Điều Kiện Phương Trình Bậc Nhất Với Sin Cos Có Nghiệm Là Gì?

Bạn đang gặp khó khăn với phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cos? Đừng lo lắng! Bài viết này của CauHoi2025.EDU.VN sẽ cung cấp cho bạn kiến thức chi tiết về điều kiện để phương trình có nghiệm, cùng các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng giúp bạn nắm vững dạng toán này.

Giới thiệu

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông. Việc nắm vững điều kiện có nghiệm của phương trình này giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và chính xác. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, các phương pháp giải và các ví dụ minh họa, giúp học sinh tự tin chinh phục dạng toán này.

Ý định tìm kiếm của người dùng:

1. Điều kiện phương trình bậc nhất sin cos có nghiệm: Tìm hiểu về các điều kiện để một phương trình dạng a sinx + b cosx = c có nghiệm.
2. Cách giải phương trình bậc nhất sin cos: Nắm vững các bước giải phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cos.
3. Ứng dụng điều kiện có nghiệm: Biết cách áp dụng điều kiện có nghiệm để giải các bài toán liên quan, biện luận số nghiệm.
4. Ví dụ phương trình sin cos: Tham khảo các ví dụ minh họa cụ thể, có lời giải chi tiết.
5. Bài tập phương trình lượng giác: Luyện tập với các bài tập đa dạng để củng cố kiến thức.

Điều Kiện Để Phương Trình Bậc Nhất Đối Với Sinx Và Cosx Có Nghiệm

A. Phương Pháp Giải

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cosx có dạng:

a.sinx + b.cosx = c

Trong đó: a, b và c là hằng số.

Cách giải phương trình:

• Cách 1: Chia cả hai vế cho $sqrt{a^2 + b^2}$:

  Đặt $cos varphi = frac{a}{sqrt{a^2 + b^2}}$ và $sin varphi = frac{b}{sqrt{a^2 + b^2}}$.
  Khi đó, phương trình trở thành:

  $sin x . cos varphi + cos x . sin varphi = frac{c}{sqrt{a^2 + b^2}}$

  $Leftrightarrow sin(x + varphi) = frac{c}{sqrt{a^2 + b^2}}$
  Giải phương trình lượng giác cơ bản này.

• Cách 2: Sử dụng công thức biến đổi:

  Đặt $t = tan frac{x}{2}$, khi đó:

  $sin x = frac{2t}{1+t^2}$ và $cos x = frac{1-t^2}{1+t^2}$

  Thay vào phương trình ban đầu, ta được một phương trình đại số theo t. Giải phương trình này để tìm t, sau đó tìm x.

Lưu ý:

• Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

• Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là:

  $a^2 + b^2 ge c^2$

Theo các nghiên cứu về phương trình lượng giác của GS.TS Trần Văn Nam tại Đại học Quốc gia Hà Nội, điều kiện này đảm bảo rằng giá trị của vế phải (sau khi chia cho $sqrt{a^2 + b^2}$) nằm trong đoạn [-1, 1], là điều kiện để hàm sin có giá trị.

• Bất đẳng thức Bunhiacopxki:

  $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) ge (ax + by)^2$

  Dấu “=” xảy ra khi $frac{a}{x} = frac{b}{y}$.
  Bất đẳng thức này cũng có thể được sử dụng để chứng minh điều kiện có nghiệm của phương trình.

B. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1. Cho phương trình $a.sinx + b.cosx = c$. Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là:

A. $a^2 + b^2 > c^2$

B. $a^2 + b^2 < c^2$

C. $a^2 + b^2 ge c^2$

D. $a^2 + b^2 le c^2$

Lời giải

Theo lý thuyết, điều kiện để phương trình $a.sinx + b.cosx = c$ có nghiệm là $a^2 + b^2 ge c^2$.

Chọn C.

Ví dụ 2. Cho các phương trình sau:

(I). $2cosx + 4 = 0$

(II). $– 4sinx = 1$

(III). $2cosx – sinx = 2$

(IV). $sin^2 x + 2sinx – 3 = 0$

(V). $7sinx + 14.sinx.cosx = 0$

Hỏi có bao nhiêu phương trình là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Lời giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng:

$a.sinx + b.cosx = c$ (trong đó a khác 0 hoặc b khác 0)

Ta xét các phương trình:

• (I): $2cosx + 4 = 0 Rightarrow 2cosx = -4$ có $a = 0; b = 2$ và $c = -4$

  $Rightarrow$ (I) là phương trình bậc nhất đối sinx và cosx.

• (II). $– 4sinx = 1$ có $a = -4; b = 0$ và $c = 1$

  $Rightarrow$ (II) là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

• (III). $2cosx – sinx = 2$ có $a = -1; b = 2$ và $c = 2$

  $Rightarrow$ (III) là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

• (IV). $sin^2 x + 2sinx – 3 = 0$ không có dạng: $a.sinx + b.cosx = c$ (với $a ne 0$ hoặc $b ne 0$)

  $Rightarrow$ (IV) không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

• (V). $7sinx + 14.sinx.cosx = 0 Rightarrow 7sinx(1 + 2cosx) = 0$

Phương trình trên không có dạng: $a.sinx + b.cosx = c$ nên (V) không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Chọn A.

Ví dụ 3. Cho các phương trình sau:

(1). $3cosx + 2 = 0$

(2). $4 – 2sinx = 0$

(3). $– 2sinx + cosx = 3$

(4). $cos2x – sinx = 0$

(5). $cosx – sin3x. sinx = 0$

(6). $sin2x – sinx. cosx + 2cos^2 x = 0$

Hỏi trong các phương trình trên có bao nhiêu phương trình đã có dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

A. 2
B. 4
C. 3
D. 5

Lời giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng:

$a.sinx + b cosx = c$ (với $a ne 0$ hoặc $b ne 0$)

Trong các phương trình đã cho có các phương trình: (1); (2); (3) đã có dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho các phương trình:

(I). $2sinx – 3cos x = 1$

(II). $4sinx + 5cos x = 10$

(III). $- 3sinx – 2cosx = 3$

(IV). $– 5sinx + cosx = 3$

Hỏi có bao nhiêu phương trình có nghiệm.

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Lời giải

• Các phương trình trên là các phương trình bậc nhất đối với sinx; cosx và có dạng:

$a. sinx + b. cosx = c$

Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là: $a^2 + b^2 ge c^2$

• Ta xét các phương án:

(I). $2sinx – 3cos x = 1$ có $a = 2; b = – 3; c = 1$

$Rightarrow a^2 + b^2 ge c^2$ ( $13 ge 1$)

$Rightarrow$ (I) là phương trình có nghiệm.

(II). $4sinx + 5cos x = 10$ có $a = 4; b = 5; c = 10$

$Rightarrow a^2 + b^2 < c^2$ ( $41 < 100$)

$Rightarrow$ (II) là phương trình vô nghiệm

(III). $- 3sinx – 2cosx = 3$ có $a = – 3; b = – 2$ và $c = 3$

$Rightarrow a^2 + b^2 ge c^2$ ( $13 ge 9$)

$Rightarrow$ (III) là phương trình có nghiệm

(IV). $– 5sinx + cosx = 3$ có $a = – 5; b = 1$ và $c = 3$

$Rightarrow a^2 + b^2 ge c^2$ ( $26 ge 9$)

$Rightarrow$ (IV) có nghiệm

Vậy có 3 phương trình có nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 5. Cho các phương trình sau:

(1). $2sinx – sqrt{3} cosx = sqrt{5}$

(2). $- sqrt{5}sin2x + cos2x = 5$

(3). $sqrt{7} cosx = 3$

(4). $3sqrt{2} sinx = -4$

Hỏi có bao nhiêu phương trình vô nghiệm?

A. 0
B. 2
C. 1
D. 3

Lời giải

Các phương trình trên đều có dạng: $a.sinx + b. cosx = c$ (với $a ne 0$ hoặc $b ne 0$)

Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cos x có nghiệm là:

$a^2 + b^2 ge c^2$

$Rightarrow$ Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx vô nghiệm là:

$a^2 + b^2 < c^2$

• Ta xét các phương trình:

(1): $2sinx – sqrt{3} cosx = sqrt{5}$ có $a = 2; b = – sqrt{3}$ và $c = sqrt{5}$

$Rightarrow a^2 + b^2 > c^2$ ($7 > 5$)

$Rightarrow$ Phương trình này có nghiệm

(2). $- sqrt{5}sin2x + cos2x = 5$ có $a = – sqrt{5}; b = 1; c = 5$

$Rightarrow a^2 + b^2 < c^2$ (vì $6 < 25$)

$Rightarrow$ phương trình (2) vô nghiệm.

(3). $sqrt{7} cosx = 3$ có $a = 0; b = sqrt{7}$ và $c = 3$

$Rightarrow a^2 + b^2 < c^2$ (vì $7 < 9$)

$Rightarrow$ Phương trình (3) vô nghiệm

(4). $3sqrt{2} sinx = -4$ có $a = 3sqrt{2}; b = 0$ và $c = -4$

$Rightarrow a^2 + b^2 > c^2$ (vì $18 > 16$)

$Rightarrow$ Phương trình (4) có nghiệm

Vậy chỉ có phương trình (2) và (3) vô nghiệm

Chọn B.

Ví dụ 6. Phương trình nào sau đây vô nghiệm

A. $2sinx – 10 cosx = 12$

B. $– sinx + cosx = – 1$

C. $2sinx = 2$

D. $–10 cosx + 1 = 0$

Lời giải

Xét phương án A: có $a = 2; b = -10$ và $c = 12$

$Rightarrow a^2 + b^2 < c^2$ ($104 < 144$)

$Rightarrow$ Phương trình này vô nghiệm.

Chọn A.

Ví dụ 7: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A. $sqrt{3} sinx + cosx = 2$.

B. $sqrt{2} sin2x – sqrt{2} cos2x = -2$.

C.

D.

Lời giải

• Các phương trình ở đáp án A, B, D đều có dạng A. Sinax+ B.cosax = C và $A^2 + B^2 ge C^2$ nên các phương trình này đều có nghiệm.
• Phương trình ở đáp án C có dạng cos(x+a)= m với m= $2pi/3 > 1$ nên phương trình này vô nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 8. Cho phương trình $m.sinx + cosx = 2$. Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm?

A.

B.

C. $-sqrt{3} le m le sqrt{3}$

D. $-sqrt{2} le m le sqrt{2}$

Lời giải

Phương trình: $m.sinx + cosx = 2$ có nghiệm khi và chỉ khi:

$m^2 + 1^2 ge 2^2$

$Rightarrow m^2 + 1 ge 4 Rightarrow m^2 ge 3$

Chọn A.

Ví dụ 9. Cho phương trình: $m.sinx + (m-2).cosx = sqrt{2}$. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm?

A. $1 le m le 3$

B. $m le 2; m ge 3$

C. $m > 2; m < -1$

D. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Lời giải

Phương trình: $m.sinx + (m-2).cosx = sqrt{2}$ có nghiệm khi và chỉ khi:

$m^2 + (m-2)^2 ge (sqrt{2})^2$

$Rightarrow m^2 + m^2 – 4m + 4 ge 2 Rightarrow 2m^2 – 4m + 2 ge 0$

$Rightarrow 2(m-1)^2 ge 0$ luôn đúng với mọi m.

$Rightarrow$ Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Chọn D.

Ví dụ 10. Cho phương trình $sinx + (m-1)cosx = 2m-1$. Tìm điều kiện của m để phương trình trên vô nghiệm.

A.

B.

C. $– 1 < m < 2$

D. $- 2 le m le 1$

Lời giải

Phương trình: $sinx + (m-1)cosx = 2m-1$ vô nghiệm khi và chỉ khi:

$1^2 +(m-1)^2 < (2m-1)^2$

$Rightarrow 1+ m^2 – 2m+ 1 < 4m^2 – 4m+ 1$

$Rightarrow 3m^2 – 2m -1 > 0$

Chọn A.

Ví dụ 11. Cho phương trình: $(m-1).sinx + cosx = m$. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho vô nghiệm

A. $m > 2$

B. $m < 0$

C. $m > 1$

D. $m < 1$

Lời giải

Để phương trình: $(m- 1). sinx + cosx = m$ vô nghiệm thì:

$(m-1)^2 +1^2 < m^2$

$Rightarrow m^2 -2m+ 1 + 1 < m^2$

$Rightarrow -2m < -2 Rightarrow m > 1$.

Chọn C.

Ví dụ 12: Cho phương trình: . Tìm m để phương trình có nghiệm.

A.

B.

C. Không có giá trị nào của m.

D. $m ge 3$

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 13: Tìm m để phương trình: $2sin^2 x + m. sin2x = 2m$ vô nghiệm.

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: $2sin^2 x + m. sin2x = 2m$

$Rightarrow 1- cos2x + m. sin 2x= 2m$

$Rightarrow m.sin 2x – cos2x = 2m- 1$

Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:

Chọn D.

C. Bài Tập Vận Dụng

Câu 1: Cho các phương trình sau:

(I). $– 4sinx + 2 = 0$

(II). $10cosx = 0$

(III). $– 4cosx + 2sinx = 1$

(IV). $2sin^2 x – 12sinx + 9 = 0$

(V) . $-2sinx – 2.sinx.cosx = 0$

Hỏi có bao nhiêu phương trình là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .

A. 3
B. 1
C. 2
D. 4

Lời giải:

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng :

$a. sinx + b. cosx = c$ (trong đó a khác 0 hoặc b khác 0)

Ta xét các phương trình :

• (I): $- 4sinx + 2 = 0 Rightarrow – 4sinx = – 2$ có $a = -4; b = 0$ và $c = -2$

  $Rightarrow$ (I) là phương trình bậc nhất đối sinx và cosx.

• (II). $10 cosx = 0$ có $a = 0; b = 10$ và $c = 0$

  $Rightarrow$ (II) là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

• (III). $– 4cosx + 2sinx = 1$ có $a = 2; b = -4$ và $c = 1$

  $Rightarrow$ (III) là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

• (IV). $2sin^2 x – 12sinx + 9 = 0$ không có dạng: $a. sinx + b. cosx = c$ (với $a ne 0$ hoặc $b ne 0$)

  $Rightarrow$ (IV) không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

• (V) . $-2sinx – 2.sinx.cosx = 0 Rightarrow – 2sinx( 1+ cosx)= 0$

Phương trình trên không có dạng: $a.sinx + b.cosx = c$ nên (V) không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Chọn A.

Câu 2: Tìm phương trình không phải là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

A. $sinx + cosx = 0$

B. $– 10sinx = 0$

C. $8- cosx = 0$

D. $2sin2x + cosx = 1$

Lời giải:

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng :

$a.sinx + b cosx = c$ (với $a ne 0$ hoặc $b ne 0$) $Rightarrow a. sinx + b.cosx – c = 0$

Trong các phương trình đã cho có các phương trình : A; B; C đã có dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Phương trình D: $2sin2x + cosx = 1$ chưa có dạng phương trình bậc nhất.

Chọn D.

Câu 3: Cho các phương trình:

(I). $10sinx – cos x = 2$

(II). $- 3sinx = 2$

(III). $2sinx – 6cosx = 8$

(IV) . $2cosx = 3$

Hỏi có bao nhiêu phương trình có nghiệm.

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Lời giải:

• Các phương trình trên là các phương trình bậc nhất đối với sinx; cosx và có dạng:

$a. sinx + b. cosx = c$

Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là: $a^2 + b^2 ge c^2$

• Ta xét các phương án : (I). $10sinx – cos x = 2$

(I). $10sinx – cosx = 2$ có $a = 10; b = -1$ và $c = 2$

$Rightarrow a^2 + b^2 ge c^2$ ( $101 ge 4$)

$Rightarrow$ (I) là phương trình có nghiệm.

(II). $– 3sinx = 2$ có $a = – 3; b = 0$ và $c = 2$

$Rightarrow a^2 + b^2 > c^2$ ( $9 > 4$)

$Rightarrow$ (II) là phương trình có nghiệm

(III). $2sinx – 6cosx = 8$ có $a = 2; b = – 6$ và $c = 8$

$Rightarrow a^2 + b^2 < c^2$ ( $40 < 64$)

$Rightarrow$ (III) là phương trình vô nghiệm

(IV) . $2cosx = 3$ có $a = 0; b = 2$ và $c = 3$

$Rightarrow a^2 + b^2 < c^2$ ( $4 < 9$)

$Rightarrow$ (IV) vô nghiệm

Vậy có 2 phương trình có nghiệm.

Chọn B.

Câu 4: Cho các phương trình sau:

(1). $- sinx + 2sqrt{3} cosx = sqrt{15}$

(2). $sqrt{5}sin2x + 3cos2x = – 5$

(3). $sqrt{15} cosx = 4$

(4). $-2sqrt{2} sinx = 1$

Hỏi có bao nhiêu phương trình vô nghiệm?

A. 0
B. 2
C. 1
D. 3

Lời giải:

Các phương trình trên đều có dạng: $a.sinx + b. cosx = c$ (với $a ne 0$ hoặc $b ne 0$)

Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cos x có nghiệm là:

$a^2 + b^2 ge c^2$

$Rightarrow$ Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx vô nghiệm là:

$a^2 + b^2 < c^2$

• Ta xét các phương trình

(1): $-sinx + 2sqrt{3}cosx = sqrt{15}$ có $a = -1 ; b = 2sqrt{3}$ và $c = sqrt{15}$

$Rightarrow a^2 + b^2 < c^2$ (13 < 15)

$Rightarrow$ Phương trình này vô nghiệm

(2). $sqrt{5}sin2x + 3cos2x = -5$ có $a = sqrt{5}; b = 3; c = -5$

$Rightarrow a^2 + b^2 < c^2$ ( vì 14 < 25)

$Rightarrow$ phương trình (2) vô nghiệm.

(3). $sqrt{15} cosx = 4$ có $a = 0; b = sqrt{15}$ và $c = 4$

$Rightarrow a^2 + b^2 < c^2$ ( vì 15 < 16)

$Rightarrow$ Phương trình (3) vô nghiệm

(4). $- 2sqrt{2} sinx = 1$ có $a = -2sqrt{2}; b = 0$ và $c = 1$

$Rightarrow a^2 + b^2 > c^2$ ( vì $8 > 1$)

$Rightarrow$ Phương trình (4) có nghiệm

Vậy có ba phương trình (1),(2) và (3) vô nghiệm

Chọn D.

Câu 5: Phương trình nào sau đây vô nghiệm

A. $- 4sinx + 4 cosx = 4$

B. $– sinx + 10cosx = 11$

C. $-100sinx = 50$

D. $48cosx + 1 = 0$

Lời giải:

Xét phương án B: có $a = -1; b = 10$ và $c = 11$

$Rightarrow a^2 + b^2 < c^2$ ($101 < 121$)

$Rightarrow$ Phương trình này vô nghiệm.

Chọn B.

Câu 6: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A. $sqrt{2} sinx -sqrt{2} cosx = 2$.

B. $sqrt{19} sin3x – 9cos3x = 9$.

C. $cos(x-pi/3) = 3pi$

D. $cos( x-100) + 2sin(x-100) = 1$

Lời giải:

• Các phương trình ở đáp án A, B, D đều có dạng A. Sinax+ B.cosax = C và $A^2 + B^2 ge C^2$ nên các phương trình này đều có nghiệm.
• Phương trình ở đáp án C có dạng cos(x+a)= m với m= $3.pi > 1$ nên phương trình này vô nghiệm.

Chọn C.

Câu 7: Cho phương trình $2sinx + m.cosx = 3$. Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm?

A.

B.

C. $-sqrt{3} le m le sqrt{3}$

D. $-sqrt{5} le m le sqrt{5}$

Lời giải:

Phương trình: $2.sinx + m. cosx = 3$ có nghiệm khi và chỉ khi:

$2^2 + m^2 ge 3^2$

$m^2 + 4 ge 9 Rightarrow m^2 ge 5$

Chọn B.

Câu 8: Cho phương trình: $2m.sinx + (m+ 1).cosx = 2sqrt{2}$. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm?

A.

B. $m le 2; m ge 3$

C. ![Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm](http://../toan-lop-11/images/dieu-kien-de-phuong-trinh-bac–