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó:

Tổng n số hạng đầu:

Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng được tính bằng một trong các công thức sau:

2. Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Cộng và Cấp Số Nhân

Công thức cấp số nhân, cấp số cộng rất dễ ghi nhớ. Đây là các công thức có liên quan tới giá trị đặc trưng của 2 dạng dãy số này.

2.1. Công Thức Cấp Số Cộng

(u_n = u_m + (n-m)d)

Từ công thức tổng quát trên ta suy ra số hạng thứ 2 trở đi của cấp số cộng bằng trung bình cộng của 2 số hạng liền kề nó.

Ví dụ: Số hạng thứ 2 của cấp số cộng là bao nhiêu biết số hạng thứ 7 là 100, công sai là 2.

Giải:

Áp dụng công thức ta có số hạng thứ 2 của cấp số cộng là : (u_2 = u_7 + (2 – 7)d = 100 – 5.2 = 90)

Chúng ta có 2 công thức để tính tổng n số hạng đầu đối với cấp số cộng. Ta có:

Ví dụ: Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng biết cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 2.

Giải:

Áp dụng công thức ta có:

2.2. Công Thức Cấp Số Nhân

(u_n=u_m.q^{n-m})

Ví dụ: Biết số hạng thứ 8 của cấp số nhân bằng 32 và công bội bằng 2. Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân.

Giải:

Áp dụng công thức ta có:

Alt: Áp dụng công thức cấp số nhân để giải bài tập cụ thể

Từ công thức trên ta suy ra được các công thức:

(u_n = u_1.q^{n-1}), ∀ n ≥ 2

, ∀ k ≥ 2

Tổng n số hạng đầu cấp số nhân được tính theo công thức:

Ví dụ: Cho cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2, công bội bằng 3. Tính tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân.

Giải: Áp dụng công thức ta có:

Alt: Bài tập minh họa về cách tính tổng các số hạng đầu trong cấp số nhân

>> Xem thêm: Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và bài tập

3. Bài Tập Về Cấp Số Cộng và Cấp Số Nhân (Kèm Lời Giải Chi Tiết)

Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách áp dụng các công thức và tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân, CAUHOI2025.EDU.VN xin giới thiệu một số bài tập điển hình, kèm theo lời giải chi tiết và dễ hiểu.

Bài 1: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết rằng tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.

Giải:

Giả sử công sai là d = 2x, 4 số hạng đó lần lượt là : a-3x, a-x, a+x, a+3x. Lúc này ta có:

Alt: Giải bài tập tìm số hạng của cấp số cộng dựa trên tổng và tổng bình phương

Kết luận bốn số chúng ta cần tìm lần lượt là 2, 4, 6, 8.

Bài 2: Cho cấp số cộng:

(u_n):

Hãy tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng?

Giải:

Từ giải thiết, chúng ta có:

Bài 3: Cho cấp số cộng

Hãy tính công sai, công thức tổng quát cấp số cộng đã cho.

Giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có:

Công sai của cấp số cộng trên d=3, số hạng tổng quát là (u_n = u_1+(n-1)d = 3n-2)

Bài 4: Cho cấp số cộng

Hãy tính S = u1 + u4 + u7 +…+ u2011?

Giải:

Ta có các số hạng u1, u4, u7,…,u2011 lập được thành một cấp số cộng bao gồm 670 số hạng và có công sai d’ = 3d. Do đó ta có:

Bài 5: Cho cấp số cộng hãy xác định công sai và công thức tổng quát:

Giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

Vậy ta có công sai của cấp số là d=3

Công thức tổng quát:

Bài 6: Cấp số nhân (un) có các số hạng khác 0 hãy tìm u1 biết rằng:

Giải:

q = 2 hoặc q =

Kết luận u1 = 1 hoặc u1 = 8

Bài 7: Cho cấp số nhân sau:

Hỏi 5 số hạng đầu của cấp số nhân trên là bao nhiêu?

Giải:

Gọi q là bội của cấp số. Theo giải thiết chúng ta có:

5 số hạng đầu của cấp số nhân cần tìm là u1 = 2, u2 = 23, u3 = 29, u4 = 27, u5 = 281

Bài 8: Cho cấp số nhân sau:

Tính tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân?

Giải:

Bài 9: Cho cấp số nhân thỏa mãn

Hãy tính công bội và công thức tổng quát của cấp số nhân trên.

Giải:

a. Từ giả thiết mà đề bài đã cho ta có:

hoặc q = 3

Trong TH

Trong TH q = 3

FAQ: Câu Hỏi Thường Gặp Về Cấp Số Nhân và Cấp Số Cộng

Cấp số cộng là gì?
- Cấp số cộng là dãy số mà hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số (công sai).
Cấp số nhân là gì?
- Cấp số nhân là dãy số mà tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số (công bội).
Công thức tổng quát của cấp số cộng là gì?
- (u_n = u_1 + (n-1)d), trong đó (u_1) là số hạng đầu, d là công sai.
Công thức tổng quát của cấp số nhân là gì?
- (u_n = u_1 * q^(n-1)), trong đó (u_1) là số hạng đầu, q là công bội.
Làm thế nào để tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng?
- (S_n = frac{n}{2}(u_1 + u_n)) hoặc (S_n = frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]).
Làm thế nào để tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân?
- (S_n = u_1 * frac{1-q^n}{1-q}) (với q ≠ 1).
Khi nào thì cấp số nhân có tổng vô hạn?
- Khi |q| < 1, tổng vô hạn của cấp số nhân là (S = frac{u_1}{1-q}).
Tính chất quan trọng nhất của cấp số cộng là gì?
- Mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) bằng trung bình cộng của hai số hạng kề nó.
Tính chất quan trọng nhất của cấp số nhân là gì?
- Bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) bằng tích của hai số hạng kề nó.
Ứng dụng của cấp số cộng và cấp số nhân trong thực tế là gì?
- Cấp số cộng và cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như tính lãi kép, dự báo tăng trưởng, và mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên.

CAUHOI2025.EDU.VN hy vọng rằng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài toán liên quan đến cấp số cộng và cấp số nhân. Nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào khác, đừng ngần ngại truy cập website của chúng tôi để được giải đáp chi tiết!

Bạn đang gặp khó khăn với các bài toán về cấp số nhân và cấp số cộng? Bạn muốn tìm một nguồn tài liệu uy tín, dễ hiểu và có bài tập áp dụng đa dạng? Hãy truy cập ngay CAUHOI2025.EDU.VN để khám phá kho kiến thức phong phú và nhận được sự hỗ trợ tận tình từ đội ngũ chuyên gia của chúng tôi. Đừng bỏ lỡ cơ hội nâng cao trình độ toán học của bạn!

Thông tin liên hệ: