Tổng N Số Hạng Đầu Của Cấp Số Nhân: Công Thức, Ví Dụ, Bài Tập

Bạn đang tìm hiểu về cách tính Tổng N Số Hạng đầu Của Cấp Số Nhân? Bài viết này của CAUHOI2025.EDU.VN sẽ cung cấp công thức, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải mọi bài toán liên quan đến cấp số nhân.

Giới thiệu

Cấp số nhân là một phần quan trọng trong chương trình toán học phổ thông và có nhiều ứng dụng thực tế. Việc tính tổng các số hạng đầu của cấp số nhân là một kỹ năng cần thiết. CauHoi2025.EDU.VN sẽ giúp bạn hiểu rõ công thức và cách áp dụng nó một cách hiệu quả. Ngoài ra, bài viết còn cung cấp thêm các ví dụ và bài tập giúp bạn củng cố kiến thức. Bạn sẽ nắm vững kiến thức về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân.

1. Công Thức Tính Tổng N Số Hạng Đầu Của Cấp Số Nhân

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q ne 1$. Tổng $S_n$ của $n$ số hạng đầu tiên được tính theo công thức:

$S_n = u_1 + u_2 + … + u_n = u_1 cdot frac{1 – q^n}{1 – q}$

Trong đó:

• $S_n$: Tổng của n số hạng đầu
• $u_1$: Số hạng đầu tiên
• $q$: Công bội (tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp)
• $n$: Số lượng số hạng

Công thức này rất quan trọng và được sử dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan đến cấp số nhân. Hãy cùng tìm hiểu chi tiết hơn về cách áp dụng công thức này qua các ví dụ sau đây.

2. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Về Tổng N Số Hạng Đầu Của Cấp Số Nhân

2.1. Dạng 1: Tính trực tiếp tổng Sn khi biết u1, q và n

Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu bạn áp dụng trực tiếp công thức để tính tổng.

Ví dụ: Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân có $u_1 = 2$ và $q = 3$.

Giải:

Áp dụng công thức: $S_{10} = 2 cdot frac{1 – 3^{10}}{1 – 3} = 2 cdot frac{1 – 59049}{-2} = 59048$

Vậy, tổng của 10 số hạng đầu là 59048.

2.2. Dạng 2: Tìm u1 hoặc q khi biết Sn và các thông tin khác

Trong dạng bài này, bạn cần biến đổi công thức để tìm ra $u_1$ hoặc $q$ khi đã biết tổng $S_n$ và một số thông tin khác về cấp số nhân.

Ví dụ: Cho cấp số nhân có $S_5 = 31$, $q = 2$. Tìm $u_1$.

Giải:

Ta có: $S_5 = u_1 cdot frac{1 – q^5}{1 – q} Rightarrow 31 = u_1 cdot frac{1 – 2^5}{1 – 2} = u_1 cdot frac{1 – 32}{-1} = 31u_1$

Suy ra: $u_1 = 1$.

2.3. Dạng 3: Bài toán liên quan đến tính chất của cấp số nhân

Dạng này thường kết hợp các tính chất của cấp số nhân như công thức số hạng tổng quát, tính chất của ba số hạng liên tiếp để giải quyết bài toán.

Ví dụ: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_2 = 6$ và $u_4 = 54$. Tính tổng 6 số hạng đầu của cấp số nhân đó.

Giải:

Ta có: $u_2 = u_1 cdot q = 6$ và $u_4 = u_1 cdot q^3 = 54$.

Chia hai vế, ta được: $frac{u_1 cdot q^3}{u_1 cdot q} = frac{54}{6} Rightarrow q^2 = 9 Rightarrow q = pm 3$.

• Trường hợp 1: Nếu $q = 3$, thì $u_1 = frac{6}{3} = 2$. Khi đó, $S_6 = 2 cdot frac{1 – 3^6}{1 – 3} = 2 cdot frac{1 – 729}{-2} = 728$.
• Trường hợp 2: Nếu $q = -3$, thì $u_1 = frac{6}{-3} = -2$. Khi đó, $S_6 = -2 cdot frac{1 – (-3)^6}{1 – (-3)} = -2 cdot frac{1 – 729}{4} = 364$.

Vậy, $S_6 = 728$ hoặc $S_6 = 364$.

2.4. Dạng 4: Ứng dụng cấp số nhân vào các bài toán thực tế

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như tính lãi kép, sự tăng trưởng dân số, hoặc các bài toán liên quan đến tài chính.

Ví dụ: Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6% một năm. Hỏi sau 5 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền gửi ban đầu là 100 triệu đồng và lãi được nhập vào vốn?

Giải:

Số tiền sau mỗi năm tạo thành một cấp số nhân với $u_1 = 100$ triệu và $q = 1 + 0.06 = 1.06$.

Số tiền sau 5 năm là: $u_6 = u_1 cdot q^5 = 100 cdot (1.06)^5 approx 133.82$ triệu đồng.

3. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết

Ví dụ 1: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u1 = 32$ và $u{n+1} = 2u_n$. Tính tổng $S = u_2 + u_4 + u6 + … + u{14}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $u_{n+1} = 2u_n$ với mọi n.

=> Dãy số $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1 = 32$ và công bội $q = 2$.

Các số $u_2; u_4; u6; …; u{14}$ lập thành cấp số nhân số hạng đầu $u_2 = u_1 cdot q = 64$ và công bội $q’ = 2q = 4$. Tổng của 7 số hạng $u_2; u4;…u{14}$ là:

$S = 64 cdot frac{1 – 4^7}{1 – 4} = 64 cdot frac{1 – 16384}{-3} = 34952$

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn giải:

Gọi cấp số nhân đó là $(u_n)$ với $u_n = u_1 cdot q^{n-1}$. Theo đề bài ta có :

$u_4 = 6$ (1) và $u_7 = 243u_2$ (2)

Từ (2) ta có: $u_1 cdot q^6 = 243 cdot u_1 cdot q$ ⇔ $q^5 = 243$ ⇔ $q = 3$. Thay vào (1) ta được :

$u_1 cdot 3^3 = 6$ ⇔ $u_1 = frac{6}{27} = frac{2}{9}$

Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân là:

$frac{2}{9}; frac{2}{3}; 2; 6; 18; 54; 162$

Chọn D.

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân $(u_n)$ thỏa mãn $u_5 – u_1 = 15$ và $u_4 – u_2 = 6$. Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

Gọi q là công bội của cấp số nhân. Theo giả thiết ta có:

$u_5 – u_1 = u_1 cdot q^4 – u_1 = u_1(q^4 – 1) = 15$ (1)

$u_4 – u_2 = u_1 cdot q^3 – u_1 cdot q = u_1 cdot q(q^2 – 1) = 6$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $frac{u_1(q^4 – 1)}{u_1 cdot q(q^2 – 1)} = frac{15}{6}$ ⇔ $frac{q^2 + 1}{q} = frac{5}{2}$

⇔ $2q^2 – 5q + 2 = 0$ ⇔ $q = 2$ hoặc $q = frac{1}{2}$

• Với $q = 2$ => $u_1 = 1$
• Với $q = frac{1}{2}$ => $u_1 = 16$

Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là:

$S_{20} = frac{u_1(1 – q^{20})}{1 – q}$

• Nếu $u1 = 1$ và $q = 2$ => $S{20} = frac{1(1 – 2^{20})}{1 – 2} = 2^{20} – 1$
• Nếu $u1 = 16$ và $q = frac{1}{2}$ => $S{20} = frac{16(1 – (frac{1}{2})^{20})}{1 – frac{1}{2}} = 32(1 – (frac{1}{2})^{20})$

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho cấp số nhân $(u_n)$ thỏa mãn: $u_2 + u_5 = 78$ và $u_3 + u_6 = 234$. Tính $u_1$?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

$u_2 + u_5 = u_1 cdot q + u_1 cdot q^4 = u_1 cdot q(1 + q^3) = 78$ (1)

$u_3 + u_6 = u_1 cdot q^2 + u_1 cdot q^5 = u_1 cdot q^2(1 + q^3) = 234$ (2)

Lấy (1) chia (2) vế chia vế với $u_1 ne 0$ ta được :

$frac{u_1 cdot q(1 + q^3)}{u_1 cdot q^2(1 + q^3)} = frac{78}{234}$ ⇔ $frac{1}{q} = frac{1}{3}$ ⇔ $q = 3$

Thay $q = 3$ vào (1) ta được: $u_1 cdot 3(1 + 3^3) = 78$ ⇔ $u_1 = frac{78}{3 cdot 28} = frac{13}{14}$

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số nhân là $frac{13}{14}$.

Chọn B.

Ví dụ 5: Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $u_1 = 6$ và $u_2 = 12$. Hỏi tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng 3069?

Hướng dẫn giải:

Trước tiên ta đi tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân.

Theo giả thiết ta có: $u_1 = 6$ (1) và $u_2 = u_1 cdot q = 12$ (2)

Từ (1) và (2) vế chia vế ( với $u_1 cdot q ne 0$) ta được: $q = frac{12}{6} = 2$

Ta có tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:

$S_n = u_1 cdot frac{1 – q^n}{1 – q} = 6 cdot frac{1 – 2^n}{1 – 2} = 6 cdot (2^n – 1) = 3069$

⇔ $2^n – 1 = 511.5$ (Vô lý)

Vậy không có giá trị n thỏa mãn.

Chọn D.

Ví dụ 6: Tính tổng $S_n = 3 + 3^2 + 3^3 + ….+ 3^n$

Hướng dẫn giải:

Ta có dãy số $3; 3^2, 3^3; ..;3^n$ là một cấp số nhân có n số hạng. Số hạng đầu là $u_1 = 3$ và công bội $q = 3$.

=> Tổng của n số hạng đầu tiên là:

$S_n = 3 cdot frac{1 – 3^n}{1 – 3} = frac{3}{2}(3^n – 1)$

Chọn A.

Ví dụ 7: Tính $S = 3^2 + 3^4 + 3^6 + … + 3^{2n} – (3 + 3^3 + … + 3^{2n-1})$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $S = (3^2 + 3^4 + 3^6 + … + 3^{2n}) – (3 + 3^3 + … + 3^{2n-1})$

Có dãy số $3^2; 3^4;..; 3^{2n}$ là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu $u_1 = 3^2$ và công bội $q = 9$. Do đó $3^2 + 3^4 + 3^6 + … + 3^{2n} = 9 cdot frac{1 – 9^n}{1 – 9} = frac{9(9^n – 1)}{8}$

Có dãy số $3; 3^3; …; 3^{2n-1}$ là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công bội $q = 9$. Do đó

$3 + 3^3 + … + 3^{2n-1} = 3 cdot frac{1 – 9^n}{1 – 9} = frac{3(9^n – 1)}{8}$

Vậy $S = frac{9(9^n – 1)}{8} – frac{3(9^n – 1)}{8} = frac{6(9^n – 1)}{8} = frac{3(9^n – 1)}{4}$

Chọn C.

Ví dụ 8: Tính $S = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + … + frac{1}{2^n}$

Hướng dẫn giải:

Ta có

$S = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + … + frac{1}{2^n} = frac{1 – (frac{1}{2})^{n+1}}{1 – frac{1}{2}} = 2(1 – (frac{1}{2})^{n+1})$

$S = 2 – frac{1}{2^n}$

Chọn B.

Ví dụ 9: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 2$ và $u_2 = -6$. Biết rằng $S_n = -29524$, tính $u_n$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $u_2 = u_1 cdot q$ nên $-6 = 2q$ ⇔ $q = -3$

Ta có $S_n = u_1 cdot frac{1 – q^n}{1 – q}$ nên $-29524 = 2 cdot frac{1 – (-3)^n}{1 – (-3)}$ ⇔ $-29524 = frac{1 – (-3)^n}{2}$

⇔ $-59048 = 1 – (-3)^n$ ⇔ $(-3)^n = 59049 = (-3)^{10}$ ⇔ $n = 10$

$un = u{10} = u_1 cdot q^9 = 2 cdot (-3)^9 = -39366$

Chọn C.

4. Bài Tập Trắc Nghiệm Tự Luyện

Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập trắc nghiệm sau:

Câu 1: Tính tổng $S = 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{20}$

A. $S = frac{3(3^{20} – 1)}{2}$
B. $S = frac{3(3^{20} + 1)}{2}$
C. $S = frac{2(3^{20} – 1)}{3}$
D. $S = frac{2(3^{20} + 1)}{3}$

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

$S = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 +…+ 3^{20}$

Nhận xét: dãy số $3, 3^2, 3^3, 3^4,…, 3^{20}$ là cấp số nhân với số hạng đầu là $u_1 = 3$ và công bội $q= 3$.

=> Tổng 20 số hạng của dãy số là : $S = 3 cdot frac{1 – 3^{20}}{1 – 3} = frac{3(3^{20} – 1)}{2}$

Câu 2: Tính tổng $S = (-1) + (-1)^2 + (-1)^3 + … + (-1)^{41}$

A. -1
B. 1
C. 0
D. 2

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có dãy số $(-1),(-1)^2,(-1)^3,…,(-1)^{41}$ là cấp số nhân gồm 41 số hạng với số hạng đầu là $u_1 = -1$ và công bội $q = -1$.

Do đó tổng S bằng. $S = frac{-1(1 – (-1)^{41})}{1 – (-1)} = frac{-1(1 – (-1))}{2} = 0$

Câu 3: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 3$ và công bội là số nguyên tố bé nhất. Tìm k, biết $S_k = 189$.

A. 6
B. 5
C. 4
D. 3

Lời giải:

Đáp án: D

Số nguyên tố bé nhất là 2 nên $q = 2$.

Ta có $S_k = u_1 cdot frac{1 – q^k}{1 – q} = 3 cdot frac{1 – 2^k}{1 – 2} = 3(2^k – 1)$

Theo giả thiết, ta có:

$3(2^k – 1) = 189$ ⇔ $2^k – 1 = 63$ ⇔ $2^k = 64$ ⇔ $k = 6$

Câu 4: Tính tổng $S = 1 + frac{1}{3} + frac{1}{9} + … + frac{1}{3^n}$

A. $S = frac{3(1 – (frac{1}{3})^{n+1})}{2}$
B. $S = frac{3(1 – (frac{1}{3})^{n+1})}{2}$
C. $S = frac{2(1 – (frac{1}{3})^{n+1})}{3}$
D. $S = frac{2(1 – (frac{1}{3})^{n+1})}{3}$

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có dãy số $1; frac{1}{3}; frac{1}{9};…; frac{1}{3^n}$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân với n số hạng. Có số hạng đầu là : $u_1 = 1$; công bội $q = frac{1}{3}$

Tổng n số hạng đầu tiên của dãy là :

$S = 1 cdot frac{1 – (frac{1}{3})^{n+1}}{1 – frac{1}{3}} = frac{3(1 – (frac{1}{3})^{n+1})}{2}$

Câu 5: Tính tổng sau $S = 10 + 10^2 + 10^3 + ..+ 10^n – 9(1 + 2 + 3 + ..+ n)$

A. $10 cdot frac{10^n – 1}{9} – 9 cdot frac{n(n+1)}{2}$
B. $10 cdot frac{10^n – 1}{9} + 9 cdot frac{n(n+1)}{2}$
C. $10 cdot frac{10^n + 1}{9} – 9 cdot frac{n(n+1)}{2}$
D. $10 cdot frac{10^n + 1}{9} + 9 cdot frac{n(n+1)}{2}$

Lời giải:

Đáp án: B

* Nhận xét:

$S = 10 + 10^2 + 10^3 + ..+ 10^n – 9(1 + 2 + 3 + ..+ n)$

Nên:

$S = (10 + 10^2 + 10^3 + ..+ 10^n) – 9(1 + 2 + 3 + ..+ n)$

Vì $10 + 10^2 + 10^3 + ..+ 10^n$ là tổng của cấp số nhân; số hạng đầu $u_1 =10$, công bội $q = 10$ nên $10 + 10^2 + 10^3 + ..+ 10^n = 10 cdot frac{1 – 10^n}{1 – 10} = 10 cdot frac{10^n – 1}{9}$

Tổng $1 + 2 + 3 + ..+ n = frac{n(n+1)}{2}$

Vậy $S = 10 cdot frac{10^n – 1}{9} – 9 cdot frac{n(n+1)}{2}$

Câu 6: Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân biết công bội q= 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối bằng 486.

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

Lời giải:

Đáp án: A

Theo đề bài ta có:

$S_n = u_1 cdot frac{1 – q^n}{1 – q} = 728$ (*)

$u_n = u_1 cdot q^{n-1} = 486$

Thay q= 3 vào (*) ta được :

$u_1 cdot frac{1 – 3^n}{1 – 3} = 728$ ⇔ $u_1 cdot (3^n – 1) = 1456$

Mà $u_1 cdot 3^{n-1} = 486$ ⇔ $3^n = frac{486 cdot 3}{u_1}$

⇔ $u_1 cdot (frac{486 cdot 3}{u_1} – 1) = 1456$ ⇔ $1458 – u_1 = 1456$ ⇔ $u_1 = 2$

Câu 7: Tính tổng $S = 1 – 2 + 4 – 8 + … + (-2)^{100}$

A. $frac{1 + 2^{101}}{3}$
B. $frac{1 – 2^{101}}{3}$
C. $frac{1 + 2^{100}}{3}$
D. $frac{1 – 2^{100}}{3}$

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

$S = 1 – 2 + 4 – 8 + … + (-2)^{100}$

$S = 1 + (-2) + (-2)^2 + (-2)^3 + … + (-2)^{100}$

$S = frac{1 – (-2)^{101}}{1 – (-2)} = frac{1 + 2^{101}}{3}$

Câu 8: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u1 = 1$ và $u{n+1} = 3u_n + 1$.Tổng $S = u_1 + u_2 + u3 + … + u{100}$ bằng

A. $frac{3^{100} – 1}{2} – 100$
B. $frac{3^{100} – 1}{2} + 100$
C. $frac{3^{100} + 1}{2} – 100$
D. $frac{3^{100} + 1}{2} + 100$

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt $v_n = u_n + frac{1}{2}$

suy ra $v{n+1} = u{n+1} + frac{1}{2} = 3u_n + 1 + frac{1}{2} = 3(v_n – frac{1}{2}) + frac{3}{2} = 3v_n$ trong đó $v_n$ là cấp số nhân với công sai $q = 3$

Do đó $v_1 + v_2 + v3 + … + v{100} = frac{v_1(1 – q^{100})}{1 – q} = frac{frac{3}{2}(1 – 3^{100})}{-2} = frac{3(3^{100} – 1)}{4}$

Suy ra $S = u_1 + u_2 + u3 + … + u{100} = v_1 + v_2 + v3 + … + v{100} – 100 cdot frac{1}{2} = frac{3(3^{100} – 1)}{4} – 50$

Câu 9: Cho cấp số nhân $(u_n)$ thỏa mãn: $u_1 = 4; q = 2$ và $Sn = 2044$. Tính $S{2n}$?

A. 8188
B. 8190
C. 8191
D. 8192

Lời giải:

Đáp án: D

*Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy là :

$S_n = u_1 cdot frac{1 – q^n}{1 – q}$

* Khi đó: $2044 = 4 cdot frac{1 – 2^n}{1 – 2}$ ⇔ $2044 = 4(2^n – 1)$ ⇔ $2^n – 1 = 511$ ⇔ $2^n = 512$ ⇔ $n = 9$

$S_{2n} = u_1 cdot frac{1 – q^{2n}}{1 – q} = 4 cdot frac{1 – 2^{18}}{1 – 2} = 4(2^{18} – 1) = 4(262144 – 1) = 1048572$

5. FAQ – Câu Hỏi Thường Gặp

1. Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân áp dụng cho trường hợp nào?

   • Công thức này áp dụng cho cấp số nhân có công bội $q ne 1$.

2. Nếu q = 1 thì sao?

   • Khi $q = 1$, cấp số nhân trở thành dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau. Tổng n số hạng đầu sẽ là $S_n = n cdot u_1$.

3. Làm sao để xác định một dãy số có phải là cấp số nhân hay không?

   • Một dãy số là cấp số nhân nếu tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số (công bội).

4. Ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế là gì?

   • Cấp số nhân có nhiều ứng dụng, ví dụ như tính lãi kép, sự tăng trưởng dân số, phân rã chất phóng xạ, và nhiều bài toán liên quan