Hypebol Là Gì? Định Nghĩa, Phương Trình Và Bài Tập Áp Dụng Chi Tiết

Bạn đang gặp khó khăn trong việc hiểu rõ về hypebol và cách áp dụng nó vào giải toán? CAUHOI2025.EDU.VN sẽ giúp bạn nắm vững khái niệm “Hypebol Là Gì”, từ định nghĩa, phương trình chính tắc đến các dạng bài tập thường gặp. Hãy cùng khám phá thế giới thú vị của đường conic này!

1. Định Nghĩa Đường Hypebol

1.1. Giải Thích Bằng Lời

Trong toán học, hypebol (hay hyperbol) là một đường conic đặc biệt. Nó được tạo thành khi một mặt phẳng cắt một mặt nón tại cả hai nửa của hình nón.

Một cách chính xác hơn, hypebol là tập hợp các điểm trong mặt phẳng sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ mỗi điểm đó đến hai điểm cố định là một hằng số. Hằng số này thường được ký hiệu là 2a, trong đó ‘a’ là độ dài bán trục thực của hypebol.

Hai điểm cố định đặc biệt này được gọi là các tiêu điểm của hypebol. Đường thẳng đi qua hai tiêu điểm là trục thực của hypebol, và trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm là tâm của hypebol.

1.2. Diễn Giải Bằng Ký Hiệu

Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) và hằng số a (0 < a < c).

Đường hypebol là tập hợp các điểm M thỏa mãn công thức: |MF1 – MF2| = 2a. Ký hiệu là (H).

• F1 và F2: Tiêu điểm của đường (H).
• Khoảng cách F1F2 = 2c: Tiêu cự của (H).

2. Phương Trình Chính Tắc Của Đường Hypebol

2.1. Phương Trình Đường Cong Hypebol

Với F1(-c ;0), F2(c;0)

M(x ; y) ∈ (H) ↔ x²/a² – y²/b² = 1 với b² = c² – a²

Phương trình x²/a² – y²/b² = 1 được gọi là phương trình chính tắc của hypebol.

2.2. Ví Dụ Về Phương Trình Đường Hypebol

Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của Hypebol (H), biết (H) có trục thực và trục ảo lần lượt là 10 và 6.

Hướng dẫn giải:

• Độ dài trục thực bằng 2a và bằng 10, suy ra a = 5
• Độ dài trục ảo bằng 2b và bằng 6, suy ra b = 3

Phương trình chính tắc của hypebol là x²/a² – y²/b² = 1

Vậy hypebol (H) có dạng: x²/5² – y²/3² = 1, tức là x²/25 – y²/9 = 1

Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là A2(5; 0) và một đường tiệm cận là y = -3x.

Hướng dẫn giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là x²/a² – y²/b² = 1 (a > 0, b > 0)

• Hypebol có một đỉnh là A2 (5; 0) => a = 5
• Hypebol có một đường tiệm cận là y = -3x => b/a = 3 => b = 3a = 15

Vậy phương trình chính tắc của đường hypebol đã cho là x²/5² – y²/15² = 1 hay x²/25 – y²/225 = 1

3. Hình Dạng Và Tính Chất Đường Hypebol

Đường hypebol có những đặc điểm sau:

• Hai tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(-c;0), tiêu điểm phải F2(c;0)

• Các đỉnh: A1(-a;0), A2(a;0)

• Trục đối xứng: Trục Ox là trục thực, trục Oy là trục ảo. Khoảng cách 2a giữa 2 đỉnh gọi là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo.

• Hai nhánh: Đường cong hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là một nhánh của hypebol.

• Hình chữ nhật cơ sở: Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x = ± a, y = ± b gọi là hình chữ nhật cơ sở. Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là hai đường tiệm cận của hypebol và có phương trình là y = ± (b/a)x

• Tâm sai: e = c/a > 1

• Bán kính qua tiêu điểm: Nếu M(xm ; ym) thuộc (H) thì:

  MF1 = |a + exM| = |a + (c/a)xM|, MF2 = |a – exM| = |a – (c/a)xM|

Ví dụ 1: Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh; độ dài trục thực, trục ảo và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hypebol có phương trình sau:

a) x²/9 – y²/4 = 1

b) x²/9 – y²/16 = 1

c) x² – 9y² = 9

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: a = 3 , b = 2 , c = √(a² + b²) = √13

• Tiêu điểm: F1(-√13;0) , F2(√13 ; 0)
• Các đỉnh: A1(-3;0) , A2(3;0)
• Độ dài trục thực: 2a = 6; Độ dài trục ảo: 2b = 4
• Phương trình tiệm cận: y = ± (2/3)x

b) Ta có: a = 3, b = 4 , c = √(a² + b²) = 5

• Tiêu điểm: F1(-5;0), F2(5;0)
• Các đỉnh: A1(-3;0), A2(3;0)
• Độ dài trục thực: 2a=6, Độ dài trục ảo: 2b = 8
• Phương trình tiệm cận: y = ± (4/3)x

c) Ta có: x² – 9y² = 9 <=> x²/9 – y²/1 = 1

a=3, b=1 , c=√(a² + b²) = √10

• Tiêu điểm: F1(-√10 ; 0) , F2(√10 ; 0)
• Các đỉnh: A1(-3 ; 0) , A2(3 ; 0)
• Độ dài trục thực: 2a = 6, Độ dài trục ảo: 2b = 2
• Phương trình tiệm cận: y = ± (1/3)x

Ví dụ 2: Cho hypebol (H) như hình dưới đây:

a) Chứng minh rằng: Nếu M(x, y) nằm trên hypebol (H) thì x ≤ -a hoặc x ≥ a

b) Phương trình hai đường thẳng PR và QS có dạng như thế nào?

Hướng dẫn giải:

a) Nếu M(x, y) thuộc hypebol (H) thì x²/a² – y²/b² = 1

Mà y²/b² ≥ 0 suy ra x²/a² ≥ 1

Do đó x² ≥ a² => x ≤ -a hoặc x ≥ a

b) Có P(-a, b), R(a; -b) => PR = (a-(-a);-b-b)=(2a;-2b)

Do đó ta chọn n(b;a) là một vector pháp tuyến của PR

Phương trình đường thẳng PR có dạng:

b(x +a)+a(y-b) =0

Hay, bx + ay = 0 hay y=-(b/a)x

Tương tự, ta có:

Q (a; b), S (-a; -b) => QS = (-a -a;-b-b) =(-2a;-2b)

Do đó ta chọn n (b;a) là một vector pháp tuyến của QS

Phương trình đường thẳng QS có dạng:

-b(x -a) + a(y-b) = 0

Hay, -bx + ay = 0 hay y=(b/a)x

4. Bài Tập Áp Dụng Đường Hypebol

Câu 1: Khái niệm nào sau đây là định nghĩa về đường hypebol?

A. Cho điểm F và đường thẳng Δ cố định không đi qua F. Đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện khoảng cách từ M đến Δ bằng khoảng cách từ M đến F.

B. Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c, (c>0). Hypebol (H) là tập hợp điểm M sao cho |MF1 – MF2|=2a với a là một số không đổi và a < c.

C. Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c, (c>0) và một độ dài 2a không đổi (a>0). Hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho M ∈ (P)=MF1+MF2=2a .

D. Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của Hypebol .

Câu 2: Cho Hypebol (H) có phương trình chính tắc là x²/a² – y²/b² = 1, với a, b > 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu c² = a² + b² thì (H) có các tiêu điểm là F1( c ; 0), F2 (-c ; 0)

B. Nếu c² = a² + b² thì (H) có các tiêu điểm là F1 (0 ; c), F2 (0 ; –c).

C. Nếu c² = a² – b² thì (H) có các tiêu điểm là F1 (c ; 0), F2 (- c ; 0).

D. Nếu c² = a² – b² thì (H) có các tiêu điểm là F1 (0 ; c), F2 (0 ; –c).

Câu 3: Cho Hypebol (H) có phương trình chính tắc là x²/a² – y²/b² = 1, với a,b > 0. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là e=c/a

B. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là e=c/b

C. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là e=-c/a

D. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là e=-c/b

Câu 4: Cho đường hypebol (H) có phương trình chính tắc là x²/a² – y²/b² = 1, với a, b>0. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục thực là (a;0) và (-a;0).

B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục ảo là B1 (0;b), A1 (0;–b).

C. Với c² = a² + b² (c > 0) , độ dài tiêu cự là 2c.

D. Với c² = a² + b² (c > 0) , tâm sai của hypebol là e = c/a.

Câu 5: Hypebol x²/16 – y²/9 = 1 có hai tiêu điểm là:

A. F1(-5;0) , F2(5;0)

B. F1(-2;0) , F2(2;0)

C. F1(-3;0) , F2(3;0)

D. F1(-4;0) , F2(4;0)

Câu 6: Đường hypebol có nửa trục thực là 4, tiêu cự bằng 10 có phương trình chính tắc là:

A. x²/16 – y²/9 = 1

B. x²/16 + y²/9 = 1

C. y²/16 – x²/9 = 1

D. x²/16 – y²/25 = 1

Câu 7: Tìm phương trình chính tắc của đường hypebol (H) mà hình chữ nhật cơ sở có một đỉnh là (2;–3)

A. x²/2 – y²/(-3) = 1

B. x²/4 – y²/9 = 1

C. x²/9 – y²/3 = 1

D. x²/2 – y²/3 = 1

Câu 8: Đường hypebol x²/4 – y²/9 = 1 có:

A. Hai đỉnh A1(-2;0) , A2(2;0) và tâm sai e=2/√13

B. Hai đường tiệm cận y= ± (3/2)x và tâm sai e=2/√13

C. Hai đường tiệm cận y= ± (3/2)x và tâm sai e=√13/2

D. Hai tiêu điểm F1(-2;0) , F2(2;0) và tâm sai e=2/√13

Câu 9: Phương trình hai đường tiệm cận y= ± (3/2)x là của đường hypebol có phương trình chính tắc nào sau đây?

A. x²/4 – y²/9 = 1

B. x²/3 – y²/2 = 1

C. x²/2 – y²/3 = 1

D. x²/9 – y²/4 = 1

Câu 10: Tìm phương trình chính tắc của Hypebol H biết nó đi qua điểm (5;4) và một đường tiệm cận có phương trình là x + y = 0

A. x² – y²/9 = 1

B. x² – y² = 9

C. x² – y² = 1

D. x²/5 – y²/4 = 1

Câu 11: Tìm phương trình chính tắc của đường hypebol (H) biết nó tiêu điểm là (3;0) và một đường tiệm cận có phương trình là : √2x + y = 0

A. x²/6 – y²/3 = 1

B. x²/3 – y²/6 = 1

C. x²/1 – y²/2 = 1

D. x²/1 – y²/8 = 1

Câu 12: Tìm phương trình chính tắc của đường hypebol nếu một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của đường hyperbol đó là M (4 ; 3) .

A. x²/16 – y²/9 = 1

B. x²/16 – y²/9 = 1

C. x²/16 – y²/4 = 1

D. x²/4 – y²/3 = 1

Câu 13: Cho điểm M nằm trên đường hypebol (H): x²/16 – y²/9 = 1. Nếu hoành độ điểm M bằng 8 thì khoảng cách từ M đến các tiêu điểm của H là bao nhiêu ?

A. 8 ± 4√2

B. 8 ± 4√5

C. 5 và 13

D. 6 và 14

Câu 14: Viết phương trình chính tắc của đường hypebol, biết giá trị tuyệt đối hiệu các bán kính qua tiêu điểm của điểm M bất kỳ trên hypebol là 8, tiêu cự bằng 10 .

A. x²/16 – y²/9 = 1 hoặc -x²/16 – y²/9 = 1

B. x²/16 – y²/9 = 1

C. x²/4 + y²/3 = 1

D. x²/4 – y²/3 = 1

Câu 15: Đường hypebol có hai đường tiệm cận vuông góc với nhau, độ dài trục thực bằng 6, có phương trình chính tắc là:

A. x²/36 – y²/6 = 1

B. x²/9 – y²/9 = 1

C. x²/1 – y²/9 = 1

D. x²/16 – y²/9 = 1

Câu 16: Điểm nào trong 4 điểm M (5 ; 0) , N (10 ; 33 ) , P (52 ; 32 ) , Q (5 ; 4) nằm trên một đường tiệm cận của đường hypebol x²/25 – y²/9 = 1?

A. N B. M C. Q D. P

Câu 17: Tìm phương trình chính tắc của đường hypebol H biết nó có một đường tiệm cận là x – 2y = 0 và hình chữ nhật cơ sở của nó có diện tích bằng 24 .

A. x²/12 – y²/48 = 1

B. x²/3 – y²/12 = 1

C. x²/12 – y²/3 = 1

D. x²/48 – y²/12 = 1

Câu 18: Lập phương trình chính tắc của đường hypebol ( H ) với Ox là trục thực , tổng hai bán trục a + b = 7, phương trình hai tiệm cận : y = ± (3/4)x

A. (H): x²/3 – y²/4 = 1

B. (H): x²/4 – y²/3 = 1

C. (H): x²/28 – y²/21 = 1

D. (H): x²/21 – y²/28 = 1

Câu 19: Cho đường hypebol (H): x²/25 – y²/16 = 1 có 2 tiêu điểm F1, F2. Với M là một điểm tùy ý thuộc (H). Hãy tính S=(MF1 + MF2)² – 4OM²

A. 8 B. 1 C. 1/64 D. 64

Câu 20: Cho đường hypebol (H): x²/4 – y²/3 = 1. Lập phương trình tiếp tuyến của (H) song song với đường thẳng d : 5x – 4y + 10 = 0

A. 5x – 4y + 4 = 0 , 5x – 5y – 4 = 0

B. 5x – 4y – 16 = 0 và 5x – 4y + 16 = 0

C. 5x – 4y – 16 = 0

D. 5x – 4y + 16 = 0

Bảng đáp án:

Bạn vẫn còn gặp khó khăn với các bài tập về hypebol? Đừng lo lắng! CAUHOI2025.EDU.VN luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.

CAUHOI2025.EDU.VN cung cấp các câu trả lời rõ ràng, súc tích và được nghiên cứu kỹ lưỡng cho các câu hỏi thuộc nhiều lĩnh vực. Chúng tôi luôn nỗ lực đưa ra lời khuyên, hướng dẫn và giải pháp cho các vấn đề cá nhân, nghề nghiệp hoặc thực tiễn của bạn.

Hãy truy cập CauHoi2025.EDU.VN ngay hôm nay để khám phá thêm nhiều kiến thức hữu ích và đặt câu hỏi của bạn! Bạn cũng có thể liên hệ với chúng tôi qua địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam hoặc số điện thoại: +84 2435162967.