**Vecto a Cộng Vecto b: Định Nghĩa, Tính Chất và Bài Tập Chi Tiết**

Bạn đang gặp khó khăn với phép toán “Vecto A Cộng Vecto B”? Bài viết này của CAUHOI2025.EDU.VN sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập liên quan đến phép cộng vecto, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết mọi bài toán. Cùng khám phá ngay!

1. Tổng và Hiệu của Hai Vecto: Nền Tảng Quan Trọng

1.1. Tổng của Hai Vecto: Khái Niệm Cơ Bản

1.1.1. Định Nghĩa Tổng của Hai Vecto

Để hiểu rõ “vecto a cộng vecto b”, trước hết, chúng ta cần nắm vững định nghĩa tổng của hai vecto.

Định nghĩa: Cho hai vecto $vec{a}$ và $vec{b}$. Lấy một điểm A bất kỳ, vẽ $vec{AB} = vec{a}$ và $vec{BC} = vec{b}$. Khi đó, vecto $vec{AC}$ được gọi là tổng của hai vecto $vec{a}$ và $vec{b}$. Ký hiệu: $vec{AC} = vec{a} + vec{b}$.

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD. Tính:

a. $vec{AB} + vec{BC}$

b. $vec{AB} + vec{CD}$

c. $vec{AB} + vec{DC}$

Lời giải:

a. $vec{AB} + vec{BC} = vec{AC}$

b. $vec{AB} + vec{CD} = vec{AB} + vec{BA} = vec{AA} = vec{0}$

c. Dựng $vec{BE} = vec{DC}$, khi đó B là trung điểm của AE. Vậy, $vec{AB} + vec{DC} = vec{AB} + vec{BE} = vec{AE}$

1.1.2. Tính Chất Của Tổng Các Vecto

Phép cộng vecto có các tính chất quan trọng sau:

• Tính chất giao hoán: $vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$
• Tính chất kết hợp: $(vec{a} + vec{b}) + vec{c} = vec{a} + (vec{b} + vec{c})$
• Tính chất của vecto không: $vec{a} + vec{0} = vec{0} + vec{a} = vec{a}$

1.1.3. Quy Tắc Hình Bình Hành

Quy tắc hình bình hành là một công cụ hữu ích để tính tổng hai vecto khi chúng có chung điểm gốc.

Quy tắc: Nếu ABCD là hình bình hành thì $vec{AB} + vec{AD} = vec{AC}$.

Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD (đáy ABCD là hình bình hành). Chứng minh: $vec{SA} + vec{SC} = vec{SB} + vec{SD}$

Lời giải:

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm I. Khẳng định nào sau đây là sai?

1. $vec{IA} + vec{IC} = vec{0}$
2. $vec{AB} = vec{DC}$
3. $vec{AC} = vec{BD}$
4. $vec{AB} + vec{AD} = vec{AC}$

Lời giải:

Đáp án sai là 3. $vec{AC} = vec{BD}$

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH với I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H lên AB và AC. Khẳng định nào sau đây là sai?

1. $vec{AH} = vec{AI} + vec{AK}$
2. $vec{AH} = vec{KH} + vec{AK}$
3. $vec{AH} = vec{IH} + vec{AI}$
4. $vec{AH} = vec{AB} + vec{AK}$

Lời giải:

Đáp án sai là 4. $vec{AH} = vec{AB} + vec{AK}$

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD (E là trung điểm của AD, F là trung điểm BC). Khẳng định sai là?

1. $vec{BD} = vec{BA} + vec{BC}$
2. $vec{BD} = vec{BE} + vec{BF}$
3. $vec{BD} = vec{AC}$
4. $vec{BD} = vec{CD} + vec{AD}$

Lời giải:

Đáp án sai là 3. $vec{BD} = vec{AC}$

1.2. Hiệu của Hai Vecto: Phép Toán Ngược

1.2.1. Vecto Đối

Vecto đối của vecto $vec{a}$, ký hiệu là $-vec{a}$, là vecto có cùng độ dài nhưng ngược hướng với $vec{a}$. Vecto đối của $vec{0}$ là chính nó.

1.2.2. Hiệu của Hai Vecto

Hiệu của hai vecto $vec{a}$ và $vec{b}$, ký hiệu là $vec{a} – vec{b}$, được định nghĩa là tổng của vecto $vec{a}$ và vecto đối của $vec{b}$:

$vec{a} – vec{b} = vec{a} + (-vec{b})$

Quy tắc hiệu vecto: Với mọi điểm O và vecto $vec{AB}$ cho trước, ta luôn có:

$vec{AB} = vec{OB} – vec{OA}$

Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D. Chứng minh rằng: $vec{AB} – vec{AD} = vec{DC} – vec{BC}$

Lời giải:

Ta có: $vec{AB} – vec{AD} = vec{DB}$ (1) (áp dụng quy tắc hiệu hai vecto)

Lại có: $vec{DC} – vec{BC} = vec{DC} + (-vec{BC})$ (vecto đối)

$vec{DC} + vec{CB} = vec{DB}$ (2) (áp dụng quy tắc ba điểm về tổng hai vecto)

Từ (1) và (2) => $vec{AB} – vec{AD} = vec{DC} – vec{BC}$ (điều phải chứng minh)

Ví dụ 2: Tính $vec{MN} – vec{QP} + vec{RN} – vec{PN} + vec{QR}$

Lời giải:

$vec{MN} – vec{QP} + vec{RN} – vec{PN} + vec{QR} = vec{MN} + vec{PR} + vec{RN} + vec{NP} + vec{QR} = (vec{MN} + vec{RN} + vec{QR}) + (vec{PR} + vec{NP}) = vec{MR} + vec{RP} = vec{MP}$

2. Ứng Dụng của Tổng và Hiệu Hai Vecto

• Trung điểm của đoạn thẳng: I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $vec{IA} + vec{IB} = vec{0}$.
• Trọng tâm của tam giác: H là trọng tâm của tam giác MNP khi và chỉ khi $vec{HM} + vec{HN} + vec{HP} = vec{0}$.
• Tính chất của vecto không: $vec{AB} + vec{0} = vec{0} + vec{AB} = vec{AB}$.

3. Các Dạng Bài Tập Về Tổng và Hiệu Hai Vecto

3.1. Xác Định Độ Dài Tổng và Hiệu của 2 Vecto

3.1.1. Phương Pháp Giải

Đưa tổng hoặc hiệu của các vecto về một vecto có độ dài là một cạnh của đa giác để tính độ dài của vecto.

3.1.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Biết AB = 4a, AD = 2a. Tính: $left | vec{AB} + vec{AD} right |$

Lời giải:

$vec{AB} + vec{AD} = vec{AC}$ (quy tắc hình bình hành)

$Rightarrow left | vec{AB} + vec{AD} right | = left | vec{AC} right | = AC$

Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC = AD = 2a.

Xét tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

$AC^2 = (4a)^2 + (2a)^2 = 20a^2$

$Rightarrow AC = sqrt{20a^2} = 2sqrt{5}a$

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính $left | vec{CA} – vec{BA} right |$

Lời giải:

Vì $vec{BA} = vec{AB} = AB$ và $left | vec{BA} right |$ ngược hướng với $left | vec{AB} right |$

$Rightarrow vec{AB} = -vec{BA}$

Ta có: $vec{CA} – vec{BA} = vec{CA} + ( -vec{BA} ) = vec{CA} + vec{AB} = vec{CB}$

$Rightarrow left | vec{CA} – vec{BA} right | = left | vec{CB} right | = CB = a$

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a, M là một điểm bất kỳ. Tính $left | vec{MA} – vec{MB} – vec{MC} + vec{MD} right |$

Lời giải:

$vec{MA} – vec{MB} – vec{MC} + vec{MD} = (vec{MA} + vec{MD}) – (vec{MB} + vec{MC}) = vec{MS} – vec{MT}$ (Với S, T lần lượt là trung điểm AD và BC).

$Rightarrow left | vec{MA} – vec{MB} – vec{MC} + vec{MD} right | = left | vec{MS} – vec{MT} right | = left | vec{TS} right | = TS = a$

3.2. Chứng Minh Các Đẳng Thức Vecto Từ Việc Biến Đổi

3.2.1. Phương Pháp Giải

Áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, trọng tâm, trung điểm để biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức hoặc biến đổi cả hai vế để được hai vế bằng nhau. Ta cũng có thể biến đổi đẳng thức vecto cần chứng minh tương đương với một đẳng thức vecto đã được công nhận là đúng.

3.2.2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho sáu điểm tùy ý A, B, C, D, E, F. Chứng minh đẳng thức sau:

$vec{AD} + vec{BE} + vec{CF} = vec{AE} + vec{BF} + vec{CD}$

Lời giải:

• Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có: $vec{AD} = vec{AC} + vec{CD}$

Vế trái $= vec{AD} + vec{BE} + vec{CF} = vec{AC} + vec{CD} + vec{BE} + vec{CF}$

$= (vec{AC} + vec{CF}) + vec{CD} + vec{BE} = vec{AF} + vec{CD} + vec{BE}$

• Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có: $vec{AF} = vec{AE} + vec{EF}$

Vế phải $= vec{AE} + vec{EF} + vec{CD} + vec{BE} = vec{AE} + (vec{BE} + vec{EF}) + vec{CD}$

$= vec{AE} + vec{BF} + vec{CD}$ = Vế trái (điều phải chứng minh).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Cho M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC. Điểm O bất kỳ. Chứng minh đẳng thức: $vec{OA} + vec{OB} + vec{OC} = vec{OM} + vec{ON} + vec{OP}$

Lời giải:

Giả sử $vec{OA} + vec{OB} + vec{OC} = vec{OM} + vec{ON} + vec{OP}$ là đúng

=> $vec{OM} – vec{OC} + vec{ON} – vec{OA} + vec{OP} – vec{OB} = vec{0}$

=> $vec{CM} + vec{AN} + vec{BP} = vec{0}$ (1)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn: $vec{AB} + vec{AC} = vec{AB} – vec{AC}$ thì tam giác ABC là tam giác vuông.

Lời giải:

$vec{AB} + vec{AC} = vec{AB} – vec{AC}$

$Leftrightarrow vec{AB} + vec{AC} = vec{AB} + ( – vec{AC})$

$Leftrightarrow 2vec{AC} = vec{0}$

$Leftrightarrow vec{AC} = vec{0}$

$Leftrightarrow A equiv C$ (Vô lý)

Vậy không tồn tại tam giác ABC thỏa mãn điều kiện trên.

FAQ: Câu Hỏi Thường Gặp Về Vecto a Cộng Vecto b

1. Vecto là gì? Vecto là một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối.
2. Khi nào thì tổng của hai vecto bằng vecto không? Khi hai vecto đó là hai vecto đối nhau.
3. Quy tắc hình bình hành áp dụng cho những trường hợp nào? Khi hai vecto có chung điểm gốc.
4. Làm thế nào để tính độ dài của tổng hai vecto? Sử dụng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác, sau đó áp dụng định lý Pytago hoặc các công thức lượng giác nếu cần.
5. Vecto đối có những tính chất gì? Cùng độ dài nhưng ngược hướng với vecto gốc.
6. Hiệu của hai vecto có tính chất giao hoán không? Không, phép trừ vecto không có tính chất giao hoán.
7. Ứng dụng của tổng và hiệu vecto trong thực tế là gì? Trong vật lý, nó được sử dụng để tính hợp lực của nhiều lực tác động lên một vật. Trong đồ họa máy tính, nó được sử dụng để di chuyển và biến đổi các đối tượng.
8. Điểm khác biệt giữa tổng vecto và tổng đại số là gì? Tổng vecto cần quan tâm đến cả độ lớn và hướng, trong khi tổng đại số chỉ quan tâm đến giá trị số học.
9. Làm sao để chứng minh một đẳng thức vecto? Biến đổi một vế thành vế còn lại, hoặc biến đổi cả hai vế về một biểu thức chung.
10. Tại sao cần học về vecto? Vecto là một công cụ toán học mạnh mẽ, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn đã hiểu rõ hơn về “vecto a cộng vecto b”. Nếu bạn cần thêm sự hỗ trợ, đừng ngần ngại truy cập CAUHOI2025.EDU.VN để khám phá thêm nhiều bài viết và tài liệu hữu ích khác.

Bạn đang gặp khó khăn trong học tập? Bạn muốn tìm kiếm một nguồn tài liệu tin cậy và dễ hiểu? Hãy đến với CAUHOI2025.EDU.VN! Chúng tôi cung cấp:

• Câu trả lời chi tiết và chính xác cho mọi thắc mắc của bạn.
• Lời khuyên và hướng dẫn tận tình từ đội ngũ chuyên gia.
• Một nền tảng học tập trực tuyến dễ sử dụng và thân thiện.

Liên hệ với chúng tôi:

Địa chỉ: 30 P. Khâm Thiên, Thổ Quan, Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam

Số điện thoại: +84 2435162967

Trang web: CAUHOI2025.EDU.VN

Đừng chần chừ, hãy truy cập CauHoi2025.EDU.VN ngay hôm nay để khám phá kho tàng kiến thức vô tận và chinh phục mọi thử thách!