Bài Tập Về Cực Trị Của Hàm Số: Tổng Hợp & Giải Chi Tiết

Bạn đang gặp khó khăn với Bài Tập Về Cực Trị Của Hàm Số? CAUHOI2025.EDU.VN sẽ giúp bạn chinh phục dạng toán này một cách dễ dàng. Bài viết này cung cấp đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết, và tuyển chọn các bài tập điển hình, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn tự tin đạt điểm cao trong các kỳ thi. Khám phá ngay để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập cực trị!

1. Tổng Quan Về Cực Trị Của Hàm Số

1.1. Định Nghĩa Cực Đại, Cực Tiểu Của Hàm Số

• Điểm cực đại: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(a; b)$ chứa điểm $x_0$. Nếu tồn tại một khoảng $(c; d) subset (a; b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) < f(x_0)$ với mọi $x in (c; d)$ và $x ne x_0$ thì $x_0$ được gọi là điểm cực đại của hàm số. Giá trị $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số.

• Điểm cực tiểu: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(a; b)$ chứa điểm $x_0$. Nếu tồn tại một khoảng $(c; d) subset (a; b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) > f(x_0)$ với mọi $x in (c; d)$ và $x ne x_0$ thì $x_0$ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số. Giá trị $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.

1.2. Điều Kiện Cần Để Hàm Số Có Cực Trị

Nếu hàm số $y = f(x)$ đạt cực trị tại điểm $x_0$ và có đạo hàm tại điểm đó thì $f'(x_0) = 0$.

1.3. Điều Kiện Đủ Để Hàm Số Có Cực Trị

• Cách 1: (Dựa vào dấu của đạo hàm)

  • Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ đi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số.
  • Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ đi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

• Cách 2: (Dựa vào đạo hàm cấp hai)

  • Nếu $f'(x_0) = 0$ và $f”(x_0) > 0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.
  • Nếu $f'(x_0) = 0$ và $f”(x_0) < 0$ thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số.

2. Các Dạng Bài Tập Cực Trị Của Hàm Số Thường Gặp

2.1. Dạng 1: Tìm Cực Trị Của Hàm Số Khi Biết Biểu Thức

Phương pháp giải:

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm $f'(x)$.
3. Tìm các điểm $x_i$ mà tại đó $f'(x_i) = 0$ hoặc $f'(x_i)$ không xác định.
4. Lập bảng biến thiên.
5. Dựa vào bảng biến thiên để kết luận về các điểm cực trị và giá trị cực trị của hàm số.

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$.

Giải:

1. Tập xác định: $D = mathbb{R}$.

2. $y’ = 3x^2 – 6x$.

3. $y’ = 0 Leftrightarrow 3x^2 – 6x = 0 Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

4. Bảng biến thiên:

   x	-∞	0	2	+∞
   y’	+	0	–	0
   y	-∞	2		-2
   	/

5. Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$, giá trị cực đại $y{CD} = 2$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$, giá trị cực tiểu $y{CT} = -2$.

2.2. Dạng 2: Tìm Cực Trị Của Hàm Bậc Ba

Hàm bậc ba có dạng: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ (với $a ne 0$).

Phương pháp giải:

1. Tính đạo hàm $y’ = 3ax^2 + 2bx + c$.

2. Tính $Delta’ = b^2 – 3ac$.

3. Biện luận:

   • Nếu $Delta’ < 0$: Hàm số không có cực trị.
   • Nếu $Delta’ = 0$: Hàm số có một điểm uốn, không có cực trị.
   • Nếu $Delta’ > 0$: Hàm số có hai cực trị $x_1$, $x_2$ là nghiệm của phương trình $y’ = 0$.

4. Tính giá trị cực đại, cực tiểu tương ứng $y_{CD} = f(x1)$ và $y{CT} = f(x_2)$.

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số $y = x^3 – 3x + 2$.

Giải:

1. $y’ = 3x^2 – 3$.

2. $Delta’ = 0^2 – 3 cdot 1 cdot (-3) = 9 > 0$.

3. $y’ = 0 Leftrightarrow 3x^2 – 3 = 0 Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -1$.

4. Bảng biến thiên:

   x	-∞	-1	1	+∞
   y’	+	0	–	0
   y	-∞	4		0
   	/

5. Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại $x = -1$, giá trị cực đại $y{CD} = 4$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$, giá trị cực tiểu $y{CT} = 0$.

2.3. Dạng 3: Tìm Cực Trị Của Hàm Trùng Phương

Hàm trùng phương có dạng: $y = ax^4 + bx^2 + c$ (với $a ne 0$).

Phương pháp giải:

1. Tính đạo hàm $y’ = 4ax^3 + 2bx$.

2. Giải phương trình $y’ = 0 Leftrightarrow 2x(2ax^2 + b) = 0 Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x^2 = -frac{b}{2a}$.

3. Biện luận:

   • Nếu $-frac{b}{2a} le 0$: Hàm số có một cực trị tại $x = 0$.
   • Nếu $-frac{b}{2a} > 0$: Hàm số có ba cực trị tại $x = 0$, $x = pm sqrt{-frac{b}{2a}}$.

4. Tính giá trị cực trị tương ứng.

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 1$.

Giải:

1. $y’ = 4x^3 – 4x$.

2. $y’ = 0 Leftrightarrow 4x^3 – 4x = 0 Leftrightarrow 4x(x^2 – 1) = 0 Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$ hoặc $x = -1$.

3. Bảng biến thiên:

   x	-∞	-1	0	1	+∞
   y’	–	0	+	0	–
   y	+∞	0		1
   					/
   				/

4. Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -1$ và $x = 1$, giá trị cực tiểu $y{CT} = 0$. Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$, giá trị cực đại $y{CD} = 1$.

Alt text: Đồ thị hàm trùng phương với các điểm cực trị được đánh dấu rõ ràng.

2.4. Dạng 4: Cực Trị Của Hàm Số $y = |f(x)|$ và $y = f(|x|)$

2.4.1. Hàm Số $y = |f(x)|$

Phương pháp giải:

1. Vẽ đồ thị hàm số $y = f(x)$.
2. Lấy đối xứng phần đồ thị nằm dưới trục $Ox$ qua trục $Ox$.
3. Xóa phần đồ thị nằm dưới trục $Ox$.
4. Đồ thị còn lại là đồ thị của hàm số $y = |f(x)|$.

Lưu ý: Số điểm cực trị của hàm số $y = |f(x)|$ bằng số điểm cực trị của hàm số $y = f(x)$ cộng với số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình $f(x) = 0$.

2.4.2. Hàm Số $y = f(|x|)$

Phương pháp giải:

1. Vẽ đồ thị hàm số $y = f(x)$.
2. Giữ lại phần đồ thị bên phải trục $Oy$.
3. Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục $Oy$ qua trục $Oy$.
4. Xóa phần đồ thị bên trái trục $Oy$.
5. Đồ thị còn lại là đồ thị của hàm số $y = f(|x|)$.

Lưu ý:

• Nếu $f(x)$ là hàm số chẵn thì $f(|x|) = f(x)$.
• Nếu $f(x)$ là hàm số lẻ thì $f(|x|)$ là hàm số chẵn.

Ví dụ: Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = |f(x)|$.

Alt text: Đồ thị hàm số y=f(x) minh họa ví dụ về cực trị của hàm số chứa giá trị tuyệt đối.

Giải:

Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số $y = f(x)$ có 2 điểm cực trị. Phương trình $f(x) = 0$ có 4 nghiệm đơn. Vậy hàm số $y = |f(x)|$ có $2 + 4 = 6$ điểm cực trị.

2.5. Dạng 5: Bài Toán Cực Trị Hàm Số Chứa Tham Số

Phương pháp giải:

1. Tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định.
2. Tính đạo hàm $f'(x)$.
3. Tìm điều kiện của tham số để $f'(x) = 0$ có nghiệm.
4. Áp dụng các định lý Vi-et, bất đẳng thức để giải quyết yêu cầu của bài toán.

Ví dụ: Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 4m^3$ có hai điểm cực trị.

Giải:

1. Hàm số xác định với mọi $x in mathbb{R}$.

2. $y’ = 3x^2 – 6mx$.

3. Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

   $y’ = 0 Leftrightarrow 3x^2 – 6mx = 0 Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2m$.

   Để $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt thì $2m ne 0 Leftrightarrow m ne 0$.

4. Vậy $m ne 0$ là giá trị cần tìm.

2.6. Dạng 6: Tìm M Để Hàm Số Đạt Cực Trị Tại Điểm Cho Trước

Phương pháp giải:

1. Tính đạo hàm $f'(x)$.
2. Để hàm số đạt cực trị tại $x = x_0$ thì $f'(x_0) = 0$.
3. Giải phương trình $f'(x_0) = 0$ để tìm $m$.
4. Kiểm tra lại điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại $x = x_0$ (sử dụng đạo hàm cấp hai hoặc xét dấu đạo hàm).

Ví dụ: Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 3(m^2 – 1)x – m^3 + m$ đạt cực trị tại $x = 1$.

Giải:

1. $y’ = 3x^2 – 6mx + 3(m^2 – 1)$.

2. Để hàm số đạt cực trị tại $x = 1$ thì $y'(1) = 0$.

   $y'(1) = 0 Leftrightarrow 3 – 6m + 3(m^2 – 1) = 0 Leftrightarrow m^2 – 2m = 0 Leftrightarrow m = 0$ hoặc $m = 2$.

3. Kiểm tra:

   • Với $m = 0$: $y = x^3 – 3x Rightarrow y’ = 3x^2 – 3 Rightarrow y'(1) = 0$ và $y” = 6x Rightarrow y”(1) = 6 > 0$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$.
   • Với $m = 2$: $y = x^3 – 6x^2 + 9x – 6 Rightarrow y’ = 3x^2 – 12x + 9 Rightarrow y'(1) = 0$ và $y” = 6x – 12 Rightarrow y”(1) = -6 < 0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = 1$.

4. Kết luận: $m = 0$ và $m = 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3. Bài Tập Trắc Nghiệm Cực Trị Của Hàm Số

Câu 1: Hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 1$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

Đáp án: D.

Câu 2: Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực đại tại điểm nào?

A. $x = 0$.
B. $x = 2$.
C. $x = 3$.
D. $x = -1$.

Đáp án: A.

Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^3 – 3x$ trên đoạn $[-2; 0]$.

A. 0.
B. 2.
C. -2.
D. 1.

Đáp án: B.

Câu 4: Cho hàm số $y = frac{x^2 – x – 1}{x – 2}$. Tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

A. $sqrt{5}$.
B. $2sqrt{5}$.
C. $3sqrt{5}$.
D. $4sqrt{5}$.

Đáp án: B.

Câu 5: Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 – 3x^2 + mx$ đạt cực tiểu tại $x = 2$.

A. $m = 0$.
B. $m = 2$.
C. $m = 4$.
D. $m = 6$.

Đáp án: D.

4. Bài Tập Vận Dụng Nâng Cao Về Cực Trị Hàm Số

Bài 1: Cho hàm số $y = x^4 – 2mx^2 + m – 1$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.

Bài 2: Cho hàm số $y = x^3 – 3(m+1)x^2 + 3(m^2 + 2m)x + 2024$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía của đường thẳng $d: x – y + 1 = 0$.

Bài 3: Cho hàm số $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tính giá trị của biểu thức $T = a + b + c + d$.

Alt text: Đồ thị hàm số bậc 3 minh họa bài tập vận dụng nâng cao về cực trị.

5. Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ) Về Cực Trị Của Hàm Số

1. Điểm cực trị là gì?
Điểm cực trị của hàm số là điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất (cực đại) hoặc giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) trong một khoảng lân cận của điểm đó.

2. Làm thế nào để tìm cực trị của hàm số?
Để tìm cực trị của hàm số, bạn cần tìm đạo hàm bậc nhất, giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm tới hạn, sau đó xét dấu đạo hàm bậc nhất hoặc tính đạo hàm bậc hai để xác định tính chất cực trị của các điểm tới hạn.

3. Hàm số bậc nhất có cực trị không?
Không, hàm số bậc nhất không có cực trị vì đạo hàm của nó là một hằng số khác 0.

4. Hàm số bậc hai có cực trị không?
Có, hàm số bậc hai có một cực trị duy nhất, là điểm đỉnh của parabol. Điểm này là cực đại nếu hệ số của $x^2$ âm và là cực tiểu nếu hệ số này dương.

5. Hàm số bậc ba có tối đa bao nhiêu cực trị?
Hàm số bậc ba có thể có tối đa hai cực trị.

6. Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị là gì?
Điều kiện cần là đạo hàm bậc nhất tại điểm đó bằng 0. Điều kiện đủ là đạo hàm bậc nhất đổi dấu khi đi qua điểm đó, hoặc đạo hàm bậc nhất bằng 0 và đạo hàm bậc hai khác 0 tại điểm đó.

7. Làm sao để biết một điểm là cực đại hay cực tiểu?
Bạn có thể xét dấu đạo hàm bậc nhất (đổi từ dương sang âm là cực đại, đổi từ âm sang dương là cực tiểu) hoặc sử dụng đạo hàm bậc hai (dương là cực tiểu, âm là cực đại).

8. Giá trị cực đại và cực tiểu khác gì so với giá trị lớn nhất và nhỏ nhất?
Giá trị cực đại và cực tiểu là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại một điểm lân cận. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên toàn bộ tập xác định (hoặc một khoảng đang xét).

9. Hàm số có thể có nhiều điểm cực đại/cực tiểu không?
Có, một hàm số có thể có nhiều điểm cực đại và cực tiểu.

10. Ứng dụng của việc tìm cực trị hàm số là gì?
Việc tìm cực trị của hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như tối ưu hóa chi phí, tìm kích thước tối ưu, hoặc xác định điểm hoạt động tốt nhất của một hệ thống.

6. Lời Kết

Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn đã nắm vững hơn về bài tập về cực trị của hàm số. Nếu bạn còn bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại truy cập CAUHOI2025.EDU.VN để được giải đáp chi tiết và nhanh chóng. Đội ngũ chuyên gia của chúng tôi luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn chinh phục mọi thử thách trong học tập và công việc.

CauHoi2025.EDU.VN – Nơi giải đáp mọi thắc mắc của bạn! Hãy liên hệ với chúng tôi qua trang “Liên hệ” trên website để được hỗ trợ tốt nhất.