Các Dạng Bài Tập Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng Chọn Lọc, Có Lời Giải Chi Tiết

Bạn đang gặp khó khăn với các bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong chương trình Toán lớp 11? CAUHOI2025.EDU.VN sẽ giúp bạn chinh phục dạng toán này một cách dễ dàng với các bài tập chọn lọc, có lời giải chi tiết và phương pháp giải tối ưu.

Giới thiệu

Chủ đề “đường thẳng vuông góc với mặt phẳng” là một phần quan trọng trong chương trình hình học không gian lớp 11, và thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia. Để giúp các bạn học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập liên quan, CAUHOI2025.EDU.VN đã tổng hợp các dạng bài tập điển hình, kèm theo hướng dẫn giải chi tiết và dễ hiểu. Hãy cùng khám phá để nâng cao kỹ năng giải toán hình học không gian nhé! Chúng tôi còn cung cấp nhiều dạng bài tập khác liên quan đến hình học không gian như hai đường thẳng vuông góc, hai mặt phẳng vuông góc, giúp bạn học toàn diện hơn.

Ý định tìm kiếm của người dùng

1. Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Người dùng muốn tìm hiểu các phương pháp, định lý và ví dụ cụ thể để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
2. Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Người dùng cần hướng dẫn về cách xác định và tính toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
3. Bài Tập đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng: Người dùng muốn tìm các bài tập ví dụ, bài tập tự luyện có đáp án để rèn luyện kỹ năng giải toán.
4. Ứng dụng của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Người dùng muốn hiểu rõ hơn về các ứng dụng thực tế của kiến thức này trong các bài toán hình học không gian phức tạp hơn.
5. Lý thuyết về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Người dùng cần nắm vững các định nghĩa, tính chất và định lý cơ bản liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

1. Các Dạng Bài Tập Chứng Minh Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng

1.1. Phương pháp giải

Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), bạn có thể sử dụng một trong các cách sau:

• Cách 1: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (α).

  Theo định lý, nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng, thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng đó. (Nguồn: Sách giáo khoa Hình học 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam).

• Cách 2: Chứng minh d vuông góc với đường thẳng a, mà a vuông góc với (α).

  Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α), mọi đường thẳng vuông góc với a cũng sẽ vuông góc với (α) nếu chúng đồng phẳng và không song song với (α).

• Cách 3: Chứng minh d vuông góc với mặt phẳng (Q) và (Q) song song với (P).

  Nếu hai mặt phẳng song song, mọi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Lưu ý khi chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

• Chứng minh d vuông góc với (P), và (P) chứa a.
• Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
• Sử dụng các cách chứng minh đã biết.

1.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông ở B, AH là đường cao của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. SA ⊥ BC

B. AH ⊥ BC

C. AH ⊥ AC

D. AH ⊥ SC

Hướng dẫn giải

Chọn C

• SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC.
• BC ⊥ AB (do tam giác ABC vuông tại B)
• BC ⊥ SA (do SA ⊥ (ABC))
  ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH.
• AH ⊥ BC, AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC.

Vậy câu C sai.

Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B và SA ⊥ (ABC). Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

Hướng dẫn giải

Chọn A

• SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC.
• BC ⊥ AB (do tam giác ABC vuông tại B)
• BC ⊥ SA (do SA ⊥ (ABC))
  ⇒ BC ⊥ (SAB).

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AB ⊥ (ABC)

B. AB ⊥ BD

C. AB ⊥ (ABD)

D. BC ⊥ AD

Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi E là trung điểm của BC.

Tam giác DCB cân tại D có DE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: DE ⊥ BC.

Tam giác ABC cân tại A có AE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao : AE ⊥ BC

Khi đó ta có

2. Các Dạng Bài Tập Tính Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng

2.1. Phương pháp giải

Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α), thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Tìm giao điểm O của đường thẳng a và (α).
• Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (α).
• Bước 3: Góc ∠AOA’ = φ chính là góc giữa đường thẳng a và (α).

Lưu ý:

• Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên (α), chọn một đường thẳng b ⊥ (α), khi đó AA’ // b.
• Để tính góc φ, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAA’.

2.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB

B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB

C. Góc giữa AC và (ABD) là góc ACB

D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho SA = (√6)a/2 . Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (ABC) .

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

Hướng dẫn giải

Chọn D

Từ giả thiết suy ra:

SA ⊥ (ABC) ⇒ (SA, (ABC)) = 90°

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi H là trung điểm của BC suy ra

AH = BH = CH = (1/2)BC = a/2

3. Các Dạng Bài Tập Tìm Thiết Diện Trong Hình Học Không Gian

3.1. Phương pháp giải

Để xác định thiết diện của mặt phẳng (α) đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d với một hình chóp, thực hiện theo một trong hai cách sau:

• Cách 1: Tìm tất cả các đường thẳng vuông góc với d, khi đó (α) sẽ song song hoặc chứa các đường thẳng này, và ta chuyển về dạng thiết diện song song như đã biết ở chương II.

• Cách 2: Dựng mặt phẳng (α) như sau:

  Dựng hai đường thẳng a; b cắt nhau cùng vuông góc với d, trong đó có một đường thẳng đi qua O, khi đó (α) chính là mặt phẳng (a; b)

3.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥ (ABC). Gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC. Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC là :

A. Hình thang vuông.

B. Tam giác đều.

C. Tam giác cân.

D. Tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của CA, kẻ IH ⊥ SC.

Ta có BI ⊥ AC, BI ⊥ SA ⇒ BI ⊥ SC

Do đó SC ⊥ (BIH) hay thiết diện là tam giác BIH.

Mà BI ⊥ (SAC) nên BI ⊥ IH hay thiết diện là tam giác vuông.

Chọn D

Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a = 12, gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với AD. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng

A. 36√2 B. 40 C. 36√3 D. 36

Hướng dẫn giải

Gọi E là trung điểm AD

Do tam giác ABD đều nên BE ⊥ AD (1)

Do tam giác ACD đều nên CE ⊥ AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD ⊥ (BEC)

⇒ Thiết diện là tam giác BCE. Gọi F là trung điểm của BC.

Chọn A

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA ⊥ (ABC) Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB cắt AC, SC, SB lần lượt tại N, P, Q . Tứ giác MNPQ là hình gì ?

A. Hình thang vuông

B. Hình thang cân

C. Hình bình hành

D. Hình chữ nhật

Hướng dẫn giải

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ vuông tại N

Chọn A

4. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1. Cho tứ diện ABCD có hai mặt bên ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC.

Điểm I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh BC ⊥ (ADI).

b) Gọi AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh rằng AH ⊥ (BCD).

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD).

Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.

a) Chứng minh rằng BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD).

b) Chứng minh rằng AM ⊥ (SBC); AN ⊥ (SCD).

c) Chứng minh rằng SC ⊥ (AMN) và MN // BD.

d) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Chứng minh rằng tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông.

b) Chứng minh rằng SI ⊥ (SCD); SJ ⊥ (SAB).

c) Gọi H là hình chiếu của S lên IJ, chứng minh rằng SH ⊥ (ABCD).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), các tam giác ABC và SBC là các tam giác nhọn. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:

a) AH, SK, BC đồng quy.

b) SC ⊥ (BHK)

c) HK ⊥ (SBC).

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA = SC, SB = SD.

a) Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD).

b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK ⊥ (SBD) và IK ⊥ SD.

Để nâng cao hơn nữa kiến thức và kỹ năng giải toán, bạn có thể tham khảo thêm các dạng bài tập khác trong chương trình Toán lớp 11, cũng như các tài liệu ôn thi THPT Quốc gia tại CAUHOI2025.EDU.VN.

FAQ – Câu Hỏi Thường Gặp

1. Làm thế nào để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng?

Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, bạn cần chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

2. Làm thế nào để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng?

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được xác định bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

3. Thiết diện là gì?

Thiết diện là hình tạo bởi mặt phẳng cắt qua một hình khối.

4. Làm thế nào để tìm thiết diện của một hình chóp khi biết mặt phẳng cắt?

Để tìm thiết diện, bạn cần xác định giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt của hình chóp.

5. Tại sao cần nắm vững kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng?

Kiến thức này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán hình học không gian phức tạp, và thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng.

6. Định lý ba đường vuông góc được áp dụng như thế nào trong các bài toán này?

Định lý ba đường vuông góc giúp xác định mối quan hệ vuông góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

7. Có những lỗi sai nào thường gặp khi giải các bài toán về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng?

Một số lỗi thường gặp bao gồm xác định sai hình chiếu, nhầm lẫn giữa các góc, và áp dụng sai các định lý.

8. Làm thế nào để cải thiện kỹ năng giải toán hình học không gian?

Để cải thiện kỹ năng, bạn cần luyện tập thường xuyên, làm nhiều bài tập ví dụ, và nắm vững lý thuyết cơ bản.

9. Tài liệu nào trên CAUHOI2025.EDU.VN có thể giúp tôi ôn tập tốt hơn?

Trên CAUHOI2025.EDU.VN có rất nhiều tài liệu hữu ích như bài giảng chi tiết, bài tập tự luyện, đề thi thử, và các mẹo giải toán nhanh.

10. CAUHOI2025.EDU.VN có cung cấp dịch vụ tư vấn trực tuyến về các bài toán hình học không gian không?

Hiện tại, CAUHOI2025.EDU.VN đang phát triển dịch vụ tư vấn trực tuyến để hỗ trợ học sinh giải đáp các thắc mắc về toán học. Hãy theo dõi website để cập nhật thông tin mới nhất.

Kết luận

Hy vọng với những kiến thức và bài tập được chia sẻ trên, bạn sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hãy truy cập CAUHOI2025.EDU.VN thường xuyên để cập nhật thêm nhiều kiến thức và kỹ năng bổ ích khác.

Bạn đang gặp khó khăn với một bài toán cụ thể? Đừng ngần ngại truy cập CAUHOI2025.EDU.VN và đặt câu hỏi. Cộng đồng học tập của chúng tôi luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn. Ngoài ra, bạn có thể tìm thấy nhiều bài viết và tài liệu hữu ích khác để nâng cao kiến thức toán học của mình.

Thông tin liên hệ:

Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam

Số điện thoại: +84 2435162967

Trang web: CauHoi2025.EDU.VN

Hoặc, bạn có thể truy cập trang “Liên hệ” / “Về chúng tôi” của website để biết thêm chi tiết.

Từ khóa liên quan: hình học không gian, toán lớp 11, đường thẳng, mặt phẳng, bài tập hình học