Hàm Trùng Phương Có 3 Cực Trị Khi Nào? Điều Kiện & Bài Tập

Bạn đang gặp khó khăn với dạng toán hàm trùng phương và số lượng cực trị của nó? Bài viết này của CAUHOI2025.EDU.VN sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức về điều kiện để hàm trùng phương có 3 cực trị, kèm theo các ví dụ minh họa chi tiết và dễ hiểu. Khám phá ngay!

Hàm Trùng Phương Là Gì?

Hàm trùng phương là một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc bốn, thường được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến cực trị. Dạng tổng quát của hàm trùng phương như sau:

y = ax⁴ + bx² + c (với a ≠ 0)

Để tìm cực trị của hàm trùng phương, chúng ta thường quy về giải phương trình bậc hai.

Alt: Đồ thị hàm trùng phương có 3 cực trị minh họa

Điều Kiện Để Hàm Trùng Phương Có 3 Cực Trị

Vậy, Hàm Trùng Phương Có 3 Cực Trị Khi Nào? Dưới đây là điều kiện cần và đủ:

Cho hàm số y = ax⁴ + bx² + c (với a ≠ 0)

Để hàm số có 3 cực trị, đạo hàm bậc nhất của hàm số phải có 3 nghiệm phân biệt. Điều này dẫn đến điều kiện:

• a.b < 0

Ngược lại, hàm số chỉ có 1 cực trị khi:

• a.b ≥ 0

Ví dụ:
Xét hàm số y = x⁴ – 4x² + 3. Ta có a = 1, b = -4. Vì a.b = -4 < 0, hàm số này có 3 cực trị.

Alt: Bảng tóm tắt điều kiện số cực trị của hàm trùng phương

Công Thức Giải Nhanh Cực Trị Của Hàm Số Trùng Phương

Để giải nhanh các bài tập về cực trị của hàm số trùng phương, bạn cần nắm vững các tính chất đặc biệt sau:

Tính Chất 1: Ba Điểm Cực Trị Tạo Thành Một Tam Giác Vuông Cân

Cho hàm số y = ax⁴ + bx² + c (với a ≠ 0) có đồ thị (C). Khi đó:

• Đồ thị (C) có 3 điểm cực trị khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt, tương đương với -b/2a > 0.
• Để 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân, ta có công thức nhanh: b³ = -8a

Tính Chất 2: Ba Điểm Cực Trị Tạo Thành Một Tam Giác Đều

Cho hàm số y = ax⁴ + bx² + c (với a ≠ 0) có đồ thị (C).

• Để 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều, ta có công thức tính nhanh: b³ = -24a

Alt: Minh họa 3 cực trị tạo thành tam giác đều của hàm trùng phương

Bài Tập Vận Dụng Về Cực Trị Hàm Trùng Phương

Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách áp dụng lý thuyết, dưới đây là một số bài tập ví dụ:

Bài 1: Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x⁴ – 2(m+1)x² + m² (với m là tham số thực) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác vuông.

Giải:

y’ = 4x³ – 4(m+1)x

y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x² = m + 1

Hàm số có 3 cực trị ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > -1

Khi đó, đồ thị có 3 điểm cực trị: A(0;m²), B(-√(m+1);-2m-1), C(√(m+1);-2m-1)

Vì B và C đối xứng nhau qua Oy, A ∈ Oy nên ∆ABC cân tại A, nghĩa là AB = AC nên tam giác chỉ vuông cân tại A.

Theo định lý Pitago, ta có:

AB² + AC² = BC² ⇔ (m+1)[(m+1)³ – 1] = 0

⇔ (m+1)³ – 1 = 0 ⇔ m = 0 (do m > -1)

Bài 2: Cho y = x⁴ – 2mx² + m – 1, (m là tham số thực). Hãy xác định các giá trị của m để hàm số có 3 cực trị và các giá trị của hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là 1.

Giải:

Đạo hàm y’ = 4x³ – 4mx

y’ = 0 ⇔ 4x(x² – m) = 0

Hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó ⇔ m > 0

Khi đó, 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0;m-1), B(-√m;-m²+m-1), C(√m;-m²+m-1)

S_∆ABC = (1/2)|y_B – y_A|.|x_C – x_B| = m²√m; AB = AC = √(m² + m), BC = 2√m

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

R = (AB.AC.BC)/(4S_∆ABC) = 1 ⇔ (m⁴+m)√m / (4m²√m) = 1 ⇔ m³ – 2m + 1 = 0

Alt: Bài giải mẫu về cực trị hàm trùng phương

Bài 3: Cho hàm số y = x⁴ – 8m²x² + 1 (m là tham số thực). Tìm m để hàm số có diện tích tam giác ABC bằng 64 và có 3 cực trị A,B,C.

Giải:

y’ = 4x³ – 16m²x

Để hàm số có 3 cực trị thì y’ = 0 và có ba nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình g(x) = x² – 4m² = 0 có 2 nghiệm phân biệt x ≠ 0 ⇔ m ≠ 0

y” = 12x² – 16m²

Ta có 3 điểm cực trị là: A(0;1); B(2m;1-16m⁴); C(-2m;1-16m⁴)

Ta thấy AB = AC = √((2m)² + (16m⁴)²) suy ra tam giác ABC cân tại A.

I là trung điểm của BC thì I(0;1-16m⁴) nên AI = 16m⁴; BC = 4|m|

S_∆ABC = (1/2)AI.BC = (1/2)16m⁴.4|m| = 64 ⇔ |m⁵| = 2 ⇔ m = ± ⁵√2 (thỏa mãn m ≠ 0).

Vậy m = ± ⁵√2 là giá trị cần tìm.

Alt: Các bước giải bài toán cực trị hàm trùng phương

Bài 4: Cho hàm số y = x⁴ – 2(1-m²)x² + m + 1. Tìm m để hàm số có cực tiểu, cực đại và điểm cực trị của đồ thị hàm số lập được thành tam giác có diện tích S lớn nhất.

Giải:

Ta có y’ = 4x³ – 4(1-m²)x

y’ = 0 ⇔ 4x(x² – (1-m²)) = 0

Để hàm số có cực đại, cực tiểu chỉ khi |m| < 1

Tọa độ điểm cực trị:

A(0;m+1); B(√(1-m²);-m⁴+2m²+m); C(-√(1-m²);-m⁴+2m²+m)

Ta có S_∆ABC = (1/2).BC.d(A;BC) = √(1-m²)|m⁴-m²+1| = √(1-m²)⁵ ≤ 1

⇒ S_max ⇔ m = 0

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Bài 5: Cho hàm số y = x⁴ + 2mx² + m² + m. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng 120°.

Giải:

Ta có y’ = 4x³ + 4mx

y’ = 0 ⇔ 4x(x² + m) = 0

⇔ x = 0 hoặc x² = -m

Alt: Bài giải chi tiết một ví dụ về cực trị hàm trùng phương

Gọi A(0;m²+m); B(√(-m);m); C(-√(-m);m) là các điểm cực trị

AB = (-√(-m);-m²); AC = (-√(-m);-m²). ∆ABC cân tại A nên góc 120° chính là A.

 = 120° ⇔ cos A = -1/2 ⇔ (AB.AC) / (|AB| |AC|) = -1/2 ⇔ (-√(-m).(-√(-m))+m⁴) / (m⁴-m) = -1/2

⇔ (m+m⁴) / (m⁴-m) = -1/2 ⇒ 2m+2m⁴ = m-m⁴ ⇔ 3m⁴+m = 0

⇔ m = -1/∛3 hoặc m = 0 (loại)

Vậy m = -1/∛3 là giá trị cần tìm.

Luyện Tập Thêm Để Nắm Vững Kiến Thức

Để thành thạo dạng toán này, việc luyện tập thường xuyên là vô cùng quan trọng. Bạn có thể tìm thêm các bài tập tương tự trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học trực tuyến.

Tại Sao Nên Tìm Hiểu Về Hàm Trùng Phương Tại CAUHOI2025.EDU.VN?

CAUHOI2025.EDU.VN cung cấp thông tin chính xác, đáng tin cậy và dễ hiểu về hàm trùng phương và các vấn đề liên quan. Chúng tôi tổng hợp thông tin từ các nguồn uy tín tại Việt Nam, giúp bạn tiết kiệm thời gian và công sức trong việc tìm kiếm. Ngoài ra, đội ngũ chuyên gia của chúng tôi luôn sẵn sàng giải đáp thắc mắc và cung cấp tư vấn chi tiết nếu bạn cần.

Bạn đang gặp khó khăn trong việc giải các bài toán hàm trùng phương? Đừng lo lắng, CAUHOI2025.EDU.VN luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.

Hãy truy cập CAUHOI2025.EDU.VN ngay hôm nay để:

• Tìm kiếm câu trả lời cho mọi thắc mắc: Kho tàng kiến thức phong phú của chúng tôi luôn sẵn sàng giải đáp mọi câu hỏi của bạn.
• Đặt câu hỏi và nhận tư vấn từ chuyên gia: Đội ngũ chuyên gia giàu kinh nghiệm của chúng tôi sẽ giúp bạn giải quyết mọi vấn đề.

Thông tin liên hệ:

• Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam
• Số điện thoại: +84 2435162967
• Trang web: CAUHOI2025.EDU.VN

Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)

1. Hàm trùng phương là gì?
Hàm trùng phương là hàm số có dạng y = ax⁴ + bx² + c, trong đó a khác 0.

2. Điều kiện để hàm trùng phương có 3 cực trị là gì?
Điều kiện để hàm trùng phương có 3 cực trị là a.b < 0, trong đó a và b là các hệ số của x⁴ và x² trong biểu thức hàm số.

3. Công thức tính nhanh diện tích tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị của hàm trùng phương là gì?
Diện tích tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị có thể được tính bằng công thức: S = (1/2) |y_B – y_A| |x_C – x_B|, trong đó A, B, C là tọa độ các điểm cực trị.

4. Làm thế nào để xác định tọa độ các điểm cực trị của hàm trùng phương?
Để xác định tọa độ các điểm cực trị, bạn cần tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số, giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các nghiệm, sau đó thay các nghiệm này vào hàm số ban đầu để tìm giá trị y tương ứng.

5. Tại sao cần nắm vững kiến thức về hàm trùng phương?
Hàm trùng phương là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán học phổ thông và thường xuất hiện trong các kỳ thi. Nắm vững kiến thức về hàm trùng phương giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị, khảo sát hàm số và ứng dụng trong thực tế.

6. Có những dạng bài tập nào thường gặp về hàm trùng phương?
Các dạng bài tập thường gặp về hàm trùng phương bao gồm: tìm điều kiện để hàm số có 3 cực trị, tính diện tích tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.

7. Làm thế nào để luyện tập hiệu quả các bài tập về hàm trùng phương?
Để luyện tập hiệu quả, bạn nên bắt đầu từ các bài tập cơ bản, sau đó dần dần chuyển sang các bài tập phức tạp hơn. Hãy chú ý đến việc áp dụng đúng công thức và lý thuyết đã học, đồng thời kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

8. Nên tham khảo tài liệu nào để học tốt về hàm trùng phương?
Bạn có thể tham khảo sách giáo khoa, sách bài tập, các tài liệu ôn thi đại học và các trang web học trực tuyến uy tín.

9. CAUHOI2025.EDU.VN có thể giúp gì cho việc học hàm trùng phương?
CAUHOI2025.EDU.VN cung cấp thông tin chính xác, đáng tin cậy và dễ hiểu về hàm trùng phương. Chúng tôi cũng có đội ngũ chuyên gia sẵn sàng giải đáp thắc mắc và cung cấp tư vấn chi tiết nếu bạn cần.

10. Làm thế nào để liên hệ với CAUHOI2025.EDU.VN nếu có thắc mắc?
Bạn có thể liên hệ với CauHoi2025.EDU.VN qua số điện thoại, địa chỉ hoặc trang web được cung cấp ở trên.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về điều kiện để hàm trùng phương có 3 cực trị. Chúc bạn học tốt!